Документ Microsoft Word (Вводная лекция по цифровым устройствам), страница 2

Методы минимизации логических функций достаточно разнообразны. Особенно хорошо разработаны методы минимизации в булевой алгебре, которой в настоящее время пользуются наиболее часто.

Будем рассматривать частичную задачу минимизации, предусматривающую представление логической функции в минимальной ДНФ (МДНФ) или в минимальной КНФ (МКНФ). При этом под МДНФ (МКНФ) понимают логические функции, содержащие наименьшее количество аргументов.

1. Минимизация логических функций с помощью карт Карно.

При использовании для минимизации логических функций карт Карно принимается во внимание способность человека к быстрому определению зрительных образов – в данном случае склеек. Склейками будем считать объединение (графическое) соседних единичных (нулевых) клеток в карте Карно, если логическая функция задана в ДНФ (КНФ). Количество клеток, объединяемых в склейки, определяется выражением (i=1,2,3,….). Cоседними клетками считаются клетки, расположенные не только рядом, но и клетки, являющиеся крайними для столбца или строки.

Рассмотрим в качестве примера логическую функцию, заданную в СДНФ

Карта Карно, соответствующая этой логической функции, представлена на рис.5.

Максимальное количество клеток, содержащих «1» объединяемых склейками – 2.таким образом, для представления логической функции в СкDНФ выделяем склейки 1,2,3. Простые импликанты формируются из аргументов, которые в пределах склейки не меняют свое значение:

Сравнивая (2) и (1), убеждаемся, что она значительно проще: из первой импликанты исчез избыточный аргумент X₃, из второй – X₂, из четвертой X₁, а третья импликанта вообще оказалась избыточной. Дальнейший анализ выделенных склеек в карте Карно (рис.5) показывает, что склейка (2), определяющая простую импликанту X₃, полностью накрывается склейками (1) и (3), поэтому она является избыточной и исключается из состава логической функции и (2).

Полученная в результате этого логическая функция является тупиковой дизъюнктивной нормальной формой ТДНФ:

Так как других вариантов образования склеек в рассматриваемом примере нет, то логическая функция (3) является МДНФ.

Для представления логической функции в СкКНФ формируются склейки, содержащие «0». Таких склеек в рассматриваемом примере три – 1’,2’,3’. Простые имплиценты формируются из аргументов, которые в пределах склейки не меняют свое значение:

.

Анализ выделяемых склеек в карте Карно (рис.5) показывает, что склейка , определяющая простую имплиценту , полностью накрывается склейками ( ) и ( ), поэтому она является избыточной и исключается из состава логической функции (4). Полученная в результате этого логическая функция является тупиковой конъюнктивной нормальной формой ТКНФ:

Так как других вариантов образования склеек в рассматриваемом примере нет, то логическая функция (5) является МКНФ.

Таким образом, процесс минимизации логических функций с использованием карт Карно осуществляется в 3 этапа:

• на первом этапе формируется карта Карно и в ней выделяются склейки («1» или «0»), объединяющие максимальное число клеток;

• на втором этапе логическая функция представляется в СкДНФ (СкКНФ), т.е. из нее исключаются избыточные аргументы;

• на третьем этапе логическая функция представляется в ТDНФ (ТКНФ), а затем при наличии вариантов в МДНФ (МКНФ).

Метод минимизации с использованием карт Карно целесообразно применять при числе аргументов не более шести.

Доказать тождества:

Выразить в булевой алгебре:

1. f₁ = а(1  в(1  с(d  1)));

2. f₂ = (а  1)(d c(d 1)).

Задание логических функций различными способами.

Логические функции Z₁, Z₂, Z₃, Z₄, заданные одновходовой таблицей (рис.6) представить в виде карт Карно.

По картам Карно представить логические функции Z₁, Z₂, Z₃, Z₄ в СДНФ и СКНФ.

Представить логические функции Y₁, Y₂ заданными картами Карно (рис.7) в СДНФ и СКНФ.

Представить логическую функцию Y₃, заданную картой Карно (рис.8), в виде десятичного набора импликант, определяемых аргументами Х₀, Х₁, Х₂, Х₃, Х₄, с весами 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴ соответственно.

Минимизация логических функций.

Логическую функцию Y₁, заданную картой Карно (рис.7а) представить в СкДНФ и составить функциональную схему устройства.

Логическую функцию Y₂, заданную картой Карно (рис.7в) представить в СкКНФ и составить функциональную схему устройств.

Логическую функцию Y₃, заданную картой Карно (рис.8) представить в ТДНФ и составить функциональную схему устройства на элементах И-НЕ.

Логическую функцию Y₄, заданную аналитически в СДНФ, минимизировать и составить функциональную схему устройства на элементах ИЛИ-НЕ.

Не доопределенную логическую функцию Y₅, заданную картой Карно (рис. 9) минимизировать и составить функциональную схему устройства на элементах ИЛИ-НЕ.

Минимизация логических функций осуществляется в соответствии с методиками, изложенными в параграфе 1.4, составление функциональных схем осуществляется на основании минимизированных функций путем замены элементарных логических операций логическими элементами.

1. Элементы и узлы памяти.

2.1. Триггеры на интегральных логических схемах.

2.1.1. Назначение и классификация триггеров.

Для запоминания значений логических переменных в цифровых схемах используются элементы, называемые триггерами.

Основу триггера составляет бистабильная ячейки (БЯ),имеющая два устойчивых состояния «0» и «1». Перевод БЯ из одного состояния в другое осуществляется под воздействием внешних сигналов управления. Таким образом, можно сказать, что триггер представляет собой БЯ со схемой управления (СУ). Последующее состояние триггера Q зависит от его предыдущего состояния q, что обеспечивается обратной связью. Структурная схема триггера представлена на рис.10.

Триггер имеет два выхода - прямой Q и инверсный . На вход триггера подаются управляющие сигналы Х, о которых мы поговорим ниже, сигналы обратной связи, характеризующие состояния триггера до воздействия управляющих сигналов q и специальный тактирующий сигнал, поступающий на вход «С»- clock (такой вход отсутствует в асинхронных триггерах).

Все триггеры можно классифицировать по различным признакам:

1. По характеру управляющих сигналов:

• статические, управляемые уровнем;

• динамические, управляемые перепадом (фронтом) сигнала управления.

При этом управляющие сигналы могут быть прямыми кодами (триггер с прямым управлением) или с обратными кодами (триггер с инверсным управлением).

1. По способу функционирования:

• асинхронные, в которых перевод из одного состояния в другое осуществляется под воздействием только управляющих сигналов;

• синхронные, в которых перевод из одного состояния в другое осуществляется при одновременном воздействии управляющих сигналов и специальных тактирующих сигналов, поступающих на вход С;

  1. По назначению:

     • триггеры памяти (RS-,JK-триггеры);

     • счетные триггеры (Т-триггер);

     • триггеры задержки (D-,DV-триггеры).

2.1.2. RS-триггеры.

2.1.2.1. Асинхронный RS-триггер.

Асинхронный RS-триггер является элементом памяти, хранит 1 Бит информации, имеет два выхода Q и и два входа – установка S (set) и сброс R (reset). Алгоритм работы такого триггера зададим картой Карно (рис.11).

При R=S=1 триггер находится в неопределенном состоянии, которое обозначается « - ». это является существенным недостатком RS-триггеров.

Для синтеза RS-триггера представим его логическую функцию, пользуясь картой Карно (рис. 11);

Q=S v q _* . ( 8 )

Для реализации выражения (8) на элементах И-НЕ его преобразуем путем двойного инвертирования правой и левой части и последующем применение теоремы Де-Моргана:

(9).

Анализ (9) показывает, что для реализации RS-триггера достаточно иметь два элемента 2И-НЕ. Управление триггером осуществляется инверсными сигналами и поэтому такой триггер называется триггером с инверсным управлением (рис.12). Условное графическое обозначение (УГО) такого триггера представлено на рис.13.

Для реализации выражения (8) на элементах ИЛИ-НЕ его преобразуем, используя теорему Де-Моргана:

__