183407 (Решение многокритериальной задачи линейного програмирования), страница 3

₁ D_x, так как _max = 0.

Данный метод построения множества D_x обладает недостатком, связанным с разрушением области допустимых решений (ОДР) D_x при переносе ее граней в х^,. Действительно, вершины области D_x в преобразованной модели никак не отражены, а именно одна из них может составить -множество в случае его совпадения с оптимальным решением. Такое совпадение возможно, если все ч-критерии достигают максимум на одной вершине. Физически это значит, что они слабопротиворечивы – угол при вершине д-конуса приближается к 180 (градиенты ч-критериев имеют практически совпадающие направления). Данный случай имеет место, если в -множество не вошла ни одна из граней ОДР D_x. Следовательно, -множество совпадает с оптимальным решением. Для определения -множества решается обычная ЗЛП с одним из ч-критериев. Если при этом получено множество оптимальных решений, то решается ЗЛП с другим ч-критерием. Пересечение оптимальных решений и является -множеством. Для ЛПР указание на то, что некоторая грань _i = _i D_x -оптимальна, является только обобщенной информацией.

4.Определение альтернативных вариантов многокритериальной задачи

Наиболее естественным и разумным решением мк-задачи было бы органическое объединение всех ч-критериев в виде единой ЦФ. Иногда это удается сделать путем создания более общей модели, в которой ч-критерии являются аргументами более общей целевой функции, объединяющей в себе все частные цели операции. На практике этого редко удается достигнуть, что, собственно, и является основной причиной появления проблемы многокритериальности. Однако наиболее распространенный подход к решению проблемы пока остается все-таки один: тем или иным путем свести решение мк-задачи к решению однокритериальной задачи. В основе подхода лежит предположение о существовании некой функции полезности, объединяющей в себе ч-критерии, но которую в явном виде, как правило, получить не удается. Получение наиболее обоснованной «свертки» ч-критериев является предметом исследований нового научного направления, возникшего в связи с проблемой многокритериальности - теории полезности. В данной работе будут рассмотрены некоторые подходы, позволяющие получить варианты решения мк-задач при тех или иных посылках и которые лицо принимающее решение (ЛПР) должно рассматривать как альтернативные при принятии окончательного решения и которые, конечно, должны удовлетворять необходимому условию- -оптимальности.

4.1.Метод гарантированного результата

При любом произвольном решении х D_x каждый из ч-критериев примет определенное значение и среди них найдется, по крайней мере, один, значение которого будет наименьшим:

(9)

Метод гарантированного результата (ГР) позволяет найти такое (гарантированное) решение, при котором значение «наименьшего» критерия станет максимальным. Таким образом, целевая функция (ЦФ) является некоторой сверткой ч-критериев (9), а МЗЛП сводится к задаче КВП (кусочно-выпуклого программирования) при ОДР D_x, заданной линейными ограничениями.

Исходные условия записываем в каноническом виде:

¹ = х₁ - 2х₂ - + 2,

² = х₁ + х₂ - + 4,

³ = -х₁ + 4х₂ - + 20,

₁ = -х₁ - х₂ + 15,

₂ = 5х₁ + х₂ - 1,

₃ = x₁ - х₂ + 5,

потом в виде с-таблицы:

Вводя в базис переменную (¹ ), получаем обычную ЗЛП при максимизации ЦФ .

Решение ЗЛП приводит к конечной с-таблице Т₄. Видно, что полученное гарантированное решение х -оптимально, поскольку введение в базис любой свободной переменной (т.е. ее увеличение) приведет к снижению - нижнего уровня ч-критериев (с_j < 0). Из таблицы также видно, что решение х⁰=(27/2; 3/2) находится на грани ₄, при этом значения ч-критериев равны (находим по формуле L^r(x^r) = + ^r):

L₁ = L₃ = = 25/2

L₂ = + ₂ = 25/2 + 13/2 = 19

L = 88/2 = 44

x = ( 27/2; 3/2)

Если бы в строке имелись нули, то это означало бы, что одну из соответствующих переменных можно ввести в базис (увеличить без снижения уровня ). Это могло бы привести и к увеличению приращения ^r для некоторого ч-критерия, находящегося в базисе.

4.2.Метод линейной свертки частных критериев

Линейная свертка ч-критериев получается как х сумма с некоторыми весовыми коэффициентами _r:

(9)

где

(10)

Меняя порядок суммирования и вводя обозначения c_j и c₀, окончательно получим:

(11)

Коэффициенты веса обычно получаются путем опроса экспертов из соответствующей предметной области. Поскольку вектор = (_r) – суть вектор-градиент ЦФ L(x), то предполагается, что он указывает направление к экстремуму неизвестной функции полезности. Положительная сторона такого подхода – несложность, не всегда компенсирует его серьезный недостаток – потерю физического смысла линейной свертки разнородных ч-критериев. Это затрудняет интерпретацию результатов, поэтому полученное таким путем решение, следует рассматривать только как возможный (альтернативный) вариант решения ЛПР. Для его сравнительного анализа следует привлекать любые другие варианты и, конечно, значения ч-критериев, получаемые при этом. Иногда при получении свертки ч-критериев предварительно нормируются каким-нибудь способом.

Наиболее приемлемой линейная свертка ч-критериев может оказаться в том случае, когда ч-критерии однородны и имеют единый эквивалент, согласующий их наиболее естественным образом.

На содержательном уровне данная МЗЛП состоит в необходимости принятия такого компромиссного решения (плана выпуска продукции) x^k D_x, которое обеспечит, по возможности, наибольшую суммарную выручку L¹(x) от реализации произведенной продукции; наименьший расход ресурсов i-го вида L^pl (x) (i = 1; m); минимальные налоговые отчисления от прибыли L^H(x) (или общей выручки).

Указанные цели носят противоречивый характер, и фактически мы имеем МЗЛП с m+2 –мя ч-критериями (m – количество видов потребляемых ресурсов). ОДР обусловлена ресурсными ограничениями и условиями неотрицательных переменных:

где a_ij – расход ресурса i-го вида для выпуска 1 единицы продукции j-го вида (j=1,n);

b_i – запас ресурса i-го вида;

_i – остаток ресурса i-го вида при плане выпуска x = (x_j)_n. Ч-критерии однородны, если они могут быть сведены к единой мере измерения. В качестве такой меры можно взять денежный эквивалент. Тогда m+2 ч-критерия могут быть с помощью линейной свертки сведены к трем:

общая выручка (руб.):

общая экономия ресурсов (руб.):

налоговые отчисления (руб.):

где c_j – выручка от реализации 1 ед. продукции j-го вида (цена); s_i – стоимость (цена) 1 ед. ресурса i-го вида (i = 1;m); П_j – прибыль от реализации 1 ед. продукции j-го вида (j = 1;n); a_j – доля (процент налоговых отчислений от прибыли (выручки).

В заключение заметим, что коэффициенты _r не обязательно должны удовлетворять условию (10), но обязательно должны быть положительными, если все ч-критерии максимизируются.

Перейдем к решению: