151298 (Механика жидкостей и газов в законах и уравнениях)

ГОУ ВПО

ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

Реферат на тему:

МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ и газов

Выполнил:

Студент гр. МС-116

Оконешников А.В.

Проверил:

Шевченко С.С.

Омск - 2007

1. МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ

Совокупность векторов v(t), заданных для всех точек пространства, называется полем вектора скорости. Это поле можно наглядно изобразить с помощью линий тока (рис. 39.1). Линию тока

Рис. 39.1. Линии тока проводятся так, чтобы вектор v в каждой точке пространства был направлен по касательной к соответствующей линии

Рис.39.2. За время Δt через поверхность S пройдут все частицы жидкости, заключённые в объёме между S и S’

можно провести через любую точку пространства. Если построить все мыслимые линии тока, они просто сольются друг с другом. Поэтому для наглядного представления течения жидкости строят лишь часть линий, выбирая их так, чтобы густота линий тока была численно равна модулю скорости в данном месте. Тогда по картине линий тока можно судить не только о направлении, но и о модуле вектора v в разных точках пространства. Например, в точке А на рис.39.1 густота линий, а следовательно и модуль v, чем в точке В. Поскольку разные частицы жидкости могут проходить через данную точку про­странства с разными скоростями (т. е. v = v(t)), кар­тина линий тока, вообще говоря, все время изме­няется. Если скорость в каждой точке пространства остается постоянной (V=const), то течение жидко­сти Называется стационарным (установившим­ся). При стационарном течении любая частица жидкости проходит через данную точку пространства с од­ной и той же скоростью v. Картина линий тока при стационарном течении остается неизменной, и линии тока в этом случае совпадают с траекториями частиц. Если через все точки небольшого замкнутого контуpa провести линии тока, образуется поверхность, которую называют трубкой тока. Вектор v касателен к поверхности трубки тока в каждой ее точке. Следовательно, частицы жидкости при своем движе­нии не пересекают стенок трубки тока.

Возьмем трубку тока, достаточно тонкую для того, чтобы во всех точках ее поперечного сечения S скорость частиц v была одна и та же (рис. 39.2). При стационарном течении трубка тока подобна стен­кам жесткой трубы. Поэтому через сечение 5 прой­дет за время Δt объем жидкости, равный SvΔt, а в единицу времени объем

(39.1)

Ж идкость, плотность которой всюду одинакова и изменяться не может, называется несжимаемой. На рис. 39.3 изображены два сечения очень тонкой трубки тока — S1 и S2. Если жидкость несжи­маема , то кол – во ее между этими сечениями остается неизменным. От­сюда следует, что

Рис39.3. Для несжимаемой жидкости при стационарном течении S₁v₁=S₂v₂

Рис 39.4. При движении в сужающейся трубке скорость частиц возрастает – частицы движутся ускоренно.

объемы жидкости, протекающие в единицу времени через сечения S1 и S2, должны быть одинаковыми:

(39.2)

(напомним, что через боковую поверхность трубки тока частицы жидкости не проникают).

Равенство (39.2) справедливо для любой пары произвольно взятых сечений. Следовательно, для не­сжимаемой жидкости при стационарном течении про­изведение Sv в любом сечении данной трубки тока имеет одинаковое значение:

(39.3)

Это утверждение носит название теоремы о неразрывности струи.

Мы получили формулу (39.3) для несжимаемой жидкости. Однако она применима к реальным жидко­стям и даже к газам в том случае, когда их сжимае­мостью можно пренебречь. Расчеты показывают, что при движении газов со скоростями, много меньшими скорости звука в этой среде, их можно с достаточной точностью считать несжимаемыми.

Из соотношения (39.3) вытекает, что при изме­няющемся сечении трубки тока частицы несжимаемой жидкости движутся с ускорением (рис. 39.4). Если трубка тока горизонтальна, это ускорение может быть обусловлено только непостоянством давления вдоль трубки — в местах, где скорость больше, давление должно быть меньше, и наоборот. Аналитическую связь между скоростью течения и давлением мы уста­новим в следующем параграфе.

2. Уравнение Бернулли

В реальных жидкостях при перемещении слоев жидкости друг относительно друга возникают силы внутреннего трения, тормозящие относительное сме­щение слоев. Воображаемая жидкость, у которой внутреннее трение полностью отсутствует, называется идеальной. Течение идеальной жидкости не со­провождается диссипацией энергии (см. предпослед­ний абзац § 24).

Рассмотрим стационарное течение несжимаемой идеальной жидкости. Выделим объем жидкости, огра­ниченный стенками узкой трубки тока и перпендику­лярными к линиям тока сечениями S₁ и S₂ (рис. 40.1), За время А/ этот объем сместится вдоль трубки тока, причем граница объема S₁ получит перемещение Δl₂ , а граница S₂ — перемещение Δl₂. Работа, совершае­мая при этом силами давления, раина приращению полной энергии (E_k + E_p)_, заключенной в рассматри­ваемом объеме жидкости.

Силы давления на стенки трубки тока перпенди­кулярны в каждой точке к направлению перемещения жидкости, вследствие чего работы не совершают. От­лична от нуля лишь работа сил давления, приложенных к сечениям S1 и S2. Эта работа равна (см. рис. 40.1).

П олная энергия рассматриваемого объема жидко­сти слагается из кинетической энергии и потенциалальной энергии в поле сил земного тяготения. Вслед­ствие стационарности течения полная энергия той части жидкости, кото­рая ограничена сече­ниями 1’ и 2 (внутрен­няя незаштрихованная часть трубки тока на рис. 40.1), за время Δt не изменяется. Поэто­му приращение полной энергии равно разности значений полной энер­гии заштрихованных объемов ΔV₂ и ΔV₁, масса которых Δm = рΔV (р — плотность жидкости).

Возьмем сечение S трубки тока и перемещения Δl настолько малыми, чтобы всем точкам каждого из заштрихованных объёмов можно было приписать одно и то же значение скорости v , давления p, и высоты h. Тогда дли приращения полной энергии получается выражение

Приравняв выражения (40.1) и (40.2), сократив на AV и перенеся члены с одинаковыми индексами в' одну часть равенства, придем к уравнению

Это уравнение становится вполне строгим лишь при стремлении поперечного сечения S к нулю, т. е. при стягивании трубки тока в линию. Следовательно, ве­личины и, h и р в обеих частях равенства нужно рассматривать как относящиеся к двум произвольным точкам одной и той же линии тока.

При выводе формулы (40.3) сечения S₁ и S₂ были взяты совершенно произвольно. Поэтому можно утверждать, что в стационарно текущей несжимаемой и идеальной жидкости вдоль любой линии тока вы­полняется условие

Уравнение (40.3) или равнозначное ему уравнение (40.4) называется уравнением Бернулли. Хотя это уравнение было получено для идеальной жидкости, оно хорошо выполняется для реальных жидкостей, у которых внутреннее трение невелико.

3. Истечение жидкости из отверстия

Р ассмотрим истечение идеальной несжимаемой жидкости из небольшого отверстия в широком откры­том сосуде (рис. 41.1). Выделим мысленно в жидко­сти трубку тока, сечениями ко­торой являются открытая по­верхность жидкости S₁ и сече­ние струи при выходе из отвер­стия S₂ (если не принять спе­циальных мер, то сечение струи будет меньше отвер­стия). Для всех точек каждого из этих сечений скорость жид­кости v и высоту h над некото­рым исходным уровнем можно считать одинаковыми. Поэтому к данным сечениям можно применить теорему Бернулли. Давления р₁ и р₂ в обоих сечениях одинаковы и равны атмосферному. Скоростью v₁ пе­ремещения открытой поверх­ности жидкости ввиду ее малости можно пренебречь. Поэтому уравнение (40.3) в данном случае упро­щается следующим образом:

Рис.41.1.

г де v — скорость жидкости в сечении S₂ (скорость истечения из отверстия). Сократив на р, можно на­писать, что где h = h₁ — h₂ — высота открытой поверхности над отверстием.

Формула (41.1) называется формулой Торричелли. Из нее следует, что скорость истечения жидкости из отверстия, находящегося на глубине h под открытой поверхностью жидкости, совпадет со скоростью, которую приобретает любое тело, падая с высоты h (в случае, если сопротивлением воздуха можно пренебречь). Этот результат получен в пред­положении, что жидкость идеальна. Для реальных жидкостей скорость истечения будет меньше, причем тем сильнее отличается от значения, определяемого формулой Торричелли, чем больше внутреннее трение в жидкости. Например, глицерин будет вытекать из сосуда медленнее, чем вода.

4. Вязкость. Течение жидкости в трубах

Идеальная жидкость, т. е. жидкость без внутрен­него трения, является абстракцией. Всем реальным жидкостям и газам в большей или меньшей степени присуще внутреннее трение, называемое также вязкостью. Вязкость проявляется, в частности, в том, что возникшее в жидкости или газе движение, после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно прекращается. Примером может служить движение жидкости в стакане после того, как ее пе­рестают размешивать ложечкой.

Рассмотрим течение жидкости в круглой трубе. Измерения показывают, что при медленном течении скорость частиц жидкости изменяется от нуля в не­посредственной близости к стенкам трубы до макси­мума на оси трубы.