LECTURE (Физика), страница 7

;

она меньше скорости движения Земли, которую эфир имел бы, если бы он не увлекался прозрачной средой. Вследствие переносного движения, фронт волны , распространяющийся в прозрачной среде вертикально вниз до экрана со скоростью — скоростью света в среде — за время

,

при попадании на экран будет снесен в горизонтальном направлении влево на расстояние

Получили для отрезка тот же результат, что и выше, когда делали предположение, что движение эфира отсутствует.

Таким образом мы должны сделать вывод, что движение рассматриваемого оптического прибора вместе с Землей со скоростью сквозь неподвижный эфир никак не сказывается на ходе лучей в нем; закон преломления остается таким же. Луч, приходящий от звезды, ведет себя в точности так же, как и луч такого же направления, идущий от земного источника.

1. Геометрическая оптика неоднородной прозрачной среды, пронизываемой движущимся через нее эфиром. Теорема Лоренца.

Свою оптико-геометрическую теорию движущихся вместе с Землей оптических приборов Лоренц развил в 1886 г. с целью объяснения следующих трех к тому времени уже твердо установленных опытных фактов:

1. существует явление астрономической аберрации положений звезд, заключающееся в том, что звезды в течение года описывают на небе маленькие эллипсы (переходящие в окружности для звезд, находящихся вблизи полюса эклиптики, и дважды покрытые отрезки для звезд, находящихся вблизи экватора эклиптики);

2. свет от любой звезды, фиксируемый на Земле как свет, приходящий по определенному направлению и определенной частоты, будучи использованным в любых оптических экспериментах — по отражению, по преломлению, по интерференции и т.д., ведет себя в точности так же, как и свет от земного источника, распространяющийся по тому же направлению и обладающий той же частотой;

3. ни в одном оптическом эксперименте, который можно произвести с земным источником света, нельзя наблюдать никакого эффекта, связанного со скоростью движения Земли на ее орбите вокруг Солнца, если ограничиться членами первого порядка малости по , где — скорость света в пустоте.

Любой как угодно сложный оптический прибор, содержащий линзы, призмы, щели, диафрагмы и т.д., можно считать кусочно однородной средой (т.е. средой, состоящей из пространственных областей с разными показателями преломления). Будем, однако, следуя Гамильтону, полагать, что имеем дело не с такой специфической кусочно-однородной, а с произвольной оптически неоднородной средой, оптические свойства которой характеризуются заданной функцией локального показателя преломления , где — показатель преломления в точке среды с координатами .

Среду будем считать твердой, прозрачной, неподвижной и жестко связанной с Землей, движущейся сквозь эфир, покоящийся в мировом пространстве.

Лоренц проводит рассуждение в декартовой прямоугольной системе координат , жестко связанной со средой и с Землей. При этом он предполагает, что Землю и прозрачную среду пронизывает “эфирный ветер”, характеризующийся стационарным (не зависящим от времени) полем скоростей .

Таким образом Лоренц берет развитую им самим обобщенную формулировку принципа Гюйгенса, учитывающую, что эфир движется относительно прозрачной среды, в которой мы исследуем распространение световых волн, т.е. что в среде имеется эфирный ветер.

Как при формулировке обычного принципа Гюйгенса, для неподвижного эфира, возьмем два бесконечно близких положения волнового фронта, или фронта волны, распространяющейся в покоящейся относительно Земли, но движущейся относительно мирового пространства среде, увлекающей с собой частично эфир, в два бесконечно близких момента времени t и t+dt. Пусть эти положения характеризуются двумя геометрическими поверхностями S и S¹, см. рис.

Чтобы исходя из поверхности волнового фронта S построить поверхность волнового фронта S¹, надо взять каждую точку P на поверхности S и мысленно испустить из этой точки в момент времени t т.е. взять бесконечно малую поверхность около точки P, до которой к моменту времени t+dt это возмущение дошло. Такую поверхность назовем фронтом элементарной волны. На приведенном рисунке кривая ab изображает часть поверхности фронта элементарной волны, испущенной из точки P, рассматриваемой в момент времени t+dt.

Согласно принципу Гюйгенса, поверхность S¹ ,будет геометрической огибающей поверхностью фронтов всех элементарных волн, построенных для всех точек P поверхности S.

Одновременно с построением положения последующего фронта волны мы узнаем и дальнейший ход всех лучей. Прямой отрезок, проведенный из точки P на поверхности P, являющейся центром испускания элементарной волны, в точку P¹, расположенную на поверхности S¹ и являющуюся точкой касания этой элементарной волной огибающей поверхности S, является элементом луча. Один из элементов луча изображен отрезком PP¹ на рисунке.

Точки P и P¹, принадлежащие соответственно поверхностям S и S¹ и являющиеся началом и концом одного и того же элемента луча, называются сопряженными точками.

При помощи геометрического построения Гюйгенса можно найти последовательные положения S, S¹,S¹¹,... фронта распространяющейся волны и последовательные элементы PP¹,P¹P¹¹,P¹¹P¹¹¹,... любого луча. Каждый такой луч проходит через ряд сопряженных точек, следующих одна за другой через бесконечно малые расстояния.

В случае отсутствия в среде эфирного ветра каждая из рассмотренных бесконечно малых элементарных волн представляет собой бесконечно малую сферу радиуса c₁t, с центром, расположенным в соответствующей точке P, где c₁ - локальная скорость света в точке P среды. Для неоднородной среды скорость света является заданной функцией с₁=с₁(x,y,z) точки среды и поэтому различные элементарные волны будут иметь разные радиусы, см. рис.

В случае наличия в среде эфирного ветра элементарные волны тоже являются бесконечно малыми сферическими поверхностями, но эти поверхности теперь непрерывно сносятся движением эфира, и поэтому центры их в момент времени t+dt располагаются не в точках P испускания волн, а в бесконечно мало сдвинутых точках Q, которые находятся на бесконечно малых, прямолинейных отрезках PR, вдоль точки P эфира перемещаются при его движении за интервал времени t, t+dt. Отрезок PR имеет длину v·dt, где v - скорость эфира в точке P и он направлен вдоль вектора скорости v эфирного ветра в этой точке P. Радиусы сфер элементарных волн, однако, все равно равны c₁·dt, как в неподвижной среде, см. рис.

Точка Q может находиться и в начале (Q=P), и в конце (Q=R) отрезка PQ, а также может лежать и внутри этого отрезка. Соответственно Лоренц пользуется одной из следующих гипотез.

а) Если Q=P, то эфир не увлекается движущейся средой.

б) Если Q=P, то эфир полностью увлекается движущейся средой.

в) Если PQ=(1/n²)PR, то эфир частично увлекается движущейся средой; здесь n - локальный показатель преломления для неподвижной среды в точке P.

Рассмотрим теперь важный частный случай движения Земли и прозрачной Среды, когда они движутся в мировом пространстве поступательно равномерно прямолинейно вдоль некоторого направления с некоторой постоянной скоростью v.

Длина отрезка PQ теперь равна причем направления отрезков PR и скорости v во всех точках P будут одинаковы.

Для частного случая поступательного равномерного прямолинейного движения Земли и прибора сквозь мировой эфир Лоренц доказал следующую замечательную теорему.

Теорема Лоренца. С точностью до членов первого порядка включительно по отношению скоростей v/c, где v - поступательно равномерного прямолинейного движения оптического прибора через неподвижный эфир, с - скорость света в пустоте, геометрический ход лучей в оптическом приборе не зависит от движения среды.

Приступим к доказательству сформулированной теоремы. Рассмотрим ход лучей в приборе относительно декартовых прямоугольных осей координат Oxyz, жестко связанных с ним. Прибор движется равномерно прямолинейно поступательно с постоянной скоростью v через неподвижный эфир.

Обратимся еще раз к рассмотренному выше рисунку. Обозначим РP¹PQ между направление светового луча, исходящего из точки P, и направлением движения среды - через q, см. рис.

На рисунке полупрямая QP направлена вдоль направления эфирного ветра. Согласно теореме косинусов, примененной к DP¹PQ, имеем следующее соотношение . Отрезок P¹Q, согласно лоренцеву принципу Гюйгенса, равен c₁·dt, где c₁ - локальная скорость света в точке P. Отрезок PQ, согласно тому же принципу, равен k·v·dt, где k=1/n², n - локальный показатель преломления в точке P, v - скорость эфирного ветра. Отрезок PP¹ равен с₁^дв·dt, где с₁^дв - локальная скорость света в точке P для Среды с эфирным ветром. Таким образом, приведенное соотношение можно представить в следующем виде:

или в виде квадратного уравнения из которого можно определить скорость с₁^дв. Решая это квадратное уравнение получим очевидно перед корнем надо взять знак плюс, иначе получили бы отрицательное значение для скорости с₁^дв. Считая скорость v движения среды через неподвижный эфир или, что то же самое, скорость эфирного ветра малой по сравнению со скоростью света с и разлагая корень в ряд по малости v², имеем Следовательно, с точностью до членов третьего порядка малости по v/c получаем приближенную формулу . Из этой формулы сразу выведем еще одну приближенную формулу, которая нам понадобится в дальнейшем: или справедливо с точностью ло членов порядка малости v³/c³₁.

Определив, с помощью лоренцева обобщенного принципа Гюйгенса, скорость с₁^дв распространения света по лучу для поступательно равномерно прямолинейно движущейся прозрачной среды, воспользуемся теперь принципом Ферма для определения хода лучей в оптическом приборе, жестко связанном с движущейся Землей и перемещающимся вместе с ней. Согласно принципу Ферма, для истинного пути L светового луча, выходящего из какой-то фиксированной точки А и приходящего в другую фиксированную точку В, криволинейный интеграл представляющий собой время распространения света по лучу, должен принять минимальное значение. Здесь ds - длина элемента дуги кривой ALB.