Dispersion (Исследование явления дисперсии электромагнитных волн в диэлектриках)

Содержание.

Введение........................................................................................................................3

§ 1. Материальные уравнения электромагнитного поля в среде с дисперсией.....5

§ 2. Закон дисперсии. Вектор объемной плотности поляризации.........................10

§ 3. Зависимость показателя преломления и поглощения от частоты..................12

Заключение.................................................................................................................15

Литература..................................................................................................................16

Введение.

Важнейшей характеристикой линейной распределенной системы является закон дисперсии, который связывает волновое число и частоту монохроматической волны. Он может быть записан как , или в неявной форме .

Когда плоская волна описывается одним (вообще говоря, интегродифференциальным) уравнением, закон дисперсии получают, отыскивая его решение в виде . В простейшем случае процесс распространения волны описывается уравнением

.

При этом волновое число связано с частотой линейной зависимостью , или , где скорость распространения волны есть постоянная величина. Однако уже при учете диссипативных процессов поведение волны описывается более сложными уравнениями. Закон дисперсии также усложняется. Для звуковых волн в вязкой теплопроводящей среде и электромагнитных волн в среде с проводимостью справедливы следующие соотношения между волновым числом и частотой:

.

В более общих случаях от частоты могут сложным образом зависеть действительная и мнимая части волнового числа:

.

Действительная часть характеризует зависимость от частоты фазовой скорости распространения волны , а мнимая часть — зависимость коэффициента затухания волны от частоты.

Во многих случаях волновой процесс удобно описывать не одним уравнением типа волнового, а системой связанных интегродифференциальных уравнений . Здесь — матричный оператор, действующий на вектор-столбец .В качестве , например, для акустических волн может служить совокупность переменных (колебательная скорость, приращения плотности, давления, температуры), а для электромагнитных волн — компоненты векторов напряженностей электрического и магнитного полей, электрического смещения и магнитной индукции. В этом случае формальная схема отыскания закона дисперсии такова. Ищем решение системы в виде :

,

Решение будет нетривиальным, только если . Отсюда получаются искомые зависимости . Наличие у дисперсионного уравнения нескольких корней означает, что система может описывать несколько типов собственных волн (мод) среды.

Частотная дисперсия приводит к изменению закономерностей распространения немонохроматических волн. Действительно, различные спектральные компоненты обладают в диспергирующей среде отличающимися скоростями и коэффициентами затухания:

.

В силу дисперсии фазовой скорости в процессе распространения изменяются фазовые соотношения между спектральными компонентами. Следовательно, изменяется результат их интерференции: форма немонохроматической волны искажается. Дисперсия коэффициента поглощения приводит к трансформации частотного спектра волны и дополнительному искажению формы импульса.

§1. Материальные уравнения электромагнитного поля в среде с дисперсией.

Дисперсионные эффекты часто проявляются при распространении электромагнитных волн. Покажем, как видоизменяются исходные уравнения при учете этих свойств. Система уравнений Максвелла сохраняет свой вид. Свойства среды должны быть учтены в материальных уравнениях:

.

Для статических и медленно изменяющихся полей можно написать

,

где — константы, т. е. значения и в некоторой точке среды и в некоторый момент времени определяются значениями и в той же точке и в тот же момент времени.

При быстром изменении поля вследствие инерции внутренних движений и наличия пространственной микроструктуры среды наблюдается зависимость поляризации от поля, действующего в других точках и в другие моменты времени. При этом нужно иметь в виду, что в силу условия причинности поляризация и, следовательно, индукция зависят от полей, действовавших только в предыдущие моменты времени.

Сказанное можно записать математически, представляя материальные уравнения в общей интегральной форме:

, (1.1)

, (1.2)

. (1.3)

По дважды встречающимся индексам здесь и везде в дальнейшем предполагается суммирование.

Выражения (1.1) — (1.3) представляют собой наиболее общую функциональную форму записи материальных уравнений для линейной среды. В этой записи учтена возможность проявления нелокальности, запаздывания и анизотропных свойств среды.

В частном случае, если среда однородна в пространстве и не изменяет со временем своих свойств, материальные характеристики , , должны зависеть лишь от разностей координат и времени . Тогда

, (1.4)

, (1.5)

. (1.6)

Связь между электрическим смещением и магнитной индукцией, полями и поляризациями среды определяется соотношениями

. (1.7)

Поэтому материальные уравнения можно записать также в виде

, (1.8)

где — тензор восприимчивости среды. Аналогичное выражение можно записать для .

Для проведения дальнейшего анализа удобно разложить по плоским волнам:

.

После обычного перехода в фурье-представление в выражениях для и получаем простую зависимость

, (1.9)

, (1.9)

где

. (1.10)

Видно, что компоненты тензора диэлектрической проницаемости зависят в общем случае от частоты и от волнового вектора волны.

Аналогичный вывод можно сделать для магнитной проницаемости и проводимости .

Таким образом, дисперсия при распространении электромагнитных волн может проявляться двояким образом — как частотная (за счет зависимости , , от частоты) и как пространственная (за счет зависимости этих же параметров от волнового вектора ). Частотная дисперсия существенна, если частота электромагнитных волн близка к собственным частотам колебаний в среде. Пространственная же дисперсия становится заметной, когда длина волны сравнима с некоторыми характерными размерами.

Для электромагнитных волн в большинстве случаев, даже в оптическом диапазоне, характерный размер (где — длина волны в среде: ) и пространственной дисперсией можно пренебречь. Однако в магнитоактивной плазме существуют области резонанса, в которых и параметр становится значительным уже в радиодиапазоне. Кроме того, при полном пренебрежении величинами, содержащими малое отношение , не учитываются некоторые явления, возникающие при распространении электромагнитных волн в различных средах. Так, учет пространственной дисперсии в плазме позволяет объяснить появление бегущих плазменных волн. Пространственная дисперсия является главной причиной (а не поправкой), вызывающей появление естественной оптической активности и оптической анизотропии кубических кристаллов. Если не интересоваться этими специальными случаями, то при рассмотрении частотной дисперсии пространственной дисперсией можно пренебречь.

При учете только частотной дисперсии материальное уравнение (1.9) имеет вид

. (1.11)

В отличие от (1.9) здесь взяты не компоненты плоских волн поля , а лишь временные гармоники. Диэлектрическая проницаемость для волны с частотой — это тензор, который в случае изотропной среды обращается в скаляр:

(1.12)

(напомним, что — действительная величина). Из (1.12) следует, что функция является комплексной:

, (1.13)

, (1.14)

т.е. является четной функцией, а — нечетной. Все сказанное справедливо также для :

. (1.15)

Если в недиспергирующей среде диэлектрическая проницаемость — чисто реактивный параметр, а проводимость — чисто активный, то в среде с дисперсией это различие утрачивается. С увеличением частоты до значений, близких к собственным частотам среды, различие в свойствах диэлектриков и проводников постепенно исчезает. Так, наличие у среды мнимой части диэлектрической проницаемости с макроскопической точки зрения неотличимо от существования проводимости — и то и другое приводит к выделению тепла. Поэтому электрические свойства вещества можно характеризовать одной величиной — комплексной диэлектрической проницаемостью