143722 (Теория вероятности), страница 2

n(E₂) – число исходов благоприятных событию Е₂;

n₁ – число исходов благоприятных и неблагоприятных событию Е₁;

n₂ - число исходов благоприятных и неблагоприятных событию Е₂.

Поскольку каждый конкретный результат испытания может осуществиться в комбинации с любым другим возможным результатом испытания, вероятность совместного появления событий Е₁ и Е₂ можно определить по формуле:

Несколько событий называются совместно независимыми или независимыми в совокупности, если каждая из них и любая комбинация из них содержащая либо все остальные события, либо часть из них – есть события независимые.

Е₁ Е₂ Е₃

Е₁ и Е₂ – независимы;

Е₁ и Е₃ – независимы;

Е₂ и Е₃ - независимы;

Е₁ и Е₂Е₃ – независимы;

Е₂ и Е₁Е₃ – независимы;

Е₃ и Е₁Е₂ - независимы.

Попарная независимость событий не означает их независимость совокупности, однако независимость событий в совокупности обуславливает их попарную независимость.

Вероятность совместного появления нескольких событий независимых в совокупностях равна произведению вероятностей этих событий.

Так же доказывается по методу математической индукции (то есть последовательным делением на пары),

Вероятность появления хотя бы одного из независимых в совокупности событий равна разности между 1 и произведением вероятностей противоположных событий.

Произведение вероятностей противоположных событий позволяет определить вероятность их совместного появления, то есть вероятность того, что не произойдет ни одного из событий .

Но совместное появление противоположных событий и какого-либо из событий - составляют полную группу, при этом сумма вероятностей таких событий равна 1.

Пример: Вероятность приобретения женского платья составляет 0,09.

=0,09

=0,03 (пальто)

=0,02 (плащи)

Какова вероятность, что посетитель купит хотя бы одну из этих вещей?

Если события равновероятны, то есть = = , то равновероятные и противоположные им события q₁=q₂=…=q_m, тогда вероятность появления хотя бы одного из этих событий .

Два события считаются зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от появления или не появления другого события. Такие события (зависимые) имеют место при бесповторном отборе (по схеме невозвращаемого шара), когда отобранная единица обратно в генеральную совокупность не возвращается.

С зависимыми событиями связана условная вероятность. Условной вероятностью называется вероятность события Е, исчисленная в предположении, что событие Е₁ уже наступило.

Пример: Из колоды вынута карта «дама». Какова вероятность, что она будет черной масти.

, где - число исходов благоприятствующих совместному появлению событий Е и Е₁, - число исходов благоприятствующих появлению события Е₁.

Зная числа элементарных исходов всегда можно рассчитать условную вероятность.

Пример: Вынута карта красной масти, какова вероятность, что это «дама»?

Если события Е и Е₁ неравновероятны, то .

Непосредственный подсчет условной вероятности требует знания конечного числа исходов, поэтому более приемлемым на практике является расчет условной вероятности по формуле:

, где - вероятность совместного наступления событий Е и Е₁; - вероятность наступления события Е₁.

Данная формула не требует знания конечного числа исходов, хотя является полным аналогом, по сути, предыдущей формуле.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, исчисленную в предположении, что первое событие уже произошло.

Если , то .

Пример: Вероятность брака при поставке женской одежды составляет 0,015. Определить вероятность того, что проверенные наугад 2 платья из партии в 200 шт., окажутся стандартными.

q=0,015

N=200

Вероятность стандартных платьев ;

Количество стандартных платьев

Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности первого из них на условные вероятности остальных, исчисленные в предположении, что это и все предшествующие события уже произошли.

6. Следствие теорем сложения и умножения вероятностей.

Площадь прямоугольника – это пространство элементарных всех событий. Площадь кругов Е₁ и Е₂ – числа исходов, благоприятствующих событиям Е₁ и Е₂.

- число исходов, благоприятствующих совместному появлению событий Е₁ и Е₂.

Допустим нас удовлетворяет появление только одного из двух событий Е₁ и Е₂. Если эти события не совместны, то их пересечение пустое множество , а вероятность появления Е₁ и Е₂ несовместимых событий определяется по формуле:

.

Однако, при совместных событиях нас не удовлетворяет ситуация, когда оба события появляются одновременно. Вероятность такого исхода определяется по теореме умножения вероятностей.

Таким образом, вероятность появления событий Е₁ и Е₂ в общем случае можно рассчитать по формуле:

- для независимых событий.

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

- для зависимых событий.

Пример: Два продавца независимо друг от друга обслуживают покупателей. Вероятность того, что первый продавец сумеет продать товар 0,3, а второй – 0,2. Какова вероятность того, что хотя бы один из продавцов реализует товар?

Данную задачу можно решить и другим способом, рассматривая события, как независимые совокупности. Тогда вероятность, что первый продавец не сумет продать товар – 0,7, а вероятность того, что второй не сумеет продать товар – 0,8.

Пример: Вероятность покупки мужского костюма посетителем магазина составляет 0,02, галстука – 0,1, а вероятность покупки галстука под приобретенный костюм - 0,3.

Надо определить вероятность покупки покупателями хотя бы одной из этих вещей.

Комбинация теорем сложения и умножения вероятностей выражается в формуле полной вероятности.

Вероятность события Е, которое может произойти только при появлении одного из событий , составляющих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события Е.

По условию достоверным является появление одного из событий или или или . По теореме умножения вероятностей:

Но так как все эти события не совместны, вероятность появления одного из них определяется по теореме сложения вероятностей.

Пример: На плодоовощную базу поступило 4 партии картофеля. В первой партии – 95% доля стандартных клубней, во второй – 97%, в третьей – 94%, в четвертой – 91%. При этом доля первой партии в общем объеме поставок – 28%, второй – 31%, третьей – 24%, четвертой – 17%. Определить вероятность того, что магазину, заказавшему товар, достанется стандартная продукция.

Полученный результат характеризует математическое ожидание или вероятность поставки стандартной продукции в магазин. Фактически это долевая средняя, показывающая среднюю долю стандартных клубней в четырех партиях.

7. Вероятность гипотез. Формула Байеса.

Как уже отмечалось, практически любое утверждение в статистике рассматривается как гипотеза, то есть некоторое предположение о наличии, форме, тесноте взаимосвязей.

Предположим, событие Е наступает только при появлении одного из несовместных событий , образующих полную группу. Допустим, в результате испытания событие Е произошло, то есть достоверным стало одно из событий или или или .

Каждое из этих событий рассматривается как гипотетическое и его вероятность как раз определяется по формуле Байеса.

Предыдущий пример: Известно, что в магазин поставлен стандартный картофель. Какова вероятность того, что он из четвертой партии.

Таким образом, только в 16-ти случаях из 100 доставленная в магазин стандартная продукция окажется из четвертой партии.

Применение формулы Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез по результатам испытаний, в следствие которых появилось событие Е.

Достоинство формулы Байеса в том, что она может применяться при отсутствии сведений о числе элементарных исходов, достаточно знать вероятности или частости событий.

8. Независимые события. Биномиальное распределение.

Предположим событие Е во всех случаях имеет одну и ту же вероятность , тогда вероятность противоположного события будет так же постоянна и может определяться по формуле .