145729 (Исследование операций)

29

Московский государственный

Горный университет

Курсовой проект по исследованию операций.

Решение задачи методами линейного,

целочисленного, нелинейного и динамического

программирования.

Выполнил студент группы

ПМ – 1 – 97 Солодовников Д. А.

Научный руководитель: Багрова Г.И.

Москва 1999 г.

Содержание:

Цель курсовой работы ……………………………………………………………..3

Линейное программирование ……………………………………………………..4

Решение задачи методом линейного программирования ……………………….6

Целочисленное линейное программирование …………………………………...9

Решение задачи методом целочисленного линейного программирования …...10

Нелинейное программирование ………………………………………………….15

Решение задачи нелинейного программирования ………………………………15

Динамическое программирования ………………………………………………..20

Решение задачи динамического программирования …………………………….21

Графическая интерпретация решений ……………………………………………25

Трудоемкость и эффективность решения модели различными методами …….27

О проекте …………………………………………………………………………...28

Цель курсовой работы.

Решить задачу методами линейного, целочисленного, нелинейного и динамического программирования. Сопоставить трудоемкость и эффективность решения модели различными методами.

Задание:

Определить плановые задания добывающим предприятиям, если в работе находится N = 12 составов.

Цена готовой продукции 50 у.е. за тонну.

Руда, поступающая на обогатительную фабрику должна иметь содержание 29,8 – 29,9%.

В курсовом проекте введены следующие условные обозначения:

ЛП – линейное программирование;

ЦЛП – целочисленное линейное программирование;

ДП - динамическое программирование.

Линейное программирование.

Основная задача линейного программирования:

Найти неотрицательное решение системы ограничений (1,2) обеспечивающее максимум (минимум) целевой функции.

1) Первый канонический вид:

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1jx_j+…+a_1nx_n b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2jx_j+…+a_2nx_n b₂

……………………………………

a_i1x₁ +a_i2x₂+…+a_ijx_j +…+ a_inx_n b_i

.……………………………………

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mjx_j+…+a_mnx_n b_n

x_j 0; j=1,n; i=1,m;

Z=C₁x₁+C₂x₂+…+C_jx_j+…+C_nx_n max (min);

2) Второй канонический вид:

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1jx_j+…+a_1nx_n+y₁=b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2jx_j+…+a_2nx_n+y₂=b₂

………………………………………

a_i1x₁ +a_i2x₂+…+a_ijx_j +…+ a_inx_n+y_i=b_i

.………………………………………

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mjx_j+…+a_mnx_n+y_m=b_n

x_j 0; j=1,n; i=1,m;

Z=C₁x₁+C₂x₂+…+C_jx_j+…+C_nx_n max (min);

Чтобы решить задачу линейного программирования необходимо привести ее к каноническому виду.

Теоремы линейного програмирования:

Теорема 1. Множество допустимых решений основной задачи линейного программирования выпукло.

Теорема 2. Линейная функция задачи линейного программирования достигает своего экстремального значения в крайней точке множества решений.

При решении системы ограничений могут возникнуть следующие случаи:

1) Система ограничений несовместна, поэтому отыскать оптимальное решение невозможно (рис. 1.1).

2) Система ограничений имеет единственное решение ( рис. 1.2).

3) Система ограничений имеет конечное число решений (имеется замкнутая область допустимых решений). Оптимальное решение отыскивается среди решений, принадлежащих данной области(рис. 1.3).

4) Система ограничений имеет бесчисленное множество решений (рис. 1.4).

Рис. 1.1 Рис. 1.2 Рис. 1.3 Рис. 1.4

C

a b

Рис. 2

Симплекс – метод.

Решение задачи линейного программирования включает в себя 3 этапа:

1) Отыскание базисного решения – некой точки А (рис. 2) лежащей на функции.

2) Отыскание опорного решения – некой точки B (рис. 2) принадлежащей области, образованной ограничениями.

3) Отыскание оптимального решения – некой точки С (рис. 2) принадлежащей той – же области, и в которой целевая функция достигает своего экстремума.

Отыскание оптимального решения с использованием симплекс – метода сводится к последовательному направленному перебору вершин многогранника, образованного ограничениями при котором монотонно увеличивается (уменьшается) значение целевой функции.

В настоящее время решение задач ЛП с помощью симплекс – метода реализуется с помощью ЭВМ.

Решение задачи методом линейного программирования.

Симплекс – метод.

Определить плановое задание добывающим предприятиям, если в работе находится N=12 составов. Цена готовой продукции 50 у.е. за тонну. Руда поступающая на обогатительную фабрику должна иметь содержание Ме (полезного компонента) в пределах 29,9 – 29,9 %

x₁, x₂, x₃ – количество составов выделенных соответственно предприятиям 1, 2 и 3.

Ограничения:

• По количеству составов:

,

где n – количество предприятий, N – количество составов.

1. x₁ + x₂ + x₃ 12

• По максимальному объему добычи руды с каждого из предприятий:

, где

1. 120x₁ 740 или x₁ 6,16666 (для предприятия 1);

2. 110x₂ 680 или x₂ 6,18181 (для предприятия 2);

3. 106x₃ 600 или x₃ 5,6603 (для предприятия 3).

• По содержанию полезного компонента в руде:

по формуле:

где

_min – минимально допустимое содержание полезного компонента в руде,

_max – максимально допустимое содержание полезного компонента в руде,

_i – содержание полезного компонента в руде i – того предприятия,

q_i – производительность состава i – того предприятия,

имеем:

У простим неравенства 5, 6:

1. 34,92x₁ + 32,78x₂ + 32,648x₃ – 35,76x₁ – 32,78x₂ – 31,588x₃ 0

-0,84x₁ + 1,06x₃ 0; (ограничение по минимально допустимому содержанию

полезного компонента в руде);

1. 34,92x₁ + 32,78x₂ + 32,648x₃ – 35,88x₁ – 32,89x₂ – 31,694x₃ 0

-0,96x₁ – 0,11x₂ + 0,954x₃ 0

0,96 x₁ + 0,11x₂ – 0,954x₃ 0; (ограничение по максимально допустимому содержанию полезного компонента в руде);