ATP_KR (Расчет радиаторов), страница 2

узел 16: T[9]+T[15]+Ta+T[17] - 4T[16] = 0 ;

узел 17: T[10]+T[16]+Ta+T[18] - 4T[17] = 0 ; (15)

узел 18: T[11]+T[17]+Ta+T[19] - 4T[18] = 0 ;

узел 19: T[12]+T[16]+T[20]+Ta - 4*T[19] = 0 ;

узел 20: T[19]+0,5*(T[13]+Ta) - 2*T[20] = 0 .

Окончательный вид системы уравнений для нахождения значений температуры в 20 узлах рассматриваемой задачи должен быть выбран в зависимости от метода решения.

В результате применения метода конечных разностей получили 20 алгебраических уравнений для 20 узлов в твердом теле. Эта система уравнений заменяет уравнение(3) в частных производных с соответствующими граничными условиями. Решение полученной системы уравнений позволяет найти распределение температуры в узлах твердого тела.

2.2. В ы б о р м е т о д а ч и с л е н н о г о

р е ш е н и я

Выбор метода решения задачи требует знания соответствующих разделов математики. Выбранный метод должен обеспечить представление вычислительного процесса в виде последовательности элементарных арифметических и логических операций. Если ни один из методов не подходит для решения поставленной задачи, возникает необходимость разработки нового метода.

Задачи, связанные с решением системы линейных алгебраических уравнений, базируются на прямых и итерационных методах. Прямые методы решения основаны на приведении системы уравнений к "треугольному" виду {методы Гаусса, Гаусса - Жордана, Холесского и др.}. Итерационные методы - на выражении неизвестных температур в левые части соответствующих уравнений системы {методы Якоби, Зейделя и др.}.

Коэффициенты при неизвестных температурах в уравнениях образуют разряженную матрицу, т.к. в каждом уравнении для ряда неизвестных они принимают нулевое значение. В этом случае итерационные методы, основанные на последовательном уточнении первоначального приближения для решения, представляют больший интерес по причине высокой вычислительной эффективности.

Анализ достоинств и недостатков методов решения систем линейных уравнений можно найти в специальной литературе [2,7], а применительно к задачам теплообмена [3,4,5].

Рассмотрим в качестве примера итерационный метод Зейделя. В нем из каждого уравнения выражают в явном виде температуру узла, для которого составляется баланс энергии и система уравнений (15) приводится к виду:

1: T[1]=(T[2]+0.5*(T[7]+Tb)+Bi1*Tc)/(2+Bi1);

2: T[2]=(T[1]+T[3]+T[8]+Tb)*0.25;

3: T[3]=(T[2]+0.5*(T[9]+Tb)+Bi2*Td)/(2+Bi2);

4: T[4]=(T[5]+0.5*(T[11]+Tb)+Bi2*Td)/(2+Bi2);

5: T[5]=(T[4]+T[6]+T[12]+Tb)*0.25;

6: T[6]=(T[5]+0.5*(T[13]+Tb))*0.5;

7: T[7]=(T[8]+0.5*(T[1]+T[14])+Bi1*Tc)/(2+Bi1);

8: T[8]=(T[2]+T[7]+T[9]+T[15])*0.25;

9: T[9]=(T[8]+T[16]+0.5*(T[3]+T[10])+Bi2*Td)/(3+Bi2);

10: T[10]=(T[17]+0.5*(T[9]+T[11])+Bi2*Td)/(2+Bi2); (16)

11: T[11]=(T[12]+T[18]+0.5*(T[4]+T[10])+Bi2*Td)/(3+Bi2);

12: T[12]=(T[5]+T[11]+T[13]+T[19])*0.25;

13: T[13]=(T[12]+0.5*(T[6]+T[20]))*0.5;

14: T[14]=(T[15]+0.5*(T[7]+Ta)+Bi1*tc)/(2+Bi1);

15: T[15]=(T[8]+T[14]+T[16]+Ta)*0.25;

16: T[16]=(T[9]+T[15]+T[17]+Ta)*0.25;

17: T[17]=(T[10]+T[16]+T[18]+Ta)*0.25;

18: T[18]=(T[11]+T[17]+T[19]+Ta)*0.25;

19: T[19]=(T[12]+T[18]+T[20]+Ta)*0.25;

20: T[20]=(T[19]+0.5*(T[13]+Ta))*0.5;

При решении все начальные значения температур обычно принимаются равными нулю или значению наименьшей температуры тела, принятой с учетом граничных условий. Использование такого грубого начального приближения приводит к излишним затратам времени на получение решения, Однако при таком подходе значительно экономится время при вводе. Далее проведя вычисления, находим новые значения температур в каждом из 20 узлов. Новое значение каждой температуры сравнивается с предыдущим и если их разность меньше заданного допустимого отклонения, итерационный процесс заканчивается.

Для увеличения скорости решения системы уравнений вычисляемые искомые параметры используются по мере их получения для уточнения значений последующих температур: Т[1] сразу же применяется для вычисления температуры Т[2], полученные значения температур T[1] и Т[2] -для вычисления температуры Т[3] и т.д.

2.3. Р а з р а б о т к а а л г о р и т м а и с т р у к т у р ы п р о г р а м м ы

Алгоритм программы представляется блок-схемой.

Укрупненная блок-схема алгоритма рассматриваемой задачи представлена на рис.4.

──────────

. НАЧАЛО .

────┬─────

────1────┴─────────────

/ ВВОД ИСХОДНЫХ ДАННЫХ /

────────────┬──────────

╓───── 2 ───┴───────────╖

║ ВЫБОР НАЧАЛЬНОЙ ║

║ ТЕМПЕРАТУРЫ ТЕЛА ║

╙───────────┬───────── ╜

╓───── 3 ───┴───────────╖

║ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ║

║ Bi1 и Bi2 ║

╙───────────┬───────── ╜

╓───── 4 ───┴───────────╖

║ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ║

║ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ║

╙───────────┬──────────╜

╓───── 5 ───┴───────────╖

║ ВЫВОД ЗНАЧЕНИЙ ║

║ ТЕМПЕРАТУР ║

╙───────────┬───────── ╜

────┴────

. КОНЕЦ .

─────────

Рис.4. Укрупненная схема алгоритма решения задачи

В блоке 1 ввод данных необходимо организовать в диалоговом режиме.

В качестве исходных данных вводится число узлов (N), размер ячейки сетки (dx), погрешность в определении температуры (eps) и граничные условия.

Пусть N=20; dx=0,1 м; eps=0,1^оC; Ta = 120^оC; Tb = 300^оC;

Tc = 30^оC; Td = 200^оC; alfa1 = 40 Вт/(м"K);

alfa2 =120 Вт/(м"К); lamda = 50 Вт/(м"К ).

Наиболее простой вариант представления входной информации для данной программы будет иметь вид:

ВВЕДИТЕ ПАPАМЕТPЫ PАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ:

число узлов - 20

размер ячейки сетки, м - 0.1

погрешность в определении температуры, ^C - 0.1

ВВЕДИТЕ ГPАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ:

температура поверхности А, ^C - 120

температура поверхности B, ^C - 300

температура жидкости,

омывающая поверхность С, ^С - 30

коэффициент теплоотдачи от поверхности С

alfa1, Вт/(м²K) - 40

температура жидкости,

омывающая поверхность D, ^C - 200

коэффициент теплоотдачи от поверхности D

alfa2, Вт\(м²К) - 120

коэффициент теплопроводности LAMDA, Вт/(м²*К) - 50

Для представления блоков 2, 4, 5 использован символ "предопределенный процесс" для того, чтобы показать необходимость дополнительного шага раскрытия алгоритма.

В блоке 2 для выбора начальной температуры можно воспользоваться простым перебором значений температур, входящих в граничные условия и найти минимум (рис.5).

Конкретный вид блока 4 будет зависеть от выбранного численного метода решения системы уравнений. При использовании итерационного метода Зейделя один из подходов к решению системы уравнений (16) представлен на рис.6. Алгоритм рассматриваемого решения в текстуальной форме был описан при выборе численного метода (раздел 1.2).

Все значения начальных температур в теле T[i] принимаются равными наименьшей из температур.

После проверки вычислений находятся новые значения температур в 20 узлах

Текущее значение температуры Т(i) и значение температуры в том же узле на предыдущей итерации ТТ(i) сравниваются, и если их разность меньше eps, то итерационный процесс заканчивается. При невыполнении условия производится подготовка к следующей итерации. Максимальное число итераций задано числом М. Обычно сходимость вычислительного процесса для задач данного типа достигается при М<50. Использование консервативной конечно-разностной схемы уже предполагает выполнение для системы уравнений условия сходимости т.е сумма отношений коэффициентов любой строки к диагональному коэффициенту меньше единицы.

Если по какой либо причине (допущена ошибка при составлении системы уравнений и т.п.) вычислительный процесс расходится, то необходимо при выводе информации предусмотреть сообщение об этом.

Выходная информация должна содержать распределение температуры в ^оC, рассчитанное итерационным методом.

Необходимо предусмотреть не только вывод результатов расчета на печать, но и вывод исходных данных.

Алгоритм должен предусматривать возможность расчета системы более чем из 20 уравнений.

2.4 Н а п и с а н и е п р о г р а м м ы и п о д г о т о в к а е е к в в о д у н а Э В М

При написании программы следует учитывать те обстоятельства, что работа не предусматривает использование библиотеки стандартных программ из-за специфики поставленной задачи. Для удобства реализации вспомогательных алгоритмов соответствующие программы составляются самим студентом.

Особенности работы на персональном компьютере в системе Турбо-паскаль 5.5 подробно изложены в литературе [6-9, 12...15]. Студент должен на уровне не программирующего пользователя обладать необходимыми знаниями о работе на персональном компьютере [10,11].

2.5. Т е с т и р о в а н и е, о т л а д к а п р о г р а м м ы и р е ш е н и е з а д а ч и н а Э В М

Основная цель этапа отладки - выявление и исправление ошибок. Процесс отладки практически состоит из многократных попыток выполнения программы на машине и анализе получаемых неудовлетворительных результатов.

Процессу выполнения программы на ЭВМ предшествует трансляция программы. Программа, написанная на языке программирования, с помощью специальной программы, называемой транслятором, переводится на язык машинных команд ЭВМ. Процесс такого перевода называется трансляцией.

На этапе в ы п о л н е н и я в программу вводятся необходимые исходные данные и выводятся результаты расчета. Поэтому все многообразие ошибок, обнаруживаемых в процессе отладки, условно делятся на ошибки, обнаруженные на этапах трансляции, редактирования и собственно выполнения программы. Форма сообщения об ошибках и их характере зависит от системы в которой работает пользователь на языке Паскаль. Интегрированная среда Турбо-паскаль предоставляет широкие возможности по созданию программных продуктов [14,15].

После того как программа становится работоспособной, производится ее т е с т и р о в а н и е, задачей которого является проверка правильности функционирования во всем диапазоне допустимых значений исходных данных.

После окончания отладки программы и счета необходимо оценить полученные результаты с точки зрения критериев, которым они должны удовлетворять, сделать необходимые выводы о достижении поставленных конечных целей.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978.- 670 с.

2. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1983.

3. Крейт Ф., Блэк У. Основы теплопередачи: Пер. с англ.- М.: Мир,1983. - 512 с.

4. Дульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов А.В. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена: Учебное пособие для теплофизич. И теплоэнергетических спец. вузов.- М.: Высш. шк.,1990.-207 с.

5. Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена: Пер.с англ.-М.:Мир,1988.-544с.

6. Вычислительная техника и программирование: Учебн. для техн.вузов / А.В. Петров, В.Е. Алексеев, А.С. Ваулин и др. Под редакцией А.В. Петрова. - М.: Высш. шк., 1990. - 479 с.

7. Шуп Т. Прикладные численные методы в физике и технике: Пер. с англ.- М.: Высш.шк.,1990.-239 с.

8. Вычислительная техника и программирование. Практикум по программированию: Прак.пособие / В.Е. Алексеев, А.С. Ваулин, Г.Б. Петрова. Под ред. А.В. Петрова.- М.: Высш. ШК.,1991. - 400 с.

9. Перминов О.Н. Язык программирования Паскаль: Справвочник. -М.:Радио и связь, 1989. - 128 с.

10.Фигурнов В.Э. IBM PC для пользователя, 2-е изд.,перераб. И доп.- М.: Финансы и статистика, Юнити 1992. - 288 с.

11.Ширшов Е.В. Пособие для начинающего пользователя по работе на персональном компьютере IBM PC. Архангельск: ИВЦ "Информтех", 1992. - 70 с.

12.Бородич Ю.С., Вальвачев А.Н., Кузмич А.И. Паскаль для персональных компьютеров: Справочное пособие.- МН.: Высш. шк.: фБР ГИТМП "Ника", 1991.-365 с.

13.Поляков Д.Б., Круглов И.Ю. Программирование в среде Турбо Паскаль (Версия 5.5). Справ.-метод. пособие.- М.: Из-во МАИ,1992. - 576 с.

14.Краткое руководство по TURBO PASCAL 5.5.- М.: НПФ "И.В.К.-СОФТ",1991.- 84 с.

15.Мишнев Б.Ф. Интегрированная среда программирования Турбопаскаль версии 5.5. Пособие по использованию. Мн.: Мп.: МЕТЭКС, 1991.- 40 с.

О с т а ш е в С. И.

профессор

кафедры теплотехники

ком.1424