149528 (Изучение двойного лучепреломления наведённое ультразвуком), страница 2

§2Теории акустического двулучепреломления в жидкостях.

А. Теория Люка

Теория, выдвинутая Люка [1], основывается на теории Рамана и Кришнана для двулучепреломления в потоке. Для объяснения поведения молекул в потоке Раман и Кришнан использовали гидродинамическую теорию Стокса, а также теорю Ланжевена-Борна, связывающую поляризуемость ориентированных молекул с двулучепреломляющими свойствами среды.

В соответствии с работой Стокса, каждый элемент объёма жидкости, характеризуемый градиентом скорости G, подвержен действию сжимающего и растягивающего напряжений, вызванных силами, действующими вдоль двух взаимно перпендикулярных направлений. Соответственно длинные оси молекул ориентируются вдоль направления растяжения, а короткие вдоль направления сжатия. Каждая молекула стремится направить свою длинную ось под углом 45⁰ к направлению скорости потока. Каждая из сил, вызывающих сжатие и растяжение элемента объёма среды равна

G, где  - коэффициент динамической вязкости. Ориентированная таким образом среда обнаруживает оптическую анизотропию, проявляющуюся в появлении двулучепреломления

где n – коэффициент преломления жидкости, М – постоянная Максвелла, являющаяся функцией размера и поляризуемости молекул.

Распространение ультразвуковых волн в жидкости сопровождается деформациями сжатия и растяжения, которые вызывают изменение формы каждого элемента объёма. Таким образом молекулы в поле переменной звуковой волны движутся с различными скоростями, так что существует градиент скорости, направленный вдоль направления распространения звуковой волны. Люка предположил, что этот градиент действует таким же образом, как и градиент скорости, вызывающий ориентацию молекул в потоке, т.е. (1) сохраняет силу. При этом жидкость ведёт себя как одноосный кристалл, оптическая ось которого совпадает с направлением распространения звуковой волны. В местах растяжения молекулы ориентируются длинными осями вдоль продольной оси, ( жидкость уподобляется положительному кристаллу ), а в местах сжатия – в поперечном направлении ( жидкость уподобляется положительному кристаллу ).

Для вычисления значения градиента скорости Люка рассмотрел прохождение через среду плоской волны, распространяющейся в направлении OZ, тогда смещение частицы среды будет равно

Множитель характеризует поглощение волны, а , где - скорость звуковой волны.

Соответственно для скорости частицы и градиента скорости движения имеем

Откуда

Где

Если - плотность среды, - интенсивность звука, а W – плотность энергии звуковой волны, то

Таким образом

Подставляя (6) в (1) получаем для акустического двулучепреломления

Проведя усреднение по времени в (7) находим

где , f – частота звуковой волны.

Согласно Раману и Кришнану

где N₀ – число молекул в единице объёма, k – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура, а f() – функция размера и поляризуемости молекул.

Таким образом

L – константа Люка.

Основные заключения из теории Люка следующие:

1. величина прямо пропорциональна и ;

2. величина пропорциональна квадратному корню из интенсивности звука;

3. величина тем выше, чем больше величина, характеризующая асимметрию молекулы и увеличивается с увеличением оптической анизотропии молекул и коэффициента преломления среды;

4. знак зависит отанизотропии поляризуемости молекул;

5. поскольку зависит от длины волны, то должна наблюдаться дисперсия двулучепреломления.

В. Теория Френкеля

В своей работе [6] Я. И. Френкель приписал появление акустического двулучепреломления анизотропии среды, вызванной ориентацией молекул или частиц этой среды. Механизм ориентации остаётся тем же самым, который был рассмотрен Люка. Однако, в отличие от Люка, Френкель принял во внимание тот факт, что ориентация молекул, вызванная прохождением через среду ультразвуковой волны, не исчезает мнгновенно с исчезновением волны, а следовательно и с исчезновением сил, вызывающих ориентацию. То есть ориентация молекул, а следовательно и анизотропия среды, устанавливается и исчезает не мнгновенно, а в течении какого-то времени, называемого временем релаксации.

В общем случае, если силы, вызывающие ориентацию, определяются тензором , а среднее распределение молекулярных осей в пространстве определяется тензором анизотропии , то

В жидкостях градиент скорости представляется тензором , который связан с соотношением

где - постоянная, а принимает значения, равные I при i = k и 0 при .

Для волны, распространяющейся вдоль направления OZ, для скорости частицы имеем

или в комплексном виде

Компоненты , , , тензора имеют вид

Следовательно

И

Поскольку из (12) имеем

откуда

Если , то . Выражение для двулучепреломления можно получить, если предположить,что из (1). Тогда

где - угол, на который колебания молекул отстают от колебаний звуковой волны, определяемый в виде

- постоянная, а значение G взято из (6) с учётом . Уравнение (14) отличается от (7) наличием релаксационного параметра.

С. Теория Петерлина

Петерлин [7] предложил кинематическую теорию акустического двойного лучепреломления , в которой, также, как Люка и Френкель, предположил, что двулучепреломление возникает в результате ориентации молекул.

В своей теории Петерлин рассматривает молекулы как твёрдые анизотропные эллипсоиды вращения с длинами большой и малой осей соответственно 2а₁ и 2а₂. Оси эллипсоида совпадают с осями оптических поляризуемостей, значения которых соответственно равны и . Если длина волны распространяющегося в среде звука намного больше, чем размеры молекул, то градиент G, определяемый уравнением (4), вызывает поворот молекулы с угловой скоростью , причём

или в отсутствии поглощения

В уравнении (16) - угол между большой осью эллипсоида и направлением OZ, а

Таким образом, распределение осей эллипсоидов в пространстве в любой момент времени может быть выражено функцией распределения F. Принимая во внимание действие теплового движения молекул, вызывающего их дезориентацию, результирующее значение F можно записать в виде

где D – коэффициент вращательной диффузии.

Для D>>Gb решение (18) имеет вид

где N₀ –число молекул в единице объёма.

Из (19) видно, что F и соответственно степень ориентации молекул увеличивается с увеличением частоты до тех пор, пока не достигает своего предельного значения, зависящего от .

Для величины двулучепреломления Петерлин получил следующее выражение

Из него видно, что величина двулучепреломления осциллирует с частотой акустической волны, но отстаёт от неё на угол и стрнемится к предельному значению с увеличением частоты волны.

Используя (5) можно записать

где

так что

Для чистых жидкостей

поэтому

Если предположить, что , то из (24) получим

Теория Петерлина, справедливая для описания поведения малых частиц в растворе, не может быть обобщена на случай, когда размеры частиц достаточно велики и становится заметным эффект ориентации из-за звукового давления, когда неприменимы гидродинамические уравнения Стокса.

В теориях предложенных Люка, Френкелем и Петерлином для жидкостей, состоящих из анизотропных по форме молекул, каждая молекула имеет форму эллипсоида вращения с главными осями, совпадающими с осями поляризуемрсти молекул. Основные выводы из этих теорий перестают быть справедливыми когда размеры частиц становятся сравнимыми с длиной звуковой волны. Примером таких сред могут служить коллоидные растворы.

Теория акустического двулучепреломления среды, содержащей частицы, форма которых отлична от сферической, впервые была предлжена Ока. В данной работе мы не будем останавливаться на рассмотрении теории Ока.

§3 Акустическое двулучепреломление для случая деформируемых молекул.

А. Теория Петерлина.

Петерлин [8] предположил, что наличие деформируемых молекул в растворе приводит к тому, что поведение раствора при прохождении через него ультразвуковой волны будет более близко к поведению чистой жидкости, чем к поведению коллоидального раствора. Поэтому оптическое поведение такой системы было рассмотрено таким же образом, как и в жидкости, путём нахождения выражения для связи анизотропии поляризуемости с двулучепреломлением.

Выражение для величины двулучепреломления имеет вид

где

С – концентрация молекул, N_a – постоянная Авогадро, М – молярная масса молекул.

Соответственно

Если - величина двулучепреломления в потоке, вызванного градиентом скорости G для раствора, вязкость растворителя которого равна ,

то Петерлин вводит специфическую постоянную Максвелла, которая записывается в виде

так, что

С учётом того, что

Полученное выражение для величины акустического двулучепреломления для случая деформируемых молекул совпадает с тем, которое было получено Петерлином для чистых жидкостей.

В. Теория Бадо

Бадо [9] модифицировал теорию Петерлина для акустического двулучепреломления в жидкостях и растворах макромолекул с учётом того, что внутреннее поле E_i , действующее на молекулу вследствие приложенного поля Е, не определяется выражением Лоренца