150935 (Спектральный анализ колебаний), страница 2

Рис. 8. Спектральная плотность экспоненциального видеоимпульса:

а – нормированный амплитудный спектр; б – фазовый спектр

Распределение энергии в спектре непериодического колебания

Пусть непериодическое колебание описывается функцией . Тогда можно записать

.

Проинтегрируем это выражение по переменной в бесконечных пределах:

В этом выражении

,

где – комплексная величина, сопряженная с .

Следовательно,

.

Произведение двух сопряженных комплексных величин равно квадрату модуля одной из них, поэтому

.

Так как левая часть равенства определяет энергию колебания , то это можно сказать и о правой части. Но тогда

есть ни что иное, как энергия колебания, приходящаяся на один радиан полосы частот для текущей частоты .

Иными словами, является спектральной плотностью энергии колебания и характеризует распределение энергии в полосе частот колебания:

.

Энергетически значимые участки спектра расположены в тех частотных полосах, в которых значение спектральной плотности относительно велики.

Пример. Определить спектральную плотность энергии прямоугольного видеоимпульса с параметрами: длительность , амплитуда и располагается симметрично относительно начала отсчета времени.

На основании формулы прямого преобразования Фурье найдем спектральную плотность амплитуд

Спектральную плотность энергии легко определить путем возведения в квадрат спектральной плотности амплитуд:

Введем безразмерную переменную и представим результаты определения спектральной плотности амплитуд и спектральной плотности энергии в следующем виде:

;

.

Теперь легко построить нормированные спектры как функций безразмерной частотной переменной (рис. 9 и 10).

Рис. 9. График нормированной спектральной плотности прямоугольного видеоимпульса как функции параметра

Рис. 10. Нормированный энергетический спектр прямоугольного

видеоимпульса как функции безразмерной частотной переменной

Библиографический список

1. Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей.– М.: Радио и связь, 1986.

2. Суднищиков В. С. Основы теории передачи и устройства преобразования сигналов (часть 1).– Орел:

3. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов.– М.: Наука, 1986.

.