PHYS10 (Физика)

точках, мы могли бы и назвать временем в системе отсчета К.

Так поступать, однако, нельзя. Чтобы перенести часы, например из точки «О » в точку М, мы должны сначала эти часы в точке О ускорить, затем передвинуть, а затем замедлить для остановки в точке М. При ускоренном и замедленном движениях при этом ход часов обязательно нарушится и в показания времени будет введена неконтролируемая ошибка.

Поэтому поступим так, как поступил Эйнштейн в работе 1905 г. Будем все часы синхронизировать не в начале координат, до их разнесения, а лишь после того, как мы уже их разнесли и установили в разных точках пространства системы отсчета К.

Синхронизацию проведем при помощи бесконечно коротких световых сигналов, которые будем испускать из начала координат О. В момент времени t = 0, фиксируемый по часам в точке О, мы испустим из точки О сигнал по направлению к точке М, и зарегистрируем момент прихода этого сигнала в точку М по часам в этой точке М и, наконец, выставим на часах в точке М время ,

где r - расстояние между точками N и M. Величиной скорости c при этом мы просто зададимся, т.е. возьмем в качестве нее любое положительное число.

Очевидно, что если теперь, с помощью синхронизированных описанным способом локальных часов, мы будем измерять скорость используемых для синхронизации импульсных световых сигналов, то получим естественно значение c, причем эта скорость окажется изотропной, т.е. не зависящей от выбора направления в пространстве.

Однако надо отчетливо понимать, что это не измерение скорости света, так как само понятие времени мы установили с помощью световых сигналов и значением скорости света с мы просто задались.

Вместе с тем, для краткости, будем называть величину с - «скоростью света»(более точно, скоростью света в системе отсчета К ).

Теперь в точности таким же образом, с помощью импульсных световых сигналов, установим поле времени в «движущейся системе отсчета К'.

Конечно, можно было бы построить поле времени в системе отсчета К' и другим способом. Мы могли бы, например, рассудить следующим образом. Гипотетическая электромагнитная среда - эфир, колебаниями которой является свет, покоится в системе отсчета К, поэтому в системе отсчета К мы имеем свет в покоящейся среде. В системе отсчета К' имеем свет в движущейся среде, а поэтому скорость светового импульса, испущенного, например, в положительном направлении оси x' в системе отсчета К' равна не с, а c - u, а в отрицательном направлении оси x' равна c + u, где u - скорость движения системы К' относительно системы К. Но так сейчас мы поступать не будем, а просто примем, что в системе отсчета К' световые импульсы распространяются в точности так же, как в системе К. В этом заключено однако серьезное физическое предположение. При построении поля времени в системе отсчета К' используем то же самое число с, что и в системе отсчета К. Последнее по существу условное допущение, следуя работе Эйнштейна 1905 г., иногда неправильно называют «законом постоянства скорости света в инерциальных системах отсчета». Как мы видим, это вовсе не закон, а говоря словами Пуанкаре, «плод совершаемого неосознанного условного соглашения».

1. Кинематический вывод преобразований Лоренца

Приступим теперь к кинематическому выводу преобразований Лоренца. Объектом нашего рассмотрения будет так называемое мгновенное точечное событие, т.е. событие, происходящее в очень малом месте пространства и за очень короткий промежуток времени. Например, из некоторой точки N в фиксированный момент времени t = t₀ испустим импульсную сферическую бесконечно тонкую световую волну.

Уточняем - испускаем не периодическую гармоническую волну, а очень короткий световой импульс. Испускание светового импульса в момент времени t = t₀ в точке N и есть пример мгновенного точечного события. Разумеется, мгновенные точечные события могут быть какие - угодно.

Приведем еще один пример. Твердый стержень AB пусть движется в положительном направлении оси x.

Мгновенным точечным событием теперь можно считать событие, заключающееся в совпадении, например, левого конца A стержня с фиксированной точкой N оси x. Другим мгновенным точечным событием является совпадение в какой-то момент времени правого конца B с фиксированной точкой M на оси x.

Теперь, одно и то же какое-нибудь мгновенное точечное событие будем изучать с помощью наблюдений его в двух инерциальных системах отсчета K и K', или в двух системах координат, движущихся равномерно и прямолинейно относительно друг друга - «покоящейся» системы К и «движущейся» системы K', - движущейся со скоростью u вдоль оси x относительно покоящейся системы отсчета, причем в обеих этих системах координат размещены локальные часы, синхронизированные так, как мы разъяснили выше.

Пусть x, y, z, t - координаты и время нашего мгновенного точечного события, отсчитанные в системе отсчета К. Пусть x', y', z', t' - координаты и время нашего мгновенного точечного события, отсчитанные в системе отсчета К'.

Ради простоты дальше будем рассматривать только координаты x и x', считая что всегда y' = y и z' = z. Тогда в системах отсчета К и К' координаты одного и того же мгновенного точечного события будут x, t и x', t' соответственно, причем «координатой» будем называть не только координату x, а координату и время - x, t.

Так как эти числа относятся к одному и тому же событию (существующему в природе вне зависимости от наличия или отсутствия систем отсчета К и К'), то очевидно должны существовать однозначные математические зависимости вида x' = j(x, t), t' = y(x, t).

Формулы указанных зависимостей будем называть формулами преобразования координат мгновенного точечного события (любого) от системы отсчета K системе отсчета К'.

Наша конечная цель - найти вид функций j и y в приведенных формулах преобразования. Чтобы это сделать, обратимся к так называемым основным, исходным для нас, соотношениям, которые мы сейчас сформулируем.

Рассмотрим три следующих мгновенных точечных события. Опишем их сначала в системе отсчета К. Пусть в точке x₁ оси x в момент t₁ мгновенно был испущен короткий световой импульс в положительном направлении оси x. Пусть в момент времени t₂ этот импульс оказался в точке x₂ оси x, в которой он зеркально отразился и стал двигаться в отрицательном направлении оси x. Пусть, наконец, в момент времени t₃ этот световой импульс снова оказался в исходной точке, так что x₃ = x₁.

Посмотрим теперь на три указанных мгновенных точечных события с точки зрения системы отсчета K'. Мы увидим, что в точке x₁' в момент времени t' был испущен в положительном направлении оси x' короткий световой импульс, который в момент времени t₂' достиг точки x₂', отразился в ней и в момент времени t₃' оказался в точке x₃', причем теперь x₃' ¹ x₁'.

Согласно описанным выше процедурам построения полей времени в системах отсчета K и K' имеем следующие очевидные соотношения в системе отсчета K: x₃ = x₁

и в системе отсчета K':

Точка x₁ = x₃ на оси x системы отсчета K движется со скоростью u в отрицательном направлении оси x', если ее наблюдать в системе отсчета K'.

Мы сформулировали шесть основных соотношений, исходя из которых мы теперь найдем вид функций j и y.

Нахождение функции j. Составим функциональное уравнение для определения функции j. Представим три соотношения для системы отсчета K в следующем виде:

Вычитая первое соотношение из третьего, получаем

Используя второе соотношение, отсюда приходим к равенству

Следовательно,

или

Таким образом, видим, что функция j удовлетворяет следующему функциональному уравнению:

В этом уравнении величины x₁, t₁, x₂, t₂, x₃, t₃, однако, не независимы, а связаны нашими основными соотношениями для системы отсчета K. Учтем наличие этих соотношений и оставим независимыми только следующие три величины: x₁, x₂ и t₁. Величины x₃, t₂ и t₃ можно выразить через указанные независимые величины. Действительно, из первого соотношения получаем

следовательно,

Далее, из второго соотношения имеем

а следовательно,

мы воспользовались выражением для t₂ и условием x₃ = x₁.

Таким образом, получаем следующее окончательное функциональное уравнение для определения функции j:

которое должно выполняться для произвольных значений x₁, x₂ и t₁.

Приступим к решению полученного функционального уравнения. Начнем с того, что продифференцируем это уравнение по x₂. Получим тогда соотношение, которое будем называть продифференцированным функциональным уравнением