part1 (Лекции по механике), страница 2
Описание файла
Документ из архива "Лекции по механике", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "рефераты, доклады и презентации", в предмете "физика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "part1"
Текст 2 страницы из документа "part1"
( предполагается, что время Dt достаточно мало и проекцией скорости vI на направление АО можно пренебречь). Заменяя стороны D АОС на основании приведенных равенств, имеем:
. (1- 7 )
П
осле приведения подобных членов и сокращения обеих частей этого уравнения на 
получим: 
. При Dt 0 выражение для первой космической скорости приобретает такой вид:
. (1- 8 )
Как видно из вывода выражения для первой космической скорости, любое тело, двигаясь вокруг Земли, находится в свободном падении, но уменьшение высоты полета при свободном падении на Землю в точности компенсируется за счет приращения расстояния до Земли при движении по касательной.
Однако случаи, когда тело сохраняет свою скорость неизменной, крайне редки. Наоборот, в общем случае скорость изменяется как по величине, так и по направлению. Для характеристики быстроты изменения скорости вводится понятие ускорения. Ускорением в данный момент времени называется предел отношения приращения скорости к интервалу времени, за который произошло это приращение:
= v =
. (1- 9 )
Вектор ускорения можно также разложить по координатным осям:
а = а x i + a y j + a z k . ( 1-10 )
Модуль вектора ускорения равен:
. ( 1- 11 )
Прямым дифференцированием аналогично компонентам вектора скорости
можно найти, что компоненты вектора ускорения равны:
a x = v x = x ; a y = v y = y ; a z = v z = z . ( 1-12 )
Если известны зависимость от времени вектора ускорения и начальное значение вектора скорости, то вектор скорости в любой последующий момент времени путем интегрирования. Например, для проекции v x :
и 
, ( 1-13 )
где v x0 - проекция скорости на ось Х в начальный момент времени. Ранее указывалось, что по известной зависимости v (t) можно найти закон движения. Следовательно, по известному ускорению, зная начальные значения положения точки и ее скорости, можно найти ее закон движения. С точки зрения практики вектор ус-
| vA B vB Dv A Dvn E D vt C Рис.4. Нормальная и тангенциальная составляющие изменения скорости. | корения удобнее представлять в виде двух составляющих, одна из которых направлена по касательной к траектории, а другая по нормали, проведенной в точку касания. Пусть за время Dt точка переместилась из А в В, и за это время ее скорость изменилась от vA до vB . Для того, чтобы найти изменение Dv пе- |
Dренесем вектор vB в точку начала вектора vA. Тогда разность двух векторов vB - vA
м
ожет быть представлена в виде вектора Dv = DC. В свою очередь, вектор Dv мо-
жно представить тоже как сумму двух составляющих Dv = Dvn + Dvt , где вектор Dvt находится как разность АС-АЕ ( АЕ=АD, АС= vB ), т.е. как разность модулей векторов vB и vA. Вектор Dvn характеризует изменение направления вектора vA , т.к. vA = АЕ = АD. Треугольник DAE равнобедренный, поэтому при уменьшении интервала времени Dt до нуля (Dt 0) угол DAE также стремится к 0, а ÐАDЕ 900,
и Dvn оказывается перпендикулярным направлению скорости. В то же время ясно,
что направление вектора Dvt при Dt 0 приближается к направлению касательной в точке А. Поэтому
. (1- 14 )
Первое из слагаемых в (1- 14 ) называют нормальной составляющей ускорения или просто нормальным ускорением, а второе - тангенциальным. Таким образом
, (1- 15 )
. (1- 16 )
Модуль полного ускорения определяется следующим выражением:
. ( 1-17 )
§ 1 - 2. Кинематика вращательного движения.
| vA a Dv D l vB r a Рис.5. К выводу центростре- мительного ускорения | Частным примером нормального ускорения служит |
vA
Из этого соотношения приращение скорости Dv равно:
( 1-19 )
Деля выражение ( 1-19 ) для приращения скорости на промежуток времени Dt, имеем:
. (1- 20 )
Для случая вращательного движения полезными оказываются такие дополнительные кинематические характеристики как угловая скорость и угловое ускорение. Величина угловой скорости w определяется как отношение угла Dj, который описывает радиус-вектор точки за время Dt, т.е.
. ( 1-21 )
| v r Dj Ds Рис.6.К определению направ- | При этом угловой скорости приписывается определенное направление, которое определяется следующим образом: направление отсчета угла определяется направлением вращения, а направление w определяется правилом правого буравчика - оно совпадает с движением оси буравчика, когда он вращается в направлении вращения материальной точки ( см. рис.6 ). Вектор углового ускорения b определяется через изменение уг- |
w ловой скорости вращения за время Dt. При этом направление b совпадает с направлением w, если за время Dt происходит увеличение скорости w и направление b противоположно вектору w, если за время Dt угловая скорость уменьшается. Таким образом
. ( 1- 22 )
При вращательном движении между линейной скоростью точки, направлен-
ной по касательной к окружности вращения существует определенная взаимосвязь. Действительно
[w r ] , ( 1-23 )
г де квадратные скобки обозначают векторное произведение двух векторов - w и r.
К ак известно, два вектора могут быть перемножены двумя способами - скалярно и векторно. Поскольку при скалярном произведении векторов получается число (скаляр), а скорость по определению - вектор, то остается только векторный
способ перемножения векторов w и r. Направление векторного произведения так-же определяется по правилу правого буравчика: первый вектор ( в нашем случае -это вектор w ) вращается по кратчайшему направлению к второму вектору ( в нашем случае - это радиус - вектор r ); движение оси буравчика при таком вращении покажет направление векторного произведения ( см. рис.6 ).
Лекция 2 Динамика материальной точки.
§ 2-1. Первый закон Ньютона.
Кинематика устанавливает законы движения материальной точки, но не указывает причины вызвавшие это движение, а также факторы, влияющие на вариации кинематических параметров движения. Законы Ньютона, сформулированные более 300 лет назад 3, явились результатом обобщения большого количества наблюдений и экспериментов. Эти законы имеют фундаментальное значение и в наше время. Первый закон утверждает, что существуют такие системы отсчета, в которых всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействия со стороны других тел не заставят его изменить это состояние. Свойство тела сохранять свое состояние неизменным называют инерцией, а системы отсчета, в которых выполняется этот закон, - инерциальными. Физический смысл закона состоит в том, что для механики нет различия между состоянием покоя и равномерного прямолинейного движения. Он подчеркивает относительность движения. Строго говоря,
этот закон является чистой абстракцией, но опыт всего человечества за прошедшие три с лишним века подтверждает его справедливость. Причина изменения состояния тела, т.е. появление ускорения связана с понятием силы. Сила - количественная мера воздействия на выбранное нами тело со стороны других тел. Вообще говоря, это воздействие может быть достаточно сложным, но в этом случае его можно разложить на так называемые простые воздействия. Поэтому силой называют количественную меру простого воздействия на тело со стороны других тел, в во время действия которого тело или его части получают ускорения. Как показывает опыт, величина полученного ускорения зависит от свойств взаимодействующих тел, от расстояния между ними и от их относительных скоростей. Силу принято измерять ( в международной системе единиц СИ ) в Ньютонах ( Н ). На территории нашей страны эта система единиц является Государственным Стандартом с 1977 года. Однако до сих пор существуют метрические внесистемные единицы: грамм, килограмм и тонна. Эти единицы используются при определении веса тела.4 На практике для измерения величины силы используют динамометр - тарированную ( градуированную) пружину, снабженную шкалой.
