ZVIT (Розрахунок стратегій діяльності автотранспортних підприємств), страница 3

Матрична гра, очевидно, є передгрою свого змішаного розширення. Для сідлових точок ігор справедливе звернення до властивості незалежності від сторонніх альтернатив. Крім цього, ця властивість поширюється і на оптимальні стратегії гравців.

Із наявності у матричної гри значення слідує його наявність і в її змішаному розширенні, а також рівність цих двох значень.

3.4 Методи розв”язування матричних ігор

Розглянемо деякі зручні методи розв”язування матричних ігор.

Перший метод розв”язування матричної гри за допомогою лінійного програмування. У цьому методі припускається, що ціна гри додатня. Ця умова не порушує загальності, так як згідно теореми завжди можна підібрвти таке число, додавання якого до всіх елементів матриці виграшів завжди даєє матрицю з додатніх елементів, а, отже, з додатніми значеннями ціни гри. при цьому оптимальні змішані стратегії обох гравців не змінюються.

Так, нехай задана матрична гра з матрицею А=( а_ij) порядку m*n. Оптимальні змішані стратегії x(x1,...,xi,....,xm), y(y1,....,yi,.....,yn) відповідно першого і другого гравця і ціна гри v повинна задовільняти умовам:

(3.3)

Поділимо всі рівняння і неріності (3.3) на v ( це можна зробити, адже ми припустили що v>0) і введемо наступні позначення:

Отримаємо відповідно задачі (3.3) в наступному вигляді

Оскільки перший гравець прагне знайти такі значеня xi, а значить і рі, щоб ціна гри v була максимальна, то розв”язування першої задачі зводиться до знаходження невід”ємних значень рі(і=1,2...m) при яких

(3.3)

Оскільки другий гравець прагне знайти такі значеня уi, а значить і qі, щоб ціна гри v була максимальна, то розв”язування першої задачі зводиться до знаходження невід”ємних значень qі(і=1,2...m) при яких

(3.4)

Формули (3.3) та (3.4) виражають двоїстість одна одній задчі лінійного програмування. Для рішення задач існують досить хороші методи, одним з яких є симплекс метод.

Розв”язавши ці задачі, отримаємо значення рі і qі та v. Тоді змішані стратегії, тобто значення xi i yi отримаємо за формулами

xi=vpi (i=1,2...m)

yj=vqj (j=1,2...n) (3.5)

Звичайно це найпростіший метод розв”язання і крім нього є розроблено багато методів, в тому числі і методи, які дозволяєть працювати з матрицями, які не відповідають умовам (3.4).

4. Постановка задачі

4.1 Економіна суть задачі

Припустимо, що деяке автопідприємство може здійснювати перевезення n-ними видами транспорту із переліку можливих. Виконання кожного перевезення може принести автопідприємству певний дохід, який позначимо pj. Разом з тим для забезпечення перевезення потрібно здійснити витрати на:

- обладнання для виконання перевезення;

- пальне необхідного асортименту та інші мастильні матеріали;

- запасні частини для поточного ремонту автотранспорту;

- ремонт і технічне обслуговування автотранспорту;

- заробітну працю обслуговуючого персоналу певної кваліфікації;

- амортизацію автотранспорту та інше.

Усе це разом виражається у фінансових затратах, які позначимо з розрахунку на одиницю виду транспорту через qj Очевидно, що при детермінованому попиті на автотранспорт, не важко вибрати не тільки вид автотранспорту, але й розрахувати нормативи, які забезпечують мінімальні затрати на виконання ними перевезнь. Однак для реальних ситуацій здебільшого характерна невизначеність замовлень на перевезення певним видом транспорту в межах прогнозованих границь. У цьому випадку формалізацію конфлікту господарської діяльності автопідприємства найбільш природньо здійснити на теоретико-ігровій основі.

4.2 Економіко-математична модель

У нашому випадку будемо вважати що попит є невідомий. Тоді моделлю розглядуваного конфлікту буде гра, в якій однією з конфліктуючих сторін виступає автопідприємство (перший гравець), а другою - ринок (другий гравець). Кожна з сторін має n стратегій, причому:

і-та стратегія автопідприємства- це здійснення перевезення і-гм видом транспорту;

j-та стратегія ринку - попит на виконання перевезення j- им видом транспорту.

Корисність автопідприємства (першого гравця), очевидно, буде отриманий дохід. У цьому випадку скінчена антагоністична гра

Г=

буде задаватися матрицею виграшів

де рі (І=1...n) - сума доходу, який отримує автопідприємство від виконання перевезення і-им видом транспорту;

qі - сума затрат на перевезення і-им видом транспорту.

Вектор X(₁, ₂,....., _n) визначає чисті стратегії автопідприємства, тобто відсотки виконання перевезень на замовлення споживачів окремими видами транспорту, а вектор Y(₁, ₂,......, _n)визначає чисті стратегії ринку, тобто потреби у певному виді транспорту.

У загальному випадку доходи і затрати автопідприємства в залежності від виду транспорту можуть бути різним, тобто

р1р2....рn (рі>=0);

q1q2....qn (qі>=0); (4.2)

Домножимо кожен рядок матриці (4.1) на деякий коефіцієнт кі щоб виконувалася умова

к1р1=к2р2=........=кnрn=р (4.3)

Віднімимо число р від всіх елементів матрицй, внаслідок чого отримаємо еквівалентну матрицю Н* де zі=qi+p (4.4)

У зв”язку з тим, що Н* еквівлентна матриці Н , то приведені вище перетворення не змінюють множини оптимальних стратегій автопідприємства та ринку.

Знайдемо оптимальні стратегії автопідприємства і ринку скінченої антагоністичної гри, яка визначається матрицею Н*. Перш ніж шукати розв”язок гри, заданої матрицею, потрібно зробити перевірку умови

(4.5)

Якщо вона виконується, то значення гри буде

v=-z_kmin (4.6)

тобто мінімальному значенню z_і , а автопідприємство має чисту оптимальну стратегію, яка виражається к-им рядком матриці.

Підібравши значення _і так, щоб вони задовільняли умовам;

_і<=1-z_kmin/z_i (i=1,n-1) (4.8)

можна знайти стратегію ринку.

Розглянутий випадок дає можливість визначити оптимальні стратегії автопідприємства і ринку, але не забезпечує максимально можливого доходу для автопідприємства. Тому, дослідимо тепер випадок, коли умова (4.5) не виконується, тобто

(4.8)

Тоді підприємство і ринок мають оптимальну стратегію, в якій всі чисті стратегії використовуються з додатніми ймовірностями. Якщо це так, то оптимальна стратегія Y для ринку буде задовільняти системі рівняннь

Н*(j,Y)=-z_j(1-_j)=v (4.9)

звідки знаходимо

_j= 1 + v/ z_j (j=1,n) (4.10)

Сумуючи всі ймовірності _j стратегії Y по j та приймаючи до уваги, що сума повинна дорівнювати одиниці, отримуємо

(4.11)

Підставляючи значення v у рівняння (4.9) запишемо формули для розрахунку _j:

(4.12)

Співвідношення (4.12) визначає деяку змішану стратегію, яка задовільняє системі рівняннь (4.9).

Змішана стратегія підприємства X(₁, ₂,....., _n), яка розраховується за формулою

(4.13)

задовільняє системі рівняннь

(4.14)

Ці стратегії будуть також оптимальними і в грі, яка задається матрицею Н. Щоб отримати значення цієї гри v*, треба до виразу (4.11) додати член кірі, тобто врахувавши співвідношення (4.3) (4.5) і (4.11) запишемо

(4.15)

Щоб автопідприємству було вигідно здійснювати перевезення при невідомому попиті, повинна виконуватися умова

V*>0 (4.16)

тобто

(4.17)

Якщо умова (4.17) не виконується, то автопідприємству невигідно здійснювати перевезення, тобто автопідприємство є збитковим. Якщо ж умова (4.17) виконується, то перевезення може здійснюватия згідно стратегії, яка визначається співвідношенням (4.13)

Отже, якщо автопідприємство може здійснювати перевезення різними видамитр транспорту, то ймовірність і є частками транспорту, яким варто здійснювати перевезення при правильній маркетинговій поллітиці автопідприємства. При цьому очікуваний дохід розразовується за формулою (4.16).

4.3 Результуюча інформація

В результаті розв”язування задачі вибору господарської діяльності автопідприємства ми отримуємо дані про те, які частки перевезення слід здійснювати певним видом транспорту, чи варто їх взагалі здійснювати, а якщо варто - то який дохів від цього можна отримати.

Уся ця інформація оформляється у вигляді документу “Відсотки виконання перевезення різними видами транспорту у _______ на ___________”

(період) (підприємство)

Даний документ містить наступні реквізити:

- тип, марка, модель автомобіля;

- % виконання перевезень.

2.1 Вхідна інформація

Для розв”язування даної задачі потрібно було зібрати таку інформацію про автотранспортне підприємство , щоб можливо було розглянути гру, у якій одним з гравців виступало автотранспортне підприємство, а другим - ринок. Для цього необюхідно було встановити доходи підприємства від перевезень, здійснених різними видами транспорту, а також суми витрат для забезпечення циз перевезень. Так нами було пред”явлено документ “Звіт про доходи і витрати на автомобільні перевезення на ___________ (звітний період).”

Даний документ містить наступні реквізити

- кому подається;

- підприємство;

- період;

Загальні показники:

- тип, марка, модель автомобіля;

- кількість автомобілів;

Натуральні показники:

- перевезено вантажів;

- виконано тонно-кілометрів, автомобіле-годин, платних кілометрів;

Фінансові показники:

- доходи;

податок на додану вартість;

- витрати;

- відрахунок на будівництво автомобільних шляхів;

- результати: прибуток /+/

збиток /-/.

Склад витрат.

-заробітна плата всіх працюючих;

в тому числі водіїв;

- відрахування на соціальне страхування;

- паливо і мастила;

- автомобільні шини;

- ремонт і технічне обслуговування автомобілів без зарплати ремонтиків,;

- амортизація автотранспорту;

- податки та збори;

- інші загальногосподарські витрати.

З усіх показників для розв”язування поставленої задачі нам потрібні були лишень наступні:

- підприємство;

Загальні показники :

-тип, марка автомобілів;

-кількість автомобілів;

Фінансові показники

-заробітна плата всіх працюючих;

- відрахування на соціальне страхування;

- паливо і мастила;

- автомобільні шини;

- ремонт і технічне обслуговування автомобілів без зарплати ремонтиків,;

- амортизація автотранспорту;

- податки та збори;

- інші загальногосподарські витрати.

Під час перегляду документів ми зупинилися на тих, що відображали роботу двох автотранспортних підприємств:

- Львівське АТП 24662;

-Золочівське АТП 24661.