Максимальные значения вторичного тока I₂ при связи, больше вторичной критической, наблюдаются на частотах связи ₀₁ и ₀₂, при которых Х₁=0. Для того чтобы найти условия возникновения частот связи и определить их значения, (11) и (13) нужно предста­вить в явной относительно частоты форме и исследовать (13) на экс­тремум, т. е. установить, при каких относительных расстройках (e) вторичный ток будет максимальным и минимальным. Чтобы полу­чить выражения для ₁ и I₂ в явной относительно частоты форме, пере­пишем (11), подставив вместо Z_1э его значение из (8)

Считая, что контуры настроены в резонанс (₁ = ₂= ₀), выне­сем за скобки в знаменателе ₀L и, подставив на основании (2) получим

(15)

где ,

. (16)

Модуль тока равен

(17)

Подставив в (7) вместо М. его значение из (2) и домножив числитель и знаменатель (7) на w₀ L₂ , найдем,

(18)

где . Выражения (13) и (18) — идентичны. Взяв модуль (18) и подставив значение модуля I₁ из (17), получим

(19)

Если частота питающего генератора равна резонансной частоте контуров, т. е. _г ₀ ( = 0), то (19) упрощается

В относительных единицах выражение, описывающее резонансную кривую для тока I₂, имеет вид

(20)

Выражения (17) и (19) соответствуют (12) и (14) и описывают амплитудно-резонансные характеристики токов I₁ и I₂ в явной относи­тельно частоты (расстройки e) форме.

Исследуем (19) на экстремум, для чего продифференцируем (19) по e и приравняем производную нулю, т. е. dI ₂ /de = 0. В результате получим . Данное уравнение имеет три корня:

(21)

При d₁ = d₂ получаем

(22)

Если первый корень (e₁) действителен при любых соотношениях между k и d, то второй и третий корни (₂ и ₃) имеют смысл только при k > d. При k<d подкоренное выражение будет мнимым и физи­ческого смысла не имеет. В этом случае физический смысл имеет только первый корень (₁), что говорит об одногорбости резонансной характеристики для I₂. При k > d физический смысл имеют все три корня, что говорит о двугорбом характере резонансной характерис­тики для тока I₂. Очевидно, вторичный критический коэффициент связи, лежащий на границе перехода от одногорбой кривой к двугор­бой, на основании (21) получается тогда, когда корни (21) обращаются в нуль: При d₁ = d₂ имеем:

k _кр2 = d. (23)

Чтобы получить выражения для частот связи при k > k_кр2, в (22) надо подставить значение  = а/Q = 1 — ₀²/². Тогда

(24)

Именно на частотах w₀₁ и w₀₂ выполняется условие резонанса, бла­годаря чему ток /а достигает максимума (рис. 5, б).

Третья резонансная частота получается из условия ₁ =0, или ₁=1-₀²/²=0; отсюда = ₀. При k > k_кр2 на частоте ₀ ре­зонансная характеристика тока I₂ имеет впадину. При k < k_кр2, ког­да физический смысл имеет только первый корень , системе связан­ных контуров свойственна лишь одна резонансная частота ₀ на которой наблюдается максимум тока I₂ (рис.5, а). Наличие одной резонансной частоты при k<k_кр и появление частот связи при k>k_кр хорошо иллюстрирует рис. 6.

Фазово-частотные резонансные характеристики системы двух свя­занных контуров представляют собой частотную зависимость фазово­го сдвига между токами и приложенной к системе э. д. с. Е. Как следует из (11), сдвиг фазы между током и э. д. с. Е зависит от угла -j_1э, значение которого определяется (16). Сдвиг фазы между током и э. д. с. Е зависит от угла [см. (18) ] и от­личается от сдвига фазы между током и э.д.с. Е углом . Фазово-частотные характеристики системы двух связанных контуров изображены на рис. 7.

Полоса пропускания системы двух связанных контуров.

В одиночном контуре относительная рас­стройка  = 2о = 1/Q = d. Полоса пропускания системы может быть как меньше полосы пропускания одиночного контура (при k < k_кр), так и больше ее (при k³ k_кр). Самой широкой полосой про­пускания системы двух связанных контуров будет такая, в пределах которой провал амплитудно-частотной резонансной характеристики системы лежит на уровне 1/ от максимального значения; при этом e=2Dw/w₀ » 3.1d а коэффициент связи, обеспечивающий данную полосу, k=2.41d. Как видно, при этом полоса пропускания системы двух связанных контуров в три раза шире полосы пропускания одиноч­ного колебательного контура. При критической связи (k = k_кр= d), обеспечивающей наибольшее приближение резонансной характерис­тики в пределах полосы пропускания к прямоугольнику, = 1,41d.

Рис.6. Зависимость резонансной частоты системы двух колебательных контуров от коэффициента связи

Рис.7. Фазово-частотные характеристи­ки системы двух связанных контуров при различных коэффициентах связи

Энергетические соотношения в связанных контурах.

Рассмотрим, как распределяется мощность между связанными контурами в зави­симости от степени их связи. При этом анализировать будем типичный для практики случаи, когда каждый из контуров в отдельности на­строен в резонанс на частоту генератора w₀ (т. е. Х₁= 0, Х₂= 0) и лишь потом подбирается связь между ними. Так как обычно выходным является второй контур и с ним связаны последующие каскады при­емного устройства, то задача состоит в передаче максимальной энергии во второй контур.

Для оценки эффективности передачи энергии во второй контур введем понятие к.п.д. системы двух связанных контуров как отноше­ние мощности, выделяемой во втором контуре, к суммарной мощно­сти в первом и втором контурах, т. е.

(25)

где и Подставив в (25) значения мощностей Р₁ и Р₂ получим Ток I₂ заменим его значением из (13) при Х_= 0, т.е. I_=I_X_св/r_. Тогда

Из (10) следует, что X_св/r_=R_вн при Х_=0. Таким образом,

(26)

Из курса электротехники известно, что максимальная мощность отдается в нагрузку тогда, когда внутреннее сопротивление генера­тора равно сопротивлению нагрузки. Для случая связанных контуров это равносильно равенству ^r_=R_вн с точки зрения передачи максимальной энергии во второй контур из первого. При этом, как видно из (26), =0.5, т. е. половина мощности теряется в первом контуре.

Настройка системы двух связанных контуров.

При желании пере­дать во второй контур максимальную энергию, обеспечивающую и максимальны ток в нем, прибегают к настройке системы связанных кон­туров. Для того чтобы получить самый большой ток во втором контуре, необ­ходимо выполнить два условия: с одной стороны, обеспечить равенство Х_1э=0, а с другой, -r_=R_вн Первое условие может быть выполнено двумя способами: 1) настройкой системы (при наличии определенной связи между контурами) на частоту генератора из­менением параметров только одного из контуров; 2) настройкой на частоту генератора сначала первого контура при разомкнутом втором, а затем подключением и настройкой второго контура при достаточно слабой связи между контурами, чтобы осла­бить взаимное влияние.

Первый способ настройки называют методом частного резонанса, причем в зависимости от того, параметры первого или второго кон­тура участвуют в настройке, достигается соответственно первый или второй частный резонанс. При частном резонансе хотя и получается максимум тока во втором контуре, но этот максимум не является са­мым большим, так как при обеспечении равенства Х_1э= 0 еще не вы­полняется условие r₁=R_вн которое достигается соответствующим подбором связи между контурами. Связь, обеспечивающую макси­мальную мощность (ток) во втором контуре, называют оптимальной. Подбор ее производится постепенно с последующей подстройкой кон­тура после очередной установки связи, так как при каждом изменении связи нарушается условие Х_1э= 0 за счет изменения Х_вн. Если до изменения связи система была настроена в резонанс изменением па­раметров первого контура (первый частный резонанс), то после каж­дого очередного изменения связи необходимо подстраивать систему в резонанс изменением параметров первого контура, чтобы все время выполнялось условие Х_1э= Х_1э + Х_вн= 0.

Таким образом, при таком постепенном подборе связи с последую­щей подстройкой контуров может быть достигнута оптимальная связь, обеспечивающая самый большой максимум тока во втором контуре. Данный способ настройки носит название метода сложного резонанса. Проанализируем его математически.

Если обратиться к выражению для тока во втором контуре [см (14)], то при достижении, например, первого частного резонанса оно примет вид: