150302 (Зонная теория твердых тел), страница 2
Описание файла
Документ из архива "Зонная теория твердых тел", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "рефераты, доклады и презентации", в предмете "физика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "150302"
Текст 2 страницы из документа "150302"
Рис.12
§ Теорема Блоха
Теорема Блоха утверждает, что собственные функции волнового уравнения с периодическим потенциалом имеют вид произведения функции плоской волны
На функцию , которая является периодической функцией в кристаллической решетке:
Индекс в указывает, что эта функция зависит от волнового вектора .
Волновую функцию называют функцией Блоха. Решения уравнения Шредингера такого вида состоят из бегущих волн, из таких решений можно составить волновой пакет, который будет представлять электрон, свободно распространяющийся в периодическом потенциальном поле, созданном ионными остовами.
Р
ис.13
Форма волнового пакета при t=0 для дебройлевских волн . Амплитуда указана штриховой линией, волна – сплошной. Движение монохроматической плоской волны вдоль оси Х можно описать функцией
(1)
Скорость распространения волны может быть найдена как скорость перемещения постоянной фазы.
(2)
Если время изменится на величину ∆t, то для того, чтобы соблюдалось условие (2), координата должна измениться на величину ∆х, которая может быть найдена из равенства
т.е. (3)
Отсюда скорость распространения постоянной фазы, получившей название фазовой скорости:
(4)
Фазовая скорость фотонов (m0 = 0) равна скорости света
(5)
, (6)
Фазовая скорость электрона, движущегося со скоростью V, можно написать
(7)
, (7)
т.е. она становится больше скорости света, поскольку V< с. Это говорит о том, что фазовая скорость не может соответствовать движению частицы или же переносу какой-либо энергии.
Реальный процесс не может быть чисто монохроматическим (k = const). Он всегда обладает определенной шириной, т.е. состоит из набора волн, обладающих близкими волновыми числами, а вместе с тем и частотами.
С помощью набора волн можно построить волновой пакет, амплитуда которого отлична от нуля лишь в небольшой области пространства, которую связывают с местоположением частицы. Максимум амплитуды волнового пакета распространятся со скоростью, которая получила название групповой скорости.
Амплитуда В волнового пакета
где A – амплитуда постоянная каждой из этих волн.
В распространяется со скоростью
Для фотонов (m0 = 0)
Для дебройлевских волн
т.е. групповая скорость совпадает со скоростью движения частицы.
В точках и т.д.
Квадрат амплитуды обращается в нуль.
Область локализации волнового пакета
,
где - ширина волнового пакета.
где - время расплывания волнового пакета.
Соотношения неопределенностей Гейзенберга. Чем меньше , тем шире . Для монохроматической волны
,
где амплитуда во всем пространстве имеет одно и то же значение, т.е. наложение частицы (одномерный случай) во всем пространстве равновероятно. Это обобщается и на трехмерный случай.
Для нерелятивистского случая (m = m0) время расплывания волнового пакета
если m = 1г, ,то
время расплывания чрезвычайно велико. В случае электрона m0 ~ 10-27г (размеры атома),
т.е. для описания электрона в атоме мы должны использовать волновое уравнение, т.к. волновой пакет расплывается практически мгновенно.
Волновое уравнение фотона содержит вторую производную по времени, т.к. фотон всегда релятивистская частица.
Движение электрона в кристалле
Закон движения, сравнивая с
где
где m* - эффективная масса, она учитывает совместное действие потенциального поля и внешней силы на электрон в кристалле.
- в зоне проводимости,
в валентной зоне
- в валентной зоне, но в зоне германия и кремния имеются тяжелые и легкие дырки. Эффективные массы всегда выражаются в долях истинной массы m0 = 9·10-28г
и
Эффективная масса – тензорная величина, в различных направлениях она различна, что является следствием анизотропных свойств кристаллов.
Ек – уравнение эллипсоида вращения и описывается двумя значениями масс и
Энергетический спектр электронов и дырок в координатах Е и K
Е (К) – функция квазиимпульса. Энергия электрона в идеальной решетке есть периодическая функция квазиимпульса.
Импульс электрона
Дырки – квазичастицы с меньшей энергией располагаются у потолка валентной зоны и увеличивают свою энергию, перемещаясь по шкале энергии вглубь валентной зоны. Для дырок и электронов отсчет энергий в противоположных направлениях.
Электроны и дырки, обладающие волновым вектором , могут сталкиваться с другими частицами или полями, как если бы они имели импульс
- называется квазиимпульсом.
Обозначение | Название | Поле |
| Электрон | - |
| Фотон | Электромагнитная волна |
| Фонон | Упругая волна |
| Плазмон | Коллективная электронная волна |
| Магнон | Волна перемагничивания |
--- | Полярон | Электрон + упругая деформация |
--- | Экситон | Волна поляризации |
На фононах рассеиваются рентгеновские лучи, нейтроны.
Импульсу в квантовой механике отвечает оператор .
т.е. плоская волна Ψк является собственной функцией оператора импульса , причем собственными значениями оператора импульса служат
Энергия Ферми определяется как энергия электронов на высшем заполненном уровне
где nF – квантовое число наивысшего занятого энергетического уровня.
2nF=N
где N – число электронов в объеме
Энергия - квадратичная функция квантового числа nF.
Волновые функции, удовлетворяющие уравнения Шредингера, для свободной частицы в периодическом поле представляют собой бегущие плоские волны:
при условии, что компоненты волнового вектора принимают значения
аналогичные наборы для Ky и Kz. Любая компонента вектора имеет вид
, где
n – целое положительное или отрицательное число. Компоненты являются квантовыми числами наряду с квантовыми числами
задающим направление спина.
т.е. собственные значения энергии состояний с волновым вектором
В основном состоянии (1S) системы из N свободных электронов занятые состояния можно описывать точками внутри сферы в К – пространстве. Энергия, соответствующая поверхности этой сферы, является энергией Ферми. Волновые векторы, «упирающиеся» в поверхность этой сферы, имеют длины, равные KF, а сама поверхность называется поверхностью Ферми (в данном состоянии она является сферой). KF - радиус этой сферы
где – энергия электрона с волновым вектором , оканчивающимся на поверхности сферы.
Каждой тройке квантовых чисел Kx, Ky, Kz отвечает элемент объема в К – пространстве величиной . поэтому в сфере объемом число точек, описывающих разрешенные состояния, равно числу ячеек объемом , и поэтому число разрешенных состояний равно
где множитель 2 в левой части учитывает два допустимых значения спинового квантового числа
( )
для каждого разрешенного значения
Полное число состояний равно числу электронов N.
Радиус сферы Ферми KF зависит лишь от концентрации частиц и не зависит от массы m
Энергию Ферми можно определять как энергию таких квантовых состояний, вероятность заполнения которых частицей равна 1/2.
если Е=ЕF, то
значение ее можно рассчитать при Т=0 по формуле
Но абсолютный нуль температуры понимается как предел
Т 0,
имея в виду, что абсолютный нуль не достижим и плюс принцип Паули.
Обычно рассматриваются системы не только при Т = 0, но и при любой температуре, если граничная энергий , это условие вырождения, функция распределения таких частиц близка к «ступеньке»
Для таких систем, где можно пренебречь зависимостью ЕF от температуры и считать
Существуют таблицы параметров поверхности Ферми для ряда металлов, вычисленных для модели свободных электронов для комнатной температуры (Т = 3000К).
Концентрация электронов определяется произведением валентности металла на число электронов в 1 см3.
то получим:
или, если ,