143691 (Статистика), страница 4

Поскольку в расчетах группа должна быть представлена обычно одним вариантом, в качестве этого варианта условно выбирается середина каждого интервала.

Такой подход возможен исходя из гипотезы о равномерном распределении вариантов внутри каждого интервала.

Интервальный ряд, таким образом, преобразуется в дискретный, варианты которого – это середины соответствующих интервалов. Середины закрытых интервалов определяются как полусумма нижней и верхней границы интервала.

Середина первого интервала с открытой нижней границей определяется по формуле , где x_В1 – верхняя граница первого интервала, c₂ – второй интервал.

Середина последнего интервала определяется по формуле , где x_нn – нижняя граница n-го интервала, с_n-1 – предыдущий интервал (предпоследний).

2. Частотные характеристики рядов распределения.

Различают абсолютные и относительные частотные характеристики.

Абсолютная характеристика – частота, показывает, сколько раз встречается в совокупности данный вариант ряда. Достоинство частоты – простота, недостаток – невозможность сравнительного анализа рядов распределения разной численности.

Для подобных сравнений применяют относительные частоты или частости, которые рассчитываются по формуле:

, где N – численность совокупности.

Это относительная величина структуры (по форме).

Сумма частостей равна 1.

Если частости выражены в процентах или в промилях их суммы равны соответственно 100 или 1000.

В неравных интервальных рядах распределения частотные характеристики зависят не только от распределения вариантов ряда, но и от величины интервала при прочих равных условиях расширение границ интервала приводит к увеличению наполненности групп.

Для анализа рядов распределения с неравными интервалами используют показатели плотности:

Абсолютная плотность: , где f_i – частота, c_i - величина интервала – показывает, сколько единиц в совокупности приходится на единицу величины соответствующего интервала. Абсолютная плотность позволяет сопоставлять между собой насыщенность различных по величине интервалов ряда. Абсолютные плотности не позволяют, однако, сравнивать ряды распределения разной численности.

Для подобных сравнений применяются относительные плотности: , где d_i – частости (доли), c_i - величины соответствующих интервалов – показывает, какая часть (доля) совокупности приходится на единицу величины соответствующего интервала.

3. Графическое изображение рядов распределения.

Графическое изображение рядов распределения дает наглядное представление о закономерностях распределения.

Дискретный ряд изображается на графике в виде ломаной линии – полигона распределения.

Интервальные ряды изображаются в виде гистограмм распределения (то есть столбиков диаграмм) при этом основанием каждого прямоугольника служит величина соответствующего интервала, а высотой его частотная характеристика.

Любая гистограмма может быть преобразована в полигон распределений, для этого необходимо соединить между собой отрезками прямой вершины ее прямоугольников.

При графическом изображении рядов с неравными интервалами по оси ординат откладываются абсолютные или относительные плотности.

Поскольку , то и площадь каждого прямоугольника такой гистограммы равна частоте соответствующего интервала, а общая площадь гистограммы равна численности совокупности.

Если на графике откладываются относительные плотности , то , то площадь каждого прямоугольника равна частости соответствующего интервала, а общая площадь гистограммы равна 1.

При равноинтервальной группировке графики распределений составленные по частотам, частостям и плотностям, подобны друг другу.

Графики распределений с неравными интервалами различаются в зависимости от того, по какой частотной характеристике они строятся.

Для характеристики рядов распределения применяют так же графики накопленных частот или куммуляты.

Пример: Распределение хозяйств по урожайности зерновых.

Накопленная частота – это сумма частот данного и всех предшествующих интервалов.

Куммулята позволяет определить, какая часть совокупности обладает значениями изучаемого признака не превышающими заданного предела, а какая часть – наоборот – превышает этот предел.

Средние величины.

1. Понятие средней величины.

2. Средняя арифметическая величина и ее расчет прямым способом.

3. Свойства средней арифметической величины.

4. Практическое использование свойств средней арифметической.

5. Степенные средние.

6. Мода и процентили.

1. Понятие средней величины.

Уровень любого показателя формируется под воздействием существенных закономерных для данного явления, а так случайных причин. Поскольку случайных причин множество и их действия носят стихийный разнонаправленный характер, необходимо нивелировать (устранить) результат такого воздействия, для того чтобы определить типичный закономерный для данных условий места и времени уровень показателей. Таким уровнем является средняя величина.

Средняя – это обобщающая характеристика количественно и качественно однородной совокупности в определенных условиях. Среднее определяется по какому-либо признаку. Среднее проявляется в результате действия закона больших чисел, когда в массовых совокупностях индивидуальные отклонения от типичного уровня взаимопогашаются. Среднее позволяет заменить множество значений показателей одним типичным, что значительно упрощает последующий анализ явлений.

Средняя является объективной характеристикой только для однородных явлений. Средние для неоднородных совокупностей называются огульными и могут применяться только в сочетании с частными средними однородных совокупностей.

Средняя применяется в статистических исследованиях для оценки сложившегося уровня явления, для сравнения между собой нескольких совокупностей по одному и тому же признаку, для исследования динамики развития изучаемого явления во времени, для изучения взаимосвязей явлений.

Средние широко применяются в различных плановых, прогнозных, финансовых расчетах.

2. Средняя арифметическая величина и ее расчет прямым способом.

Средняя арифметическая – наиболее распространенный на практике вид средних. Различают 2 вида арифметических средних:

• Невзвешенную (простую);

• Взвешенную.

Средняя арифметическая невзвешенная рассчитывается для несгруппированных данных по формуле: , где - сумма вариантов, N – их число – применяется обычно для совокупностей численностью N 15.

Для массовых статистических совокупностей рассчитывается взвешенная средняя арифметическая по формуле: , где - частоты.

Пример: Расчет средней выработки рабочими токарного цеха.

Из таблицы:

1. Средняя величина всегда тяготеет к вариантам с наибольшими частотами.

2. Средняя величина может не совпадать ни с одним из вариантов дискретного ряда.

3. Средняя величина находится внутри интервала значений вариантов ряда.

Сумма помимо чисто математического, как правило, имеет смысловое значение, наличие смыслового значения – один из способов проверки правильности выбора средней.

Даже если варианты ряда представлены целыми числами, среднее может быть смешанным числом, иногда такой результат логически неправомерен. В этом случае его надо округлять, переводить в проценты или в промили.

3. Свойства средней арифметической величины.