ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

КАФЕДРА ЭММ и ПМ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Выполнил:

Проверил: Федосеев В.В.

г. Москва, 2001 г.

Задача 4.1

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и прибыль от реализации каждого продукта приведены в таблице (табл.1).

табл.1

При решении задачи на максимум общей себестоимости были получены следующие результаты:

; ; ; ;

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную на максимум общей себестоимости, указать оптимальную производственную программу.

Пусть ; ; ; - объемы производства продукции каждого вида.

Целевая функция:

Функциональные ограничения:

Прямые ограничения:

Оптимальная производственная программа заключается в выпуске 95 ед. первой продукции, 210 ед. второй продукции, 0 ед. третьей продукции и 0 ед. четвертой продукции.

Третий и четвертый вид продукции выпускать не выгодно, т.к. затраты превышают цену.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план.

Пусть ; ; - двойственные оценки типов ресурсов соответственно.

Целевая функция:

Функциональные ограничения:

Прямые ограничения:

Найдем оптимальный план этой задачи, используя теорему двойственности:

Прежде всего, проверим, является ли указанный в условии задачи план допустимым решением:

По ресурсу I:

По ресурсу II:

По ресурсу III:

Следовательно, план оптимальный. Ресурс I остается в избытке, а ресурсы II и III расходуются полностью.

Воспользуемся соотношением второй теоремы двойственности:

т.к. и ,то

Вычислим значения целевой функции двойственной задачи:

,

т.о. приведенный в условии план является оптимальным.

3. Проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане.

Ресурс I является недефицитным ( ). Ресурсы II и III являются дефицитными, причем ресурс III более дефицитный, чем ресурс II ( ).

Найдем норму заменяемости для дефицитных ресурсов:

Следовательно, ресурс III в 1,5 раза более эффективен, чем ресурс II с точки зрения влияния на максимум продукции.

4. Определить, как изменится общая стоимость продукции и план выпуска при увеличении запасов сырья II и III вида на 120 и 160 ед. соответственно и одновременном уменьшении запасов сырья I вида на 60 ед.

Будем считать, что данные изменения объемов ресурсов находятся в пределах устойчивости оптимального решения (в пределах устойчивости двойственных оценок), тогда по третьей теореме двойственности имеем:

Запишем исходную и двойственную ЗЛП с измененными объемами ресурсов.

Исходная:

Двойственная:

Воспользуемся соотношением второй теоремы двойственности:

Рассмотрим первые соотношения (их два):

Следовательно, про ничего сказать нельзя.

Следовательно, про ничего сказать нельзя.

, (затраты больше цены)

, (затраты больше цены)

Рассмотрим вторые соотношения:

, ничего сказать нельзя

, второе ограничение обращается в равенство

, третье ограничение обращается в равенство

Запишем систему уравнений и решим ее:

Это совпадает с выводом, сделанным ранее на основании теоремы об оценках.

5. Определить целесообразность включения в план изделия «Д» ценой 12 ед. на изготовление, которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Это задание выполняется на основе третьего свойства двойственных оценок, т.е. оценки как определение эффективности.

Рассчитаем показатель эффективности для этой продукции:

Следовательно, данную продукцию выпускать целесообразно (затраты меньше цены).

Задача 4.2

Решить транспортную задачу (табл.2). Сформулировать экономико-математическую модель исходной транспортной задачи, найти оптимальный план закрепления поставщиков за потребителями, установить единственность или не единственность оптимального плана.

табл.2

Сформулируем ЭММ этой задачи:

Пусть - объемы перевозок от - того поставщика - тому потребителю.

Целевая функция:

Проверим, выполняется ли условие баланса:

т.о. условие баланса выполнятся – транспортная задача закрытая.

Функциональные ограничения

по поставщикам:

по потребителям:

Оценим стоимость перевозки:

;

Ответ: оптимальный план перевозок представлен в табл.1. Стоимость перевозок по этому плану составляет 340 ден. ед. Оптимальный план является единственным.

Задача 5.

табл. 3

1. m=3

; ;

; ;