part1 (Лекции по механике), страница 5
Описание файла
Документ из архива "Лекции по механике", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "рефераты, доклады и презентации", в предмете "физика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "part1"
Текст 5 страницы из документа "part1"
ri( mi ai )t= ri(
ri(fi1)t + ri(fi2)t + ..... +ri(fiN)t + ri(Fi)t . ( 4-4a )
В правой части получившегося уравнения произведения типа ri(fi1)t представляют собой (согласно ( 4-3)) моменты внутренних сил относительно оси вращения, т.к. ri и (f i)t взаимно перпендикулярны. Аналогично произведения ri(Fi)t являются моментами внешних сил, действующих на i-элемент. Просуммируем уравнения дви-
| (f12) f12 r1 g l12 f21 l21 (f21) b . 2 r2 O2 Рис.14. Компенсация | жения по всем элементам, на которые было разбито тело. Сумму моментов внутренних сил можно разбить по парам |
1 O1 т
ы сил М1 = ( f12) r1sin(900 - g) = (f12) l12 и M2 = (f21) r2 sin(900 - b) = (f21) l21 равны и противоположно направлены. На основании этого можно сделать вывод, что при сложении всех моментов внутренних сил они попарно уничтожатся. Суммарный момент всех внешних сил обозначим S Мi , где Mi = [ ri Fi].
Левая часть уравнения ( 4-4а ) с учетом (3 -7) представится в таком виде:
=
=
, ( 4-5 )
где величину 
принято называть моментом инерции твердого тела относительно заданной оси. Эта величина характеризует распределение массы тела относительно определенной оси. Как следует из определения момента инерции - это величина аддитивная. Момент инерции тела складывается из моментов инерции его отдельных элементов, которые можно рассматривать как материальные точки, т.е.
I =
, где ji = mi 
- момент инерции материальной точки.
При практическом вычислении моментов инерции вместо суммирования используется интегрирование ( суммирование бесконечно малых величин). Если ось, относительно которой вычисляется момент инерции, проходит через центр симметрии тела, то вычисление такого интеграла представляет сравнительно несложную задачу, но в общем случае задачу решить трудно. Для упрощения вычислений полезной оказывается теорема о параллельном переносе осей инерции (теорема Гюйгенса - Штейнера), формулировка которой гласит, что момент инерции относительно любой оси равен сумме момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями, т.е.
Iпроиз = Iцм + m d 2 . ( 4-6)
Для некоторых тел правильной формы значение моментов инерции относительно осей, проходящих через центр их симметрии приведены в таблице 2.
Таблица 2.
| Ф оси момента инерции Обруч m R2 Цилиндр Шар Примечание: m- масса тела, R - его радиус | На основании изложенного уравне-ние (4-4а) с учетом (4-5) приводится к виду: которое называется уравнением динамики вращательного движения твердого тела или уравнением моментов. Дело в том, что левую часть этого уравнения можно представить по другому, т.к. по [riaimi]=[ |
называют изменением момента импульса (радиус ri внесен под знак дифференцирования, т.к. все точки вращаются по окружностям постоянного радиуса ) . Если
о бозначить [ ri mi vi] = [ri pi] = Li , a cyмму 
= L , то уравнение (4-7) можно за-
п исать так: 
. ( 4-8 )
|
L O mv r a A Рис.15.Момент импуль- | Рис.15 поясняет определение момента импульса точечной массы относительно точки О, который вычисляется также как момент силы [ ri mi vi] = [ri pi] = Li . Направление момента импульса определяется правилом правого буравчика - вектор r вращается по кратчайшему пути к вектору mv, а направление движения оси буравчика указывает направление вектора L . Момент импульса относительно оси также определяется аналогично моменту силы относительно оси: |
L = [ r p ] , ( 4-9 )
где значения r и р соответствуют обозначениям рис.12 ( с заменой f на р ). Для вращательного движения точки L = [r mv] = [r mwr] = w mr 2 = w Ii . Для твердого тела L = wI . ( 4-10 )
§ 4-4. Закон сохранения момента импульса.
Если правая часть уравнения (4-8) оказывается по каким - либо равной нулю - суммарный момент сил равен нулю, то
и L = const. Это случается, если система замкнута, т.е. внешние силы вообще не действуют, или если моменты внешних сил компенсируют друг друга. Наконец, если внешние силы оказываются центральными - линии действия всех сил пересекаются в одной точке. Весьма интересным представляется случай, когда механический момент импульса при вращении тела имеет достаточно большую величину ( по сравнению с моментом внешних сил ). Наиболее ярким примером этого служит гироскоп ( см. рис 16 ).
| L1 dj M L2 dL mg Рис.16 Прецессия гиро- | Гироскопом принято называть достаточно массивное то ось гироскопа начинает смещаться под воздействием момента силы ( см. ( 4-8 )), т.е. изменение момента импульса совпадает с направление М. За малый промежуток времени dt ось гироскопа повернет- |
ся на угол dj так, что изменение момента импульса dL = L1 - L2 = Ldj. В то же время из уравнения ( 4-8 ) следует dL = M dt , или Ldj = M dt , откуда можно придти к выводу, что гироскоп начинает вращаться в плоскости, перпендикулярной плоскости рисунка с частотой, которая называется частотой прецессии.
. ( 4-11 )
Если моменты внешних сил малы по сравнению с моментом импульса вращающегося тела, то частота прецессии мала, и тело сохраняет ориентацию оси вращения в пространстве ( пример - жонглирование предметами в цирке).
1 В отличие от юридических законов, предписывающих те или иные правила поведения, физические законы носят
описательный характер и отражают реальные соотношения между различными явлениями природы.
2 Материальной точкой можно считать любой объект, если его геометрические размеры малы по сравнению с характеристическими расстояниями конкретной задачи.
3 Трактат И. Ньютона «Математические начала натуральной философии» был опубликован в 1687 г.
4 Вес тела - это сила, с которой тело давит на подставку или растягивает нить подвеса. В быту силу в Ньютонах измерять не принято.
5 Это не имеет ничего общего с так называемыми «предсказаниями» оккультных «наук».
6 Положительное направление оси координат удобно направить вниз.
7 Для упрощения изложения материала силы трения качения не рассматриваются .
8 Плечом силы называют величину r sina (cм. выражение (4-2) и обозначения рис.11.). Оно является перпендикуляром, опущенным на линию действия силы.
