183572 (Оптимизационные модели межотраслевого баланса), страница 2

(10)

Обозначим первые (п₁ + m₁ – 1) строк матрицы через B₁₁, а последнюю строку – через β₁₁. Тогда

(11)

(12)

Формулы (11) и (12) характеризуют зависимости оптималь­ных интенсивностей производственных способов и максимального числа комплектов от «жестких» ограничений задачи. Коэффици­енты матрицы B₁₁ являются аналогами коэффициентов полных потребностей в продукции модели межотраслевого баланса. Од­нако эти коэффициенты могут иметь различные знаки, также как и коэффициенты вектора β₁₁.

Из (11) и (12) выводятся формулы корректировки интенсив­ностей применяемых способов и числа комплектов конечной про­дукции при изменении ограничений:

(13)

(14)

Однако формулы (13) и (14) верны только при сохранении базиса оптимального плана задачи (набора векторов, соответст­вующих положительным переменным). Из линейного программи­рования известно, что базис оптимального плана не изменяется, пока переменные, вошедшие в оптимальный план, будут неотрица­тельны. Это означает, что в анализируемой модели условиями со­хранения базиса оптимального плана являются

(15) или (16)

(17)

Из этих условий находятся границы допустимых изменений каждой компоненты вектора b и области допустимых изменений одновременно нескольких компонент вектора b. Сохранение ба­зиса оптимального плана является также условием неизменности оптимальных оценок.

Включение в оптимальный план дополнительных производствен­ных способов.

Как уже отмечалось, типичным свойством оптималь­ного плана модели является использование (п₁ + т₁ – 1) произ­водственных способов. Может оказаться, что большая часть имею­щихся производственных способов (из общего числа N > n₁ + т₁ – 1) не будет использоваться и преобладающая часть продукции будет производиться небольшим числом способов. Такая ситуация является нежелательной с точки зрения маневренности, надежности, адаптивности плана. В связи с этим интересно изучить, к каким последствиям приводит включение в оптимальный план дополнительных способов.

Эффективность производственных способов ψ измеряется оценками производственных способов:

. (18)

Для способов, вошедших в оптимальный план, Δ_ψ = 0. Для способов, не вошедших в оптимальный план, Δ_ψ ≤ 0 (а в случае единственности оптимального плана Δ_ψ строго отрицательны). Оценки Δ_ψ показывают, насколько уменьшится значение целевой функции при включении в оптимальный план ранее не входившего в него способа с единичной интенсивностью. Если же интенсивность вводимого способа равна x_ψ, то значение целевой функции умень­шится на Δ_ψx_ψ.

Рассмотрим, как повлияет включение дополнительных способов (вектора Х₂) на интенсивности применения оптимальных (базис­ных) способов (вектор X₁. Добавив к вектору b₁ произведение – A₁₂ Х₂, получим на основе (11)

,

откуда

(19)

Заметим также, что формула изменения максимального числа комплектов конечной продукции при включении вектора Х₂ имеет вид:

(20)

Формулы (19) и (20) справедливы при сохранении базиса оптимального плана, т. е. при условиях

С помощью оценок способов (18) можно изучать целесообраз­ность включения в условия народнохозяйственной задачи новых способов. Новый способ φ будет эффективным (т. е. может войти в оптимальный план), если Δ_φ ≥ 0. Это условие может быть использовано для проектирования новых эффективных производст­венных способов.

Рассмотренные направления и методы анализа оптимального плана являются универсальными для всех линейных оптимиза­ционных моделей. Однако в более частных моделях экономико-математический анализ может выявлять и специфические свойства оптимальных решений.

§2. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ МАТРИЦЫ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА

Общая линейная оптимизационная модель построена на основе матрицы таких производственных способов, что каждый из них мо­жет выпускать несколько видов продукции, каждый вид продукции может выпускаться несколькими способами.

Далее мы рассмотрим более частные оптимизационные модели, сохраняющие некоторые специфические допущения модели межотраслевого баланса: сначала – модели, в которых каждый способ выпускает только один продукт и каждый продукт выпускается только одним способом, а затем – модели, в ко­торых сохраняется только первое из указанных допущений. Такая последовательность анализа моделей выбрана для того, чтобы «перекинуть мост» между моделями межотраслевого баланса и оптимизационными моделями народного хозяйства и проследить изменение свойств решений (сбалансированных и оптимальных) при изменении предпосылок модели и включении в нее новых ус­ловий.

Модель межотраслевого баланса как частный случай оптимизационных моделей

Оптимизационные модели по сравнению с балансовыми пред­ставляют собой более совершенный тип моделей социалистической экономики. Однако было бы неправильно противопоставлять их друг другу. Во-первых, основные условия балансовых моделей обязательно включаются в оптимизационные модели. Во-вторых, балансовые модели могут интерпретироваться и исследоваться как частный случай оптимизационных моделей.

Попытаемся сформулировать модель межотраслевого баланса на языке оптимизационных задач. Рассмотрим систему уравнений межотраслевого баланса производства и распределения продукции совместно с ограничением по трудовым ресурсам производствен­ной сферы:

(21)

Основная задача плановых расчетов с помощью этой модели состоит в том, чтобы при заданном векторе Y⁰ = ( ) и имеющихся трудовых ресурсах L найти вектор необходимых объемов произ­водства X = (x_j). Покажем, что эту задачу можно представить в виде задачи линейного программирования:

(22)

Эта задача отличается от (21) только тем, что допускается полу­чение конечной продукции сверх заданных минимальных объемов, а затраты трудовых ресурсов минимизируются. Очевидно, что ре­альным экономическим условиям отвечают только такие решения X* = (x*), при которых .

Задаче (22) соответствует двойственная задача, с помощью которой находятся оптимальные оценки продукции :

(23)

Оптимальный план X* задачи (22) характеризуется следую­щими свойствами:

• он единственный;

• если Y⁰ > 0 (или Y⁰ ≥ 0 и А – неразложимая матрица), то Х* > 0;

• балансы производства и распределения продукции выполняются строго как равенства, т. е. излишки конечной продукции не про­изводятся;

• оптимальный план X* не зависит от коэффициентов целевой функции t_J ≥ 0.

Н а рис. 1 видно, что оптимальный план всегда является вер­шиной «клюва» при любых допустимых наклонах целевой функции. Обе задачи (и прямая, и двойственная) всегда имеют единственное решение, если матрица А продуктивна и Y⁰ ≥ 0. При этом реше­ние прямой оптимизационной задачи сводится к решению системы уравнений и поэтому оно не зависит от значений коэффициентов минимизируемой функции. Решение двойственной задачи находится из системы урав­нений и поэтому оно не зависит от коэффициентов минимизируемой функции. При этом оптимальные оценки продук­ции равны коэффициентам полных трудовых затрат.

Равенство функционалов прямой и двойственной задачи имеет место при любых положительных значениях t_j и . Оно означает, что суммарная оценка всей конечной продукции равна сумме трудовых затрат в народном хозяйстве.

Оптимизационная модель межотраслевого баланса продукции и производственных мощностей.

При анализе возможностей использования модели межотрасле­вого баланса в планировании отмечалось, что при крат­косрочном планировании наиболее существенными ограничениями роста производства являются наличные производственные мощности.

Решение модели должно удовлетворять условиям x_j ≤ N_j, где N_j – максимально возможный выход продукции j с производст­венных мощностей планируемого года. Так же, как и в § 1, вклю­чим в модель условия оптимизации конечной продукции (27), обозначая вектор ассортиментных коэффициентов прироста конеч­ной продукции , а вектор заданных объемов конечной про­дукции Q = (q_i).

В векторно-матричных обозначениях модель имеет вид:,

(24)

Решение модели существует, если значения компонент вектора Q заданы не слишком большими. Оптимальный план обращает пер­вую группу условий строго в равенства (невыгодно производить сверхкомплектные излишки конечной продукции). Поэтому в даль­нейшем анализе исходим из того, что (Е – А) X – = Q, откуда

(25)

Поскольку , то при условие Х ≥ 0 всегда выполняется. Вследствие этого задача сокращается:

Вектор представляет собой коэффициенты пол­ных потребностей в продукции для получения одного комплекта конечной продукции; есть вектор макси­мально возможных объемов продукции для получения перемен­ной части конечной продукции. Очевидно, что