183389 (Билеты математические методы исследования экономики)

примерный перечень экзаменационных вопросов математические методы исследования экономики

Векторы. Определение, действия с векторами, свойства.

N-мерное пространство. Определение, свойства. Базис n-мерного пространства, свойства базиса.

Матрицы. Определение, примеры.

Действия с матрицами. Свойства.

Определитель матрицы, обратная матрица.

Вектор-столбец, вектор-строка.

Система линейных уравнений. Определение.

Методы Гаусса и Крамера решения системы линейных уравнений.

Системы линейных неравенств. Определение.

Решение системы двух линейных неравенств с двумя неизвестными.

Задача линейного программирования. Постановка задачи, запись в матричном виде, в виде системы неравенств, в векторном виде.

Транспортная задача. Постановка.

Основной метод решения задачи макетного программирования.

Двойственная задача к задаче линейного программирования. Правила построения, примеры.

Основные результаты двойственных друг другу задач.

Свойства оптимальных решений двойственных задач.

Основные понятия теории игр.

Игра двух лиц с нулевой суммой. Постановка задачи, понятие верхней и нижней цены игры, седловая точка.

Чистые и смешанные стратегии в игре двух лиц с нулевой суммой.

Понятие функции нескольких переменных. Основные определения, график функции двух переменных.

Возрастание (убывание) по отдельной переменной и по направлению функции двух переменных.

Понятие локального и глобального максимума (минимума) функции двух переменных.

Выпуклая (вогнутая) функции двух переменных. Геометрическая иллюстрация для функции одной переменной.

Абсолютные и относительные приращения функции двух переменных по отдельным переменным и по направлению.

Частные производные первого порядка по каждой переменной и по направлению функции двух переменных. Определения, свойства.

Частные производные второго порядка функции двух переменных. Определение, свойства.

Необходимые и достаточные условия экстремума функции двух переменных.

Градиент функции двух переменных. Определение, свойства.

Однородность функции двух переменных степени r.

Задача нелинейного программирования. Постановка.

Понятие выпуклых функций и выпуклых множеств. Задача выпуклого программирования. Постановка. Свойства.

Схема градиентных методов решения задачи выпуклого программирования. Метод наискорейшего спуска.

Функция Лагранжа задачи выпуклого программирования. Множители Лагранжа.

Условия Куна-Таккера.

Задача динамического программирования.

Метод динамического программирования. Принцип оптимальности Боллмана. Область применения динамического программирования.

Задача стохасического программирования в жесткой постановке и по средним.

Задачи экономики.

Постановка задачи принятия решения. Участники задачи принятия решения.

Методы обработки экспертной информации.

Для векторов x = (1, 0, 2, 4, 7), y = (0, 2, 4, 1, 1) указать размерность, построить векторы 2x, 5y, 3x + 2y, вычислить (x, y), (3x, 2y), (2x + y, x + 2y).

Для матриц А = , В = найти А + В, 3А + 4В, В', А·В, В·А, |A|, A^-1.

Систему уравнений записать в матричной форме: . Решить.

Решить задачу линейного программирования: . Указать оптимальное решение (x₁, x₂), максимальное решение целевой функции 20x₁ + 30x₂. Построить двойственную и найти ее решение. Дать геометрическую иллюстрацию, интерпретацию условий двойственности.

В игре двух лиц с нулевой суммой с матрицей выигрышей Н = указать: ― число стратегий первого игрока; ― вторую стратегию сторого игрока; ― нижнюю цену игры; ― верхнюю цену игры.

Для функции Z = найти: ― значение функции в точке (32, 243); ― частные производные первого и второго порядков по x и по y в точке (32, 243).

Для функции Z = 60xy найти: ― абсолютное и относительное приращения функции при переходе из точки (1, 2): в точку (1, 4), в точку (5, 2), по направлению y = 3x при ∆x = 2.

Обосновать выпуклость множеств, заданных условиями: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Проверить, является ли функция выпуклой (вогнутой): 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Построить график функции в точке: 1) ƒ(x, y) = (x - 1)² + (y - 3)² в точке (4, 7); 2) ƒ(x, y) = 20x + 18y в точке (1, 1); 3) ƒ(x, y) = 80xy в точке (3, 1); 4) ƒ(x, y) = 45x^½y^½ в точке (9, 16).

Построить функцию Лагранжа для задачи при условиях: 3x + 8y ≤ 48 x, y ≥ 0.

Решить задачу стохастического программирования в постановке “по срезам”: 5x + 3y → max 4x + 6y ≤ b x, y ≥ 0. b принимает значение 18 с вероятностью и значение 45 с вероятностью .

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ

Билет № 1

1. Дать определение умножения матрицы на число.

2. Записать общую задачу линейного программирования на максимум в стандартной форме с помощью матриц.

3. Сформулировать цель в транспортной задаче.

4. Проверить степень однородности функции Кобба-Дугласа:
   f(x,y) = A x y, + = 1, 0, 0.

5. Привести общую схему применения метода динамического программирования.

6. Для задачи линейного программирования
   
   Указать, какие ограничения на оптимальном плане выполняются как точные равенства.

7. Указать область определения функции: f(x,y) = 20 x y.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ

Билет № 2

1. Дать определение скалярного произведения векторов.

1. Дать понятие области допустимых планов задачи линейного программирования.

2. Каковы способы классификации игр?

3. Свойство отрицательности частной производной первого порядка по у функции двух переменных ( ).

4. Описать задачу n-го шага n-шаговой задачи динамического программирования.

5. Предприятие выпускает два вида продукции, используя один вид сырья. Для производства единицы продукции каждого вида требуется 30 ед. и 20 ед. сырья, соответственно. Цена сырья – 300 руб./ед. Определить стоимость сырья, необходимого для осуществления следующего выпуска продукции .

6. Изобразить геометрически множество решений системы неравенств:
   

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ

Билет № 3

1. Привести условие существования решения системы уравнений.

1. Каков экономический смысл двойственных переменных, если прямая задача связана с составлением плана производства?

2. В игре двух лиц с нулевой суммой дать понятие оптимальной стратегии Игрока 2.

3. Экономический смысл положительности частной производной первого порядка по х функции двух переменных.

4. Что изучает раздел параметрического программирования?

5. Решить задачу линейного программирования:
   

6. Найти производную по направлению , заданному возрастанием переменной x вдоль прямой у = 2 х функции f(x,y) = 20xy.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ

Билет № 4

1. Привести пример базиса четырехмерного пространства, состоящего из единичных векторов.

1. Привести общие правила построения двойственной задачи к задаче линейного программирования на максимум в стандартной форме (в задаче три переменные, два ограничения-неравенства).

2. Что такое принцип классификации по свойствам функций выигрыша (платежных функций)?

3. Градиент и направление возрастания функции нескольких переменных.

4. Привести основные свойства выпуклых функций.

5. Для задачи линейного программирования
   
   найти максимум целевой функции.

6. Изобразить геометрически множество решений системы неравенств:
   

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ

Билет № 5

1. Привести обоснование неотрицательности неизвестных.

1. В чем состоит конечная цель задачи линейного программирования?

2. В игре двух лиц с нулевой суммой дать описание решения игры.

3. Свойство положительности частной производной первого порядка по у функции двух переменных ( ).

4. Функция Лагранжа для задачи выпуклого программирования.

5. Для задачи линейного программирования:
   
   найти решение двойственной задачи.

6. Для функции f(x,y) = 20ху описать и построить линию уровня:
   20ху = 80 (x, y 0).

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ

Билет № 6

1. Привести свойства решений системы линейных неравенств.

1. Привести постановку транспортной задачи.

2. Дать понятие седловой точки игры в игре двух лиц с нулевой суммой.

3. Достаточные условия максимума функции двух переменных.

4. Задача динамического программирования.

5. Для задачи линейного программирования
   
   Найти решение x* = (x₁*, x₂*)

6. Вычислить абсолютное приращение функции f(x,y) = 20xy при переходе из точки М (3,4) в точку (3.5,4).

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ

Билет № 7

1. Определить правило умножения вектора на число.

1. Привести свойства решения задачи линейного программирования.

2. Описать игру двух лиц с нулевой суммой.

3. Дать понятие условного экстремума функции нескольких переменных.

4. Приведите основные методы обработки экспертной информации.

5. Предприятие выпускает три вида продукции, используя два вида сырья нормы расхода сырья, т.е. в расчете на единицу выпуска характеризуются матрицей
   Определить затраты каждого вида сырья, необходимые для осуществления выпуска продукции в количествах: 1-го вида – 100 ед., 2-го вида – 50 ед. 3-го вида – 70 ед.

6. Указать область определения следующей функции: f(x,y) = .

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету