LECTION7 (Оптимальные и адаптивные системы)

При - корни вещественные

Сумма двух экспонент представляет собой:

Если , то корни комплексно-сопряженные и решение будет представлять собой периодическую функцию. В реальной системе, переключений не более 5 - 6.

1. Метод поверхности переключений

Данный метод позволяет найти управление функций переменной состояния для случая когда оптимальное управление носит релейный характер

.

Таким образом этот метод можно применять при решении задач оптимального быстродействия, для объекта с аддитивным управлением

,

.

Суть метода заключается в том, чтобы во всём пространстве состояний выделить точки, где происходит смена знака управления и объединить их в общую поверхность переключений.

,

- поверхность переключений

.

Закон управления будет иметь следующий вид

.

Для формирования поверхности переключений удобнее рассматривать переход из произвольной начальной точки в начало координат

.

Если конечная точка не совпадает с началом координат, то необходимо выбрать новые переменные, для которых это условие будет справедливо.

Имеем объект вида

.

Рассматриваем переход , с критерием оптимальности

.

Этот критерий позволяет найти закон управления такого вида

,

с неизвестным , начальные условия нам также неизвестны.

Рассматриваем переход:

Метод обратного времени

(метод попятного движения)

Этот метод позволяет определить поверхности переключений.

Суть метода заключается в том, что начальная и конечная точки меняются местами, при этом вместо двух совокупностей начальных условий остаётся одна для .

Каждая из этих траекторий будет оптимальна. Сначала находим точки, где управление меняет знак и объединяем их в поверхность, а затем направление движения меняем на противоположное.

Пример

Передаточная функция объекта имеет вид

.

Критерий оптимальности быстродействия

Ограничение на управление .

Рассмотрим переход

.

1)

,

2)

.

3)

оптимальное управление будет иметь релейный характер

.

4) Перейдём в обратное время (т.е. ). В обратном времени задача будет иметь такой вид

.

5) Рассмотрим два случая:

Получим уравнения замкнутой системы

.

Воспользуемся методом непосредственного интегрирования, получим зависимость от и поскольку - , то имеем

,

т.к. начальные и конечные точки поменяли местами, то , получим

, (*)

аналогично

подставив (*), получим

,

отсюда

.

Построим получившееся и по методу фазовой плоскости определим направление

Применив метод непосредственного интегрирования, получим:

,

,

.

Функция будет иметь вид:

Изменив направление

точка смены знака

(точка переключения)

Общее аналитическое выражение:

.

Уравнение поверхности:

.

Оптимальный закон управления:

,

подставив уравнение поверхности, получим:

.

2.5. Субоптимальные системы

Субоптимальные системы - это системы близкие по свойствам к оптимальным

- характеризуется критерием оптимальности.

- абсолютная погрешность.

- относительная погрешность.

Субоптимальным называют процесс близкий к оптимальному с заданной точностью.

Субоптимальная система - система где есть хоть один субоптимальный процесс.

Субоптимальные системы получаются в следующих случаях:

1. при аппроксимации поверхности переключений (с помощью кусочно-линейной аппроксимации, аппроксимация с помощью сплайнов);

   при в субоптимальной системе будет возникать оптимальный процесс.

2. ограничение рабочей области пространства состояний;