PHYS11- (Физика)

на общую двойку можно сократить все три слагаемые (производная от последнего, третьего слагаемого в исходном функциональном уравнении равна нулю, так как оно не зависит от

). В полученном дифференциальном уравнении положим теперь и . Тогда придем к следующему дифференциальному уравнению:

Общее решение полученного очень простого дифференциального уравнения легко найти, если перейти к переменным и и показать, что в новых переменных это уравнение имеет вид

Так получаем, что общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения имеет вид

где F — пока произвольная функция.

Найдем вид этой функции. Для этого подставим полученную формулу для в наше дифференциальное функциональное уравнение. Получим тогда следующее функциональное уравнение:

После элементарных алгебраических преобразований, отсюда получаем, что

или

.

Так как при произвольных аргументы функций в правой и левой частях равенства различны и могут принимать совершенно произвольные значения, то приходим к заключению, что

а следовательно,

F

где — некоторые постоянные, которые нам еще предстоит найти.

Итак, мы показали, что исходная функция имеет следующий вид:

где — некоторые пока не определенные постоянные.

Нахождение функции . Найдем теперь аналогичным образом функцию . Три основных соотношения для системы отсчета представим в виде:

Вычитывая первое соотношение из третьего и сравнивая результат со вторым соотношением, получаем уравнение

т.е. уравнение

Видим, что функция удовлетворяет следующему функциональному уравнению:

в котором величины не независимые, а связаны нашими основными соотношениями для системы отсчета К. Используя эти соотношения, оставим независимыми только следующие три величины и . Величины и выразим через указанные величины:

Таким образом, приходим к следующему основному функциональному уравнению для искомой функции:

которое выполняется при произвольных значениях и .

Приступим к решению полученного функционального уравнения. Начнем с того, что продифференцируем его по :

производная последнего, третьего слагаемого в исходном функциональном уравнении равна нулю, так как оно не зависит от . Положим теперь в выведенном уравнении ,

и тогда придем к дифференциальному уравнению

или уравнение

Легко найти общее решение последнего дифференциального уравнения. Для этого надо перейти только к новым независимым переменным

и показать, что в новых переменных уравнение имеет вид

Таким образом получаем общее решение нашего дифференциального уравнения:

в котором — пока произвольная функция.

Найдем вид этой функции. Подставим полученное выражение для функции в продифференцированное функциональное уравнение. Получим тогда соотношение

или соотношение

Так как аргументы у фукций в правой и левой частях равенства при произвольных значениях

и совершенно произвольны, то получаем , что

а следовательно,

где — пока неопределенные постоянные.

Определение констант . Мы получили, что формулы преобразований координат и времен произвольного мгновенного точечного событияв инерциальных системах отсчета и имеют вид

Для нахождения констант привлечем дополнительное требование.

Требование 1. Предположим, что общие начала отсчета координат и времени в системах отсчета K и согласованы таким образом, что мгновенное точечное событие с координатами 0,0 в системе отсчета K имеет в системе отсчета координаты 0,0 ( тоже нулевые координаты),

и наоборот.

Применяя вышеприведенные формулы преобразования к событию 0,0 получаем, что и поэтому формулы преобразования координат мгновенно точечного события приобретают следующий вид:

Теперь неопределенными остались только константы и .

Учтем теперь то обстоятельство, что формулы преобразования мы получили как следствия наших шести основных соотношений. Подставим поэтому полученные простые формулы обратно в эти исходные основные соотношения и установим ограничения на значения констант и . Имеем:

Таким образом, приходим к заключению, что константы и равны друг другу:

=

и поэтому формулы преобразования координат мгновенного точечного события имеют следующий вид:

где — пока что неопределенная постоянная.

Разрешим теперь эти формулы преобразования относительно и . Имеем уравнения

Следовательно,

и поэтому

Полученные формулы сопоставим с формулами преобразования:

которые получаются с помощью рассуждений, совершенно аналогичных приведенным выше, но с заменой систем отсчета K и друг на друга. Следует при этом только учесть, что система отсчета K движется относительно системы отсчета не в положительном, а в отрицательном направлении оси с некоторой положительной скоростью (положительной), определенной в системе отсчета K . Здесь — некоторое пока неизвестное нам число.