Исследование сложной электрической цепи постоянного тока методом узловых потенциалов.

R1=130 Ом

R2=150 Ом

R3=180 Oм

R4=110 Oм

R5=220 Oм

R6=75 Oм

R7=150 Oм

R8=75 Oм

R9=180 Oм

R10=220 Oм

E1=20 В

E4=5.6 В

E6=12 В

1. Расчет узловых потенциалов.

Заземляем 0^й узел, и относительно него рассчитываем потенциалы остальных узлов.

Запишем матрицу проводимостей для этой цепи:

Y=

После подстановки значений:

Y=

Составляем матрицу узловых токов:

I=

По методу узловых потенциалов мы имеем уравнение в матричном виде:

Y – матрица проводимостей;

U – матрица узловых потенциалов;

I – матрица узловых токов.

Из этого уравнения выражаем U:

Y^-1 – обратная матрица;

Решаем это уравнение, используя математическую среду Matlab: U=inv(Y)*I

inv(Y) – функция ищущая обратную матрицу.

U=

Зная узловые потенциалы, найдем токи в ветвях:

i₁= = 0.0768; i₂= = 0.0150; i₃= = 0.0430;

i₄= = 0.0167; i₅= = 0.0454; i₆= = 0.0569;

i₇= = 4.228110^5; i₈= = 0.0340; i₉= = 0.0288;

i₁₀= = 0.0116

1. Проверка законов Кирхгофа.

Первый закон

для 0^го узла : i₄+i₂i₅i₁=0

для 1^го узла : i₂+i₆i₃i₉=0

для 2^го узла : i₃+i₇i₈i₁=0

для 3^го узла : i₁₀i₇i₆i₅=0

для 4^го узла : i₈+i₄+i₉i₁₀=0

Второй закон

1^й контур : i₁R1+i₂R2+i₃R3=E₁  20=20

2^й контур : i₂R2i₆R6+i₅R5=E₆  12=12

3^й контур : i₄R4i₈R8i₃R3i₂R2=E₄  5.6=5.6

4^й контур : i₃R3+i₈R8+i₁₀R10+i₆R6=E₆  12=12

5^й контур : i₃R3i₇R7+i₆R6=E₆  12=12

6^й контур : i₉R9i₈R8i₃R3=0  0=0

1. Проверка баланса мощностей в схеме

Подсчитаем мощность потребителей:

P₁=i₁²R1+i₂²R2+i₃²R3+i₄²R4+i₅²R5+i₆²R6+i₇²R7+i₈²R8+i₉²R9+i₁₀²R10+E4i₄= 2.2188

Сюда включёна мощность Е4 так как он тоже потребляет энергию.

Подсчитаем мощность источников:

P₂=E1i₁+E6i₆=2,2188

P₁P₂=0

1. Метод эквивалентного генератора.

Рассчитаем ток в ветви с максимальной мощностью, методом эквивалентного генератора.

Сравнивая мощности ветвей видим, что максимальная мощность выделяется в первой ветви, поэтому уберём эту ветвь и для получившейся схемы рассчитаем U_xx и R_эк .

Расчёт U_xx методом узловых потенциалов:

Матрица проводимостей:

Y=

Матрица узловых токов:

I=

По методу узловых потенциалов находим:

=

Но нас интересует только разность потенциалов между 0^ым и 3^им узлами: U₃₀=U_xx =6.1597.

• I₁= = =0.0686

Где эквивалентное сопротивление находится следующим образом:

∆123  123

054  ∆054 054  ∆054

024  ∆024

При переходе от   ∆ используется формулы преобразования: , а при переходе ∆  : , две остальные формулы и в том, и в другом случаях получаются путем круговой замены индексов.

Определим значение сопротивления, при котором будет выделяться максимальная мощность. Для этого запишем выражение мощности на этом сопротивлении: . Найдя производную этого выражения, и приравняв её к нулю, получим: R=R_эк, т.е. максимальная мощность выделяется при сопротивлении нагрузки равном внутреннему сопротивлению активного двухполюсника.

1. П остроение потенциальной диаграммы по контуру.

П о оси X откладывается сопротивление участка, по оси Y потенциал соответствующей точки.

Исследование сложной электрической цепи переменного тока методом контурных токов.



Переобозначим в соответствии с графом:

R1=110 Ом L5=50 млГ С4=0.5 мкФ

R2=200 Ом L6=30 млГ С3=0.25 мкФ

R3=150 Ом

R4=220 Ом E=15 В

R5=110 Ом =2f

R6=130 Ом f=900 Гц

1. Расчет токов и напряжений в схеме, методом контурных токов.

Матрица сопротивлений:

Z= =

=10²

Матрица сумм ЭДС, действующих в к^ом контуре: E_к=

По методу контурных токов: I_x=Z^1E_к=

Действующие значения: I_x=

Выражаем токи в ветвях дерева: I₄=I₁+I₂= 0.0161+0.0025i I₄=0.0163

I₅=I₁+I₂+I₃=0.02080.0073i  I₅=0.0220

I₆=I₂+I₃=0.00430.0079i I₆=0.0090

Напряжения на элементах:

U_R1=I₁R1=1.8162 U_L5=I₅L5=6.2327 U_C3=I₃ =7.6881

U_R2=I₂R2=0.3883 U_L6=I₆L6=1.5259 U_C4=I₄ =5.7624

U_R3=I₃R3=1.6303

U_R4=I₄R4=3.5844

U_R5=I₅R5=2.4248

U_R6=I₆R6=1.1693

1. Проверка баланса мощностей.

Активная мощность:

P=I₁²R1+I₂²R2+I₃²R3+I₄²R4+I₅²R5+I₆²R6=0.1708

Реактивная мощность:

Q=I₅²L5+I₆²L6-I32 =0.0263

Полная мощность:

S= =0.1728

С другой стороны:

Активная мощность источника:

P=EI₄cos(arctg )=0.1708

Реактивная мощность источника:

Q=EI₄sin(arctg )=0.0265

Полная мощность источника:

S=EI₄=0.1728

1. Построение векторной диаграммы и проверка 2^го закона Кирхгофа.

Для 1^го контура:

I₁R1+I₄R4+I₄ +I5R5+I5282.7433iE=0.00880.0559i

Для 2^го контура:

I₂R2+I₄R4+I₄ +I₅282.7433i+I₅R5+I₆169.6460i+I₆R6=0.0088 0.0559i

Для 3го контура:

I₅R5+I₆169.6460i+I₆R6+I₃ +I₃R3+I₅282.7433i=0.06800.0323i

Векторная диаграмма:

Топографическая диаграмма для 1^го контура:

Топографическая диаграмма для 2^го контура:

Топографическая диаграмма для 3^го контура:

Исследование сложной электрической цепи постоянного тока методом узловых потенциалов. 1

1. Расчет узловых потенциалов. 1

2. Проверка законов Кирхгофа. 2

3. Проверка баланса мощностей в схеме 3

4. Метод эквивалентного генератора. 3

5. Построение потенциальной диаграммы по контуру. 4

Исследование сложной электрической цепи переменного тока методом контурных токов. 5

1. Расчет токов и напряжений в схеме, методом контурных токов. 6

2. Проверка баланса мощностей. 6

3. Построение векторной диаграммы и проверка 2^го закона Кирхгофа. 7