LECTURE1 (Физика), страница 2

Пусть x, y, z, t - координаты и время нашего мгновенного точечного события, отсчитанные в системе отсчета К. Пусть x', y', z', t' - координаты и время нашего мгновенного точечного события, отсчитанные в системе отсчета К'.

Ради простоты дальше будем рассматривать только координаты x и x', считая что всегда y' = y и z' = z. Тогда в системах отсчета К и К' координаты одного и того же мгновенного точечного события будут x, t и x', t' соответственно, причем «координатой» будем называть не только координату x, а координату и время - x, t.

Так как эти числа относятся к одному и тому же событию (существующему в природе вне зависимости от наличия или отсутствия систем отсчета К и К'), то очевидно должны существовать однозначные математические зависимости вида

x' = j(x, t), t' = y(x, t).

Формулы указанных зависимостей будем называть формулами преобразования координат мгновенного точечного события (любого) от системы отсчета K системе отсчета К'.

Наша конечная цель - найти вид функций j и y в приведенных формулах преобразования. Чтобы это сделать, обратимся к так называемым основным, исходным для нас, соотношениям, которые мы сейчас сформулируем.

Рассмотрим три следующих мгновенных точечных события. Опишем их сначала в системе отсчета К. Пусть в точке x₁ оси x в момент t₁ мгновенно был испущен короткий световой импульс в положительном направлении оси x. Пусть в момент времени t₂ этот импульс оказался в точке x₂ оси x, в которой он зеркально отразился и стал двигаться в отрицательном направлении оси x. Пусть, наконец, в момент времени t₃ этот световой импульс снова оказался в исходной точке, так что x₃ = x₁.

Посмотрим теперь на три указанных мгновенных точечных события с точки зрения системы отсчета K'. Мы увидим, что в точке x₁' в момент времени t' был испущен в положительном направлении оси x' короткий световой импульс, который в момент времени t₂' достиг точки x₂', отразился в ней и в момент времени t₃' оказался в точке x₃', причем теперь x₃' ¹ x₁'.

Согласно описанным выше процедурам построения полей времени в системах отсчета K и K' имеем следующие очевидные соотношения в системе отсчета K:

x₃ = x₁

и в системе отсчета K':

Точка x₁ = x₃ на оси x системы отсчета K движется со скоростью u в отрицательном направлении оси x', если ее наблюдать в системе отсчета K'.

Мы сформулировали шесть основных соотношений, исходя из которых мы теперь найдем вид функций j и y.

Нахождение функции j. Составим функциональное уравнение для определения функции j. Представим три соотношения для системы отсчета K в следующем виде:

Вычитая первое соотношение из третьего, получаем

Используя второе соотношение, отсюда приходим к равенству

Следовательно,

или

Таким образом, видим, что функция j удовлетворяет следующему функциональному уравнению:

В этом уравнении величины x₁, t₁, x₂, t₂, x₃, t₃, однако, не независимы, а связаны нашими основными соотношениями для системы отсчета K. Учтем наличие этих соотношений и оставим независимыми только следующие три величины: x₁, x₂ и t₁. Величины x₃, t₂ и t₃ можно выразить через указанные независимые величины. Действительно, из первого соотношения получаем

следовательно,

Далее, из второго соотношения имеем

а следовательно,

мы воспользовались выражением для t₂ и условием x₃ = x₁.

Таким образом, получаем следующее окончательное функциональное уравнение для определения функции j:

которое должно выполняться для произвольных значений x₁, x₂ и t₁.

Приступим к решению полученного функционального уравнения. Начнем с того, что продифференцируем это уравнение по x₂. Получим тогда соотношение, которое будем называть продифференцированным функциональным уравнением

на общую двойку можно сократить все три слагаемые (производная от последнего, третьего слагаемого в исходном функциональном уравнении равна нулю, так как оно не зависит от ). В полученном дифференциальном уравнении положим теперь и . Тогда придем к следующему дифференциальному уравнению:

Общее решение полученного очень простого дифференциального уравнения легко найти, если перейти к переменным и и показать, что в новых переменных это уравнение имеет вид

Так получаем, что общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения имеет вид

где F — пока произвольная функция.

Найдем вид этой функции. Для этого подставим полученную формулу для в наше дифференциальное функциональное уравнение. Получим тогда следующее функциональное уравнение:

После элементарных алгебраических преобразований, отсюда получаем, что

или

Так как при произвольных аргументы функций в правой и левой частях равенства различны и могут принимать совершенно произвольные значения, то приходим к заключению, что

а следовательно,

F

где — некоторые постоянные, которые нам еще предстоит найти.

Итак, мы показали, что исходная функция имеет следующий вид:

где — некоторые пока не определенные постоянные.

Нахождение функции . Найдем теперь аналогичным образом функцию . Три основных соотношения для системы отсчета представим в виде:

Вычитывая первое соотношение из третьего и сравнивая результат со вторым соотношением, получаем уравнение

т.е. уравнение

Видим, что функция удовлетворяет следующему функциональному уравнению:

в котором величины не независимые, а связаны нашими основными соотношениями для системы отсчета К. Используя эти соотношения, оставим независимыми только следующие три величины и . Величины и выразим через указанные величины:

Таким образом, приходим к следующему основному функциональному уравнению для искомой функции:

которое выполняется при произвольных значениях и .

Приступим к решению полученного функционального уравнения. Начнем с того, что продифференцируем его по :

производная последнего, третьего слагаемого в исходном функциональном уравнении равна нулю, так как оно не зависит от . Положим теперь в выведенном уравнении,

и тогда придем к дифференциальному уравнению

или уравнение

Легко найти общее решение последнего дифференциального уравнения. Для этого надо перейти только к новым независимым переменным

и показать, что в новых переменных уравнение имеет вид

Таким образом получаем общее решение нашего дифференциального уравнения:

в котором — пока произвольная функция.

Найдем вид этой функции. Подставим полученное выражение для функции в продифференцированное функциональное уравнение. Получим тогда соотношение

или соотношение

Так как аргументы у функций в правой и левой частях равенства при произвольных значениях

и совершенно произвольны, то получаем, что

а следовательно,

где — пока неопределенные постоянные.

Определение констант . Мы получили, что формулы преобразований координат и времен произвольного мгновенного точечного события в инерциальных системах отсчета и имеют вид

Для нахождения констант привлечем дополнительное требование.

Требование 1. Предположим, что общие начала отсчета координат и времени в системах отсчета K и согласованы таким образом, что мгновенное точечное событие с координатами 0,0 в системе отсчета K имеет в системе отсчета координаты 0,0 ( тоже нулевые координаты),и наоборот.

Применяя вышеприведенные формулы преобразования к событию 0,0 получаем, что и поэтому формулы преобразования координат мгновенно точечного события приобретают следующий вид:

Теперь неопределенными остались только константы и .

Учтем теперь то обстоятельство, что формулы преобразования мы получили как следствия наших шести основных соотношений. Подставим поэтому полученные простые формулы обратно в эти исходные основные соотношения и установим ограничения на значения констант и . Имеем:

Таким образом, приходим к заключению, что константы и равны друг другу:

=

и поэтому формулы преобразования координат мгновенного точечного события имеют следующий вид:

где — пока что неопределенная постоянная.

Разрешим теперь эти формулы преобразования относительно и . Имеем уравнения

Следовательно,

и поэтому

Полученные формулы сопоставим с формулами преобразования:

которые получаются с помощью рассуждений, совершенно аналогичных приведенным выше, но с заменой систем отсчета K и друг на друга. Следует при этом только учесть, что система отсчета K движется относительно системы отсчета не в положительном, а в отрицательном направлении оси с некоторой положительной скоростью (положительной), определенной в системе отсчета K . Здесь — некоторое пока неизвестное нам число.

Сравнивая друг с другом приведённые пары формул преобразований, приходим к заключению, что имеют место следующие четыре равенства:

из которых непосредственно заключаем, что