150108 (Введение в аксиоматику квантовой механики), страница 2

Формулировка:

Волновые функции, описывающие возможные состояния изменяющейся во вре­мени физической системы, являются решениями временного уравнения Шрёдингера :

. (5.5)

Для стационарной системы уравнение Шрёдингера принимает вид операторного уравнения на собственные значения гамильтониана:

(5.6)

Обратимся к стационарным системам. Введём гамильтониан, не зависящий от времени, и получится стационарное уравнение Шрёдингера. Выявим смысл комплексного сопряжения волновых функций как признак механической обратимости во времени реше­ний уравнения Шрёдингера:

Результат (5.9) это стационарное уравнение Шрёдингера. Оно представляет собой операторное выражение закона сохранения энергии стационарной системы. Это чисто пространственная часть общего решения. Временная часть описывает периодический процесс.

Внимание! Операция комплексного сопряжения временной компоненты волновой функции состоит в замене знака перед аргументом - временем в показателе комплексной экспоненты. Эта простая алгебраическая операция совершенно идентична простой замене знака перед переменной времени. Получается, что при изменении отсчёта времени на об­ратное, не изменяются законы, которым починяется физическая система. Это важнейший результат, состоящий в том, что уравнение Шрёдингера описывает процессы, обратимые во времени.

5.4. Постулат 4. Суперпозиция состояний

Состояния чистые и смешанные. Математические и физические основания принципа суперпозиции

Формулировка 1 (скорее математическая):

Если две волновые функции _p и _q являются решениями операторного уравнения на собственные значения, то их линейная комбинация =c_pp+ c_qq также является его решением.

Истоки этой формулировки лежат в теории дифференциальных уравнений.

Формулировка 2 (скорее физическая):

Если система может находиться в состояниях с волновыми функциями _p и _q , то она может находиться и в состоянии с волновой функцией =c_pp+ c_qq.

Истоки этой формулировки происходят из убеждения, что до опыта нельзя предсказать, в каком состоянии находится система, а потому приходится допустить для неё сразу все возможности.

Речь о тех функциях, что совокупность которых образует спектр собственных функций эрмитова оператора (оператора динамической переменной). Эта ситуация может быть распространена на любое число собственных функций линейного самосопряжённого оператора:

Этот постулат называется принципом суперпозиции состояний и допускает обобщение на любое число собственных функций, образующих спектр эрмитова оператора. Функции _k отвечают так называемым чистым состояниям, а их суперпозиция - смешанному состоянию.

5.5. Постулат 5. Средние значения динамических переменных. Математические ожидания для динамических характеристик состояний чистых и смешанных

Формулировка:

Среднее значение динамической переменной, полученное в результате серии ис-пытаний (измерений) совпадает с математическим ожиданием динамического оператора этой переменной, которое вычисляется по формуле:

; (5.11)

Для чистых состояний это уравнение является формальным следствием 2-го постулата, но для случая смешанных состояний эта формула постулируется и тем самым возводится в ранг физического закона.

5.6. Постулат 6. Принцип Паули

Формулировка:

Полная волновая функция, коллектива идентичных фермионов антисимметрична относительно перестановки любой пары частиц между их индивидуальными одночастичными состояниями.

Это свойство можно записать в виде

. (5.12)

5.7. О перестановочной симметрии коллектива частиц

Удобно ввести оператор перестановки , действие которого состоит в том, что он меняет местами идентичные частицы с номерами k и l между их одночастичными состояниями или что совершенно одно и то же – меняет состояния этих двух частиц между собой.

Если заранее оговорить, что всегда номера идентичных частиц в колективе определяются просто порядковым номером в цепочке-перечислении, то номер можно и не записывать в явной форме. В таком случае записывая в позиции частицы символ какой-то волновой функции, удобно считать её символом состояния, в которое частица попадает.

Действуя на волновую функцию, оператор перестановки исторгает из неё собственное значение, но при этом умудряется её самоё не изменять. Перед нею просто возникает некоторое число - собственное значение этого оператора. Если же оператор перестановки применить к волновой функции коллектива повторно, то обе переставляемые частицы возвращаются на исходные позиции – в исходные состояния, и волновая функция обязана обратиться вновь сама в себя. Система возвращается в исходную ситуацию, и поэтому собственное значение квадрата оператора перестановки равно единице. Получаем равенства:

Необходимая информация.

5.8. Фермионы

Поясним, что обязательный комплект переменных многофермионного коллектива включает не только пространственные переменные и время, но для каждой частицы вводится дополнительная степень свободы, называемая спиновой переменной, так что пространство переменных существенно расширяется.

Этот вопрос рассмотрим позднее, а сейчас его на время оставим...

Фермионами являются все частицы со спином, равным или кратным 1/2 (также возможно и 3/2, 5/2,...-это у некоторых ядер). Электроны и протоны суть фермионы. Их спин равен 1/2. Соответственно для электронного коллектива в молекуле должна быть построена электронная , а для коллектива идентичных протонов – уже своя - протонная волновая функция.

Уравнение Шрёдингера для простейших стационарных движений

6.1. Одномерный "потенциальный ящик"

и последовательный квантово-механический анализ свойств стационарной системы удобно проследить на примере простейшего поступательного движения, на ограниченном интервале. Волновые функции одной частицы называют орбиталями. Решение уравнения Шрёдингера превращаются в орбитали только после подчинения их условиям регулярности, предъявляемым к волновым функциям, а также после обязательной нормировки. Правило квантования энергии (энергетический спектр) вытекает из последовательного наложения граничных условий на решения уравнения Шрёдингера. Энергетический спектр не отличается от полученного для простой модели линейно ограниченной волны Де-Бройля. Энергетическую диаграмму и графики волновых