150504 (Осесиметричні коливання дискретно підкріплених оболонкових елементів конструкцій на пружній основі при імпульсних навантаженнях), страница 2

На основі аналізу виконаного літературного огляду сучасного стану проблеми взаємодії тонкостінних елементів конструкцій з пружнім середовищем, в якому вони знаходяться, визначено місце даної роботи серед проведених раніше розробок і обґрунтовано вибір напрямків досліджень.

У другому розділі детально викладено постановки задач осесиметричних та неосесиметричних коливань підкріплених оболонок обертання з врахуванням зовнішнього середовища. Покладалось, що напружено-деформований стан неоднорідної пружної структури може бути визначений в рамках геометрично нелінійної теорії оболонок і стержнів типу Тимошенка. Деформований стан гладкої оболонки визначається через компоненти узагальненого вектора переміщень серединної поверхні –. Деформований стан ребра, направленого вздовж осі , визначається вектором переміщення лінії центра ваги поперечного зрізу.

Деформаційні співвідношення для обшивки визначаються згідно формул

,... , (1)

Покладається, що підкріплюючі ребра жорстко з’єднані з гладкою оболонкою. Умови контакту оболонка – j-те ребро приймаються у вигляді

.…. (2)

Для виводу рівнянь коливань підкріплених оболонок на пружній основі використовується варіаційний принцип стаціонарності Гамільтона –Остроградського, згідно якого

(3)

Після стандартних перетворень в варіаційному функціоналі (3), з врахуванням співвідношень (2), отримаємо наступні системи диференціальних рівнянь:

– рівняння коливань гладких оболонок обертання з врахуванням пружної основи

, …. (4)

– рівняння коливань для -го ребра

, …. (5)

Рівняння коливань (4) –(5) доповнюються відповідними граничними та початковими умовами.

Також в другому розділі наведено постановку зв’язаної задачі оболонка – ґрунтове середовище.

Рівняння руху ґрунтового середовища приймаються у вигляді

, …. (6)

Рівняння стану ґрунтового середовища приймається в рамках нелінійної рідкої трьохкомпонентної моделі ґрунтів В.М. Ляхова

, (7)

де зміст компонент по об’єму ; величини з індексом 1 відносяться до газоподібної компоненти, з індексом 2 відносяться до рідкої компоненти; з індексом 3 - до твердої компоненти; - показники ізентроп в газоподібній, рідкій і твердій компонентах середовищах; - швидкості звуку у відповідних компонентах середовища при атмосферному тиску; - густини компонентів середовища.

Рівняння коливань оболонки, яка взаємодіє із ґрунтовим середовищем має вигляд

, (8)

З метою оцінки впливу зовнішнього середовища на розповсюдження гармонійних хвиль у конструктивно-ортотропній моделі підкріпленої циліндричної оболонки на двохпараметричній основі Пастернака проведене аналітичне дослідження. Для лінійного варіанту рівнянь (4) для циліндричної оболонки вдалося виключити функцію 1 кута повороту нормалі до серединної поверхні і отримати систему рівнянь відносно переміщення u і прогину w. Відкинувши в цих рівняннях праві частини, отримаємо однорідне рівняння для дослідження розповсюдження гармонійних хвиль, які будемо шукати у вигляді:

; , (9)

де k – хвильове число, циклічна частота = Vk, V – швидкість гармонійних хвиль.

Підставивши (9) в отримане однорідне рівняння і скоротивши на sin(kx- t) і cos(kx- t), отримаємо однорідну систему рівнянь відносно U і W. Щоб ця система мала ненульовий розв’язок необхідно щоб її визначник дорівнював нулю. З цієї умови маємо дисперсійне рівняння:

….. …= 0. (10)

Проведемо асимптотичне дослідження можливих розв’язків цього рівняння: для випадку, коли довжина хвилі набагато більше ніж поперечний переріз оболонки то k 0 -маємо стержень:

(11)

Оболонка без постелі має стержневу швидкість, а з абсолютно жорсткою постіллю - пластинчату.

Для тонкої оболонки k 1, і з рівняння (10) одержуємо:

, . (12)

Проведений аналіз показав, що модель Пастернака більш адекватно описує взаємодію пружного навколишнього середовища з оболонкою ніж модель Вінклера.

У третьому розділі розглядаються чисельні алгоритми розв'язування нестаціонарних динамічних задач теорії підкріплених оболонок на пружній основі. Чисельний алгоритм розв'язування нестаціонарних задач теорії підкріплених оболонок базується на застосуванні інтегро – інтерполяційного методу побудови скінченно – різницевих схем по просторовій координаті та явній скінченно – різницевій схемі типу „хрест” по часовій координаті. В силу вихідної постановки задач (врахування дискретності розміщення ребер) шукається чисельний розв’язок в гладкій області – рівняння (4) та на лініях розташування ребер – рівняння (5).

Вихідна група рівнянь, що описує динамічну поведінку неоднорідної оболонкової структури на пружній основі представляє собою дві системи рівнянь. Одна з них – це рівняння коливань підкріплених оболонок обертання (рівняння коливань гладкої оболонки на пружній основі – рівняння (4) та рівняння коливань ребер – співвідношення (5)), друга – співвідношення узагальненого закону Гука для кожного з вказаних елементів. Перехід від неперервної системи рівнянь до скінченно – різницевих виконується в два етапи. Перший етап полягає в скінченно – різницевій апроксимації дивергентних рівнянь коливань в зусиллях – моментах, що базується на застосуванні інтегро – інтерполяційного методу апроксимації рівнянь коливань оболонки та ребер. Другий етап апроксимації рівнянь полягає у виборі енергетично погоджених скінчено – різницевих апроксимацій величин зусиль – моментів і відповідних величин деформацій, щоб виконувався закон збереження повної механічної енергії на різницевому рівні.

Виходячи з того, що явні скінченно – різницеві схеми є умовно стійкими, для випадку підкріпленої циліндричної оболонки на пружній основі проведено дослідження стійкості відповідних різницевих рівнянь і отримано необхідну умову стійкості скінченно – різницевих рівнянь , де – максимальна частота вільних коливань дискретного елементу.

Для розв’язку зв’язаних задач – рівняння (6) – (8), побудовані чисельні алгоритми, які базуються на застосуванні скінченно – різницевих схем Мак – Кормака. У випадку задачі взаємодії циліндричної оболонки з ґрунтовим середовищем різницеві схеми Мак – Кормака (13)-(16).

У четвертому розділі розроблена та апробована методика розрахунку динаміки оболонок обертання на пружній основі дала можливість дослідити динаміку дискретно підкріплених циліндричних та сферичних оболонок на пружній основі. Дана геометрично нелінійна постановка задач динаміки підкріплених циліндричних та сферичних оболонок на пружній основі з врахуванням дискретного розміщення ребер. Аналіз чисельних розрахунків дискретно підкріплених циліндричних оболонок на основі Вінклера та сферичних оболонок на основі Пастернака показує, що різниця між максимальними значеннями прогинів та напружень за рахунок пружного середовища може сягати 20 – 30%.

Наведена постановка задач для циліндричних оболонок на пружній основі Вінклера та зв’язаних задач – циліндрична оболонка в нелінійному ґрунтовому середовищі при внутрішньому осесиметричному імпульсному навантаженні. Використовуючи алгоритми, розроблені в Розділі 3, отримані чисельні розв’язки поставлених задач. Виходячи з аналізу структури рівнянь циліндричних оболонок на пружній основі та в ґрунтовому середовищі і, спираючись на їх подібність запропонована оцінка коефіцієнта ґрунтової основи Вінклера за допомогою формули , де величини і визначаються з розв'язку зв’язаної задачі; - час досягнення . Порівняльний аналіз розв’язків подібних задач показав працездатність запропонованої формули.

Детально визначено вплив складу трьохкомпонентного середовища на характер розповсюдження хвильових процесів в ґрунтовому середовищі і динамічної поведінки циліндричних оболонок при імпульсному навантаженні. Звертає увагу на себе той факт, що незначне збільшення повітряної складової значно впливає на частоти, швидкість і затухання амплітуд динамічних процесів.

Подібні дослідження проведено для сферичної оболонки на пружній основі Вінклера і зв’язаної задачі нелінійне ґрунтове середовище – сферична оболонка. Подібність структури рівнянь сферичних оболонок на пружній основі та в ґрунтовому середовищі також дозволили провести оцінку коефіцієнта С пружної основи Вінклера за допомогою формули наведеної вище. З проведених розрахунків слідує, що вплив пружної основи на напружено деформований стан оболонки починає проявлятися після часу досягнення напруженнями свого максимального значення.

Чисельні розрахунки проводилися для випадку підкріпленої циліндричної оболонки на пружній основі згідно моделі Вінклера при внутрішньому нормальному імпульсному навантаженні. Покладалося, що краї оболонки жорстко защемлені. Початкові умови нульові.

Осесиметричні коливання підкріпленої циліндричної оболонки на пружній основі розглядалися при наступних геометричних та фізико – механічних параметрах:

L/h = 80; R/h = 10; E = 7.10¹⁰ Па; = 0,3; = 2700 кг/м³; A = 10⁶Па; C = 4,6.10¹⁰Н/м³.

Нормальне імпульсне навантаження задавалося у вигляді

,

де – амплітуда навантаження, – тривалість навантаження. В розрахунках покладалося

. Підкріплюючі ребра розташовані на лініях. Коефіцієнт Вінклера визначався згідно запропонованої методики при розв'язку зв’язаної задачі циліндрична оболонка – ґрунтове середовище. Водонасичений грунт розглядався з параметрами

(газова складова); (рідинна складова); (тверда складова).

На рис.1 та рис.2 приведено залежності величин прогину та напруження в залежності від просторової координати в момент часу . Криві з індексом 1 відповідають випадку врахування основи Вінклера, криві з індексом 2 – без врахування основи. Різниця по максимальним значенням величин та сягає порядку 50%. Чітко проявляються лінії знаходження ребер.