Под ветвью в общем случае понимают участок цепи с двумя выводами. Токи ветви принимают в качестве неизвестных переменных, характеризующих состояние цепи. Поэтому, что конкретно следует понимать под ветвью, зависит от выбора переменных цепи. Ветвью можно считать каждый элемент цепи. Но для уменьшения числа переменных за ветви иногда принимают также участки из последовательного соеди­нения отдельных элементов, токи которых имеют одно и то же значение, и участки из параллельного соединения отдельных элементов, напряжения на которых имеют одно и то же значение. При анализе схемы за ветвь принимается участок цепи между двумя узлами цепи.

Узел электрической цепи – это точка на схеме, в которой сходятся более двух ветвей [4]. Например, на рисунке №4 приложения – 4 узла.

Задача анализа электри­ческой цепи формулируется та­ким образом: Заданы схема электрической цепи со значения­ми всех ее элементов, а также напряжения источников, действующих в цепи. Требуется найти токи ветвей. В дальнейшем будем применять общие термины, назы­вая заданные напряжения источников функциями воз­буждения или сигналами, а искомые токи вет­вей, определяемые в результате анализа цепи, - реакциями. Следовательно, требуется найти реакции цепи на действие заданных сигналов.

Выводы – узлы или ветви, реакции которых необходимо найти, - называют выходными, а выводы, к которым при­соединены источники, - входными.

Программа предназначена для анализа любой линейной цепи произвольной конфигура­ции с любым конечным числом элементов.

Для определения искомых реакций – токов ветвей в общем случае – необходимо со­ставить уравнения цепи с помощью двух систем уравнений:

1) уравнений элементов, связывающих ток и напряже­ние каждого элемента, а также заданные напряжения. Уравнения элементов не зависят от схемы и геометрической конфигурации цепи, в которую входят элементы;

2) уравнений соединений, которые определяются только геометрической конфигурацией и способами соединений ветвей (элементов цепи) и не зависят от вида и характера элементов. Уравнения соединений устанавливают связи между токами и напряжениями отдельных элементов, входящих в цепь.

Уравнения соединений составляют па основе двух законов Кирхгофа, которые связывают токи ветвей, сходящихся в узлах, и напряжения ветвей, входящих в контуры; контуры представляют замкнутые пути, проходящие однократно через ряд ветвей и узлов.

Первый закон Кирхгофа, выражающий закон сохра­нения заряда, дает уравнение равновесия токов в узле цепи и формулируется так: в любой момент алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю:

.

Знак тока определяется выбором положительных направле­ний токов ветвей; токам, выходящим из узла, приписывают условно знак «-», а током, входящим в узел, - знак «+».

Второй закон Кирхгофа, выражающий закон сохра­нения энергии, дает уравнение равновесия напряжений в контуре и формулируется следующим образом: в любой момент алгебраическая сумма напряжений ветвей в контуре равна нулю

.

Знак напряжения определяется выбором положительных полярностей напряжений ветвей: если при обходе контура перемещение происходит в сторону понижения или падения напряжения, то напряжению ветви условно приписывают знак «+», если в сторону повышения напряжения - знак «-».

Линейные цепи, составленные из элементов одного вида, например резистивных, описываются системами линейных ал­гебраических уравнений.

Применяя программу расчета линейных разветвленных электрических схем, необходимо лишь нарисовать схему, и ввести все значения сопротивлений и ЭДС. Все остальные преобразования, такие как выбор обхода контура, направления ЭДС, программа выполнит сама и выдаст конечный результат – значения токов в ветвях схемы.

Целью настоящей дипломной работы является создание математической модели и программы работающей по этой модели, позволяющей анализировать и расчитывать разветвленные электрические цепи постоянного тока, на основе использования законов Кирхгофа.

На основе проведенного литературного обзора я убедился, что в настоящее время существуют только программы, которые решают лишь уравнения созданные при анализе цепи, но не производят анализ самой цепи.

Глава 2. Пример. Результаты вычислений

Задача [3, №1.50]

Дано:

Е₁=120В; Е₂=60В; Е₃=140В;

R₁=1Ом; R₂=0,5Ом; R₃=0,4Ом; R₄=R₅=R₆=3Ом

Найти токи в ветвях.

О твет задачи: I₁=6,8; I₂=30,9; I₃=24,1; I₄=12,6; I₅=18,3; I₆=5,8.

Схема для задачи:

Эквивалентная схема для программы:

Результат вычисления программы:

Ответ: I₁=6,83; I₂=30,88; I₃=24,05; I₄=12,57; I₅=18,31; I₆=5,74.

Как видно, программа дает более точный результат, чем тот, который предлагается для проверки правильности решения задачи.

Результаты вычислений выводятся в отдельном окне. (Рисунок №6 приложения).

Глава 3. Методика моделирования

В этой главе излагаются общие методы анализа цепей произвольной структуры, составленных из двух­полюсных резистивных элементов с постоянными сопротивле­ниями и ЭДС, использованные для анализа схем в программе. Методы основаны на составлении уравне­ний цепи относительно выбранных переменных и их решении.

1. Линейный граф и матрица соединений

Для цепей сложной структуры использовалась за­пись уравнений в матричной форме. Матричная запись:

1. позволяет распространять формальным образом полученные уравнения на цепи любой сложной структуры;

2. системати­зирует и упрощает процесс составления уравнений;

3. дает алгоритмы формирования уравнений с помощью ЭВМ; в случае сложных цепей составление уравнений «вручную» (без ЭВМ) требует значительных затрат времени.

Рассмотрим классические методы контурных и узловых уравнений. Вначале введем понятие графа цепи, описы­вающего свойства цепи, связанные с взаимным соединением ветвей, т. е. с геометрической структурой (топологией) схемы. Применение понятия графа позволяет записывать в матричной форме уравнения соединений, составляемые на основе законов Кирхгофа, и тем самым формировать уравнения разветвленных цепей с помощью ЭВМ.

Уравнения равновесия токов и напряжений, составленные по Законам Кирхгофа, как указывалось, линейными однородными уравнениями. Важное условие, которое должно обеспечиваться, состоит в линейной независимости уравнений. Ни одно уравнение не должно быть получено линейной комбинацией остальных уравнений. Общий систематический метод получения линейно независимых уравнений цепи основан также на привлечении понятий теории линейного графа, одного разделов математической дисциплины—топологии. К линейному графу приводит следующее соображение:

Уравнения равновесия токов и напряжений, составленные по законам Кирхгофа, определяются только схемами соединений ветвей, т. е. геометрической структурой цепи, и не зависят от вида и характеристик элементов, т. е. от физического со­держания ветвей. Поэтому при составлении уравнений со­единений удобно отвлекаться от вида и характеристик ветвей цепи, заменив их линиями. В результате для цепи рис. 3.1, а, составленной из любых двухполюсных элементов, получим линейный граф, показанный на рис. 3.1, б.

Граф является системой или совокупностью двух элемен­тов—узлов (вершин), изображаемых точками, и ветвей (ре­бер), изображаемых отрезками линий, которые соединяют пары узлов. В предельном вырожденном случае граф может состоять только из одного узла.

Числа узлов и ветвей графа обозначим п_y и n_д. Поскольку каждому узлу и каждой ветви цепи сопоставляется узел и ветвь графа, граф цепи содержит всю информацию о соединениях и геометрических свойствах исходной цепи. На рис. 3.1, а, б соответственные узлы, а также ветви цепи и графа имеют одинаковые номера.

Граф, так же как и исходная цепь, может иметь различную структуру. Различают планарный (плоский) граф, если его можно изобразить на плоскости без пересечения ветвей (рис. 3.1,6), и не планарный (пространственный) граф, если при его изображении на плоском чертеже невозможно избежать пересечения ветвей (рис. 3.2, а). Полным назы­вают граф, у которого каждая пара узлов соединена одной ветвью. Примером полного графа цепи может служить граф рис. 3.2, а.

Любую часть графа, элементы которой являются элемен­тами исходного графа, называют подграфом. Подграф получают путем удаления (исключения) некоторых ветвей исходного графа.

Важным подграфом является путь графа, представляю­щий непрерывную последовательность ветвей, связывающую пару выбранных узлов, с прохождением каждого узла не более одного раза. Смежные вет­ви пути имеют общий узел, так что к каждо­му узлу присоединены две ветви, лишь к край­ним узлам — по одной ветви.

На рис. 3.1, б пути, свя­зывающие узлы 1, 4, образованы ветвями 2-4, 5-6, 1, 2-3-5 и т. д. Если в заданном графе имеется хотя бы один путь между любой парой узлов, то граф называется связным—он соответствует цепи, элементы которой соединены только электрически. Граф рис. 3.1, б является примером связного графа, а рис. 3.2, б —несвяз­ного: он состоит из двух раздельных частей, элементы ко­торых могут иметь связь, например, через взаимную ин­дуктивность.

Для составления уравнений соединений по законам Кирх­гофа необходимо на всех ветвях графа стрелками указать положительные направления токов. В результате получается граф с ориентированными ветвями, называемый направлен­ным графом токов цепи (рис. 3.1, б), ветви которого явля­ются токами. Положительные полярности напряжений ветвей удобно принимать согласованными с положительными на­правлениями токов. Тогда в цепях, составленных из двух­полюсных элементов, направленный граф напряжений, реб­ра которого являются напряжениями ветвей, будет совпа­дать с графом токов. Переход к направленному графу позволяет производить аналитическую запись структуры графа и подграфов в виде таблиц – матриц, называемых топологическими матрицами. Аналитическое представ­ление графа необходимо для формирования уравнений сложной цепи с помощью ЭВМ.

Полное описание структуры направленного графа дает n_уxn_в - матрица соединений, n_у строк ко­торой являются порядковыми номерами узлов, n_в столб­цов – номерами ветвей. Элементами а_i,j этой матрицы яв­ляются символы наличия или отсутствия ветви k, присое­диненной к узлу i, которые принимаются равными +1 (—1) для выходящей из узла (входящей) ветви и 0, если ветвь не связана с узлом.

Для того чтобы записать матрицу соединений, достаточно для каждой ветви определить номера обоих соединяемых узлов i, j и заполнить клеточки на пересечениях строк i, j и столбца с номером ветви k значениями +1, — 1; в остальных клеточках должны быть проставлены нули. Для графа рис. 3.1,б получим полную матрицу соединений: