Документ Microsoft Word (Вводная лекция по цифровым устройствам)

ВВОДНАЯ ЛЕКЦИЯ

Вся современная радиотехника построена на двух типах устройств – аналоговых и цифровых. В аналоговых устройствах величины изменяются непрерывно как по уровню, так и по времени. В цифровых устройствах существует только два уровня – высокий и низкий. Их называют «единичным» и «нулевым», что условно соответствуют «1» и «0».

Устройство, занимающиеся формированием, преобразованием и передачей наборов «1» и «0», называемых кодами, поставленными в соответствие реальным значениям физических переменных, называют цифровыми устройствами.

Внедрение цифровых устройств явилось огромным достижением современности. Их преимущество над аналоговыми основано на следующем:

• цифровые устройства допускают большую степень интеграции в составе микросхемы;

• в отличие от аналоговых, данные в цифровых устройствах менее зависят от температуры окружающей среды, влажности, давления, напряжения питания;

• точность цифровых устройств практически неограниченна.

Для описания алгоритмов работы цифровых устройств необходим соответствующий математический аппарат. Такой аппарат для решения задач формальной логики в середине XIX века разработал ирландский математик Д.Буль. По его имени математический аппарат и получил название булевой алгебры или алгебры логики.

Использование алгебры логики позволило разработать инженерные методы проектирования цифровых устройств.

1. Основные понятия алгебры логики

1. Логические константы, переменные и функции.

Булева алгебра – это математический аппарат, оперирующий с двумя понятиями: событие истинно и событие ложно.

Естественно ассоциировать эти понятия с цифрами, используемыми в двоичной системе счисления – логической единицей «1»и логическим нулем «0».

Два элемента булевой алгебры, а именно событие истинно и событие ложно, называются ее константами, что в дальнейшем будем именовать логической единицей «1» и нулем «0».

Для описания поведения и структуры цифровой схемы при помощи булевой алгебры будем использовать логические переменные, которые могут принимать два значения:

Х = 0, если Х ≠ 1,

Х = 1, если Х ≠ 0, ^(1.1)

О сновными операциями, выполняемыми над булевыми константами и переменными, являются операции логического сложения, умножения и отрицания. Эти операции представляются в виде логических функций, составляющих функционально-полный набор. Если обозначить i-ю логическую функцию через y_i , то функционально-полный набор логических функций трех аргументов Х₁, Х₂, Х₃ может быть представлен в виде:

1. Логическое сложение, дизъюнкция, операция ИЛИ

У₁ = Х₁ + Х₂ + Х₃ = Х₁ v Х₂ v Х₃ ;

1. Л огическое умножение, конъюнкция, операция И

У₂ = Х_{1 *} Х_{2 *} Х₃ = Х_{1 ^} Х_{2 ^} Х₃ ;

1. Отрицание, инверсия, операция НЕ

;

1. Инверсия логической суммы, операция ИЛИ-НЕ

;

1. И нверсия логического произведения, операция И-НЕ

.

Функционально-полный набор логических функций в цифровой электронике реализуется функционально-полным набором логических элементов, выполненных в виде интегральных логических схем. Условное графическое обозначение (УГО) такого набора для функции трех аргументов представлен на рис.1.

1. Основные законы алгебры логики.

В булевой алгебре все операции осуществляются с логическими переменными и подчиняются законам алгебры логики. Сформулируем наиболее важные из них. Если учесть, что логические операции подчиняются принципу двойственности, соответственно попарно сгруппируем все однотипные законы (теоремы) по столбцам:

1. Переместительный закон.

Х₁ v Х₂ = Х₂ v Х₁; Х_{1 *} Х₂ = Х_{2 *} Х₁ ;

1. Сочетательный закон.

(Х₁ v Х₂) v Х₃ = Х₁ v (Х₂ v Х₃); (Х_{1 *} Х₂) _* Х₃ = Х_{1 *} (Х_{2 *} Х₃);

1. Распределительный закон.

Х_{1 *} (Х₂ v Х₃) = Х_{1 *} Х₂ v Х_{1 *} Х₃; Х₁ v Х_{2 *} Х₃ = (Х₁v Х₂)(Х₁ v Х₃);

1. Закон поглощения.

Х₁ v Х_{1 *} Х₂ = Х_{1 *} (1 v Х₂)=Х₁

1

Х_{1 *} (Х₁ v Х₂) = Х₁ v Х_{1 *} Х₂ = Х₁;

1. Х v 0 = Х; Х _* 0 = 0;

1. Х v 1 = 1; Х _* 1 = Х;

1. Х v Х = Х; Х _* Х = Х;

_ _

1. Х v Х = 1; Х _* Х = 0;

1. ;

1. Правило Де Моргана

__________ __ __ __ _________ __ __ __

X₁ v X₂ v X₃ = X_{1 *} X_{2 *} X₃; X_{1 *} X_{2 *} X₃ = X₁ v X₂ v X_3.

Справедливость всех перечисленных законов может быть доказана методом непосредственной подстановки.

1. Способы задания логических функций.

Пусть на входе некоторого логического устройства действует m логических переменных Х₀ Х₁… Х _{m – 1}, а на его выходе возникают n логических функций Y₀ Y₁…Y _{n - 1} , каждая из которых связана с этими логическими переменными (рис.2).

Для описания поведения этого устройства необходимо определить зависимость каждой из n выходных переменных Y_i от совокупности входных переменных Х₀ Х₁… Х _{m – 1.} Эти зависимости, выраженные через операции алгебры логики, называются функциями алгебры логики. Для заданий функций алгебры логики необходимо определить значение Y_i для всех возможных комбинаций переменных Х₀ Х₁… Х _{m – 1}, при этом количество таких комбинаций определяется 2^m .

Если заданы все 2^m значений функции Y_i,то говорят, что эта функция полностью определена. Если часть значений функции не задана, то функция называется частично определенной или недоопределенной.

Для задания функций алгебры логики могут быть использованы различные способы, основными из которых являются: словесное описание, табличный, аналитический, в виде последовательности десятичных чисел и другие.

При словесном описании значение функции при соответствующих значениях аргументов оговариваются. Такой способ наиболее часто применяется для первоначального описания поведения логического устройства.

Табличный способ задания логических функций может быть двух типов: одновходовые таблицы (таблицы истинности) и двухвходовые таблицы (карты Карно).

Одновходовые таблицы предусматривают введение аргументов X_j и функций Y_i с одной стороны таблицы в виде прямоугольной матрицы, количество столбцов которой определяется числом аргументов m и числом функций n, т.е. m+n.

Количество строк в таблицы определяется выражением 2^m. Например, для функций Y₁ с числом аргументов m=3 эта таблица представлена на рис.3.

В случае двухвходовой таблицы она также представляется в виде прямоугольной матрицы, содержащей 2^m клеток, внутри которых указывается значение функции Y_i.

Аргументы функции вводятся с двух сторон матрицы – по столбцам и строкам, с помощью линий. Наличие линии соответствует значению аргумента «1», отсутствие линии – «0».

Количество столбцов определяется выражением 2^m1, а количество строк – 2^m2, где m₁,m₂ – количество аргументов, вводимых по столбцам и строкам соответственно.

Значения аргументов по столбцам и строкам распределяются так, что их соседние комбинации отличаются только в одном значении аргумента (в одном разряде).

Например, для функции Y₁ с числом аргументов m=3 эта таблица представлена на рис.4.

Аналитический способ задания логических функций состоит в их представлении в виде алгебраических выражений.

Используется две стандартные формы аналитического задания: дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) и конъюнктивная нормальная форма (КНФ).

ДНФ называется дизъюнкция любого конечного множества попарно различных элементарных конъюнкций, например:

.

При этом под элементарными конъюнкциями понимают конъюнкции любого конечного множества попарно различных между собой символов, над которыми могут стоять знаки отрицания, например, . В то же время не являются элементарными конъюнкциями.

КНФ называется конъюнкция любого конечного множества попарно различных элементарных дизъюнкций, например,

При этом над элементарными дизъюнкциями понимают дизъюнкции любого конечного множества попарно различных между собой символов, над которыми могут стоять знаки отрицания, например, . В то же время не являются элементарными дизъюнкциями.

Если ДНФ (КНФ) логической функции m аргументов содержит элементарные конъюнкции (дизъюнкции), каждой из которых содержит все m аргументов, то такая форма называется совершенной дизъюнктивной (конъюнктивной) нормальной формой, то есть СДНФ (СКНФ).

Составляющие СДНФ (конъюнкции) называются конституентами нуля.

Для представления функции Y₁, заданной одновходовой таблицей (рис.3), в СДНФ необходимо выписать конституенты единицы в виде конъюнкции аргументов для строк, в которых функция равна 1

Эту же функцию можно получить из двухвходовой таблицы (рис. 4) путем записи конституент единицы в виде конъюнкции аргументов, соответствующих клеткам таблицы, в которых функция равна 1.

Для представления функции Y₁, заданной одновходовой таблицей (рис.3), в СКНФ необходимо выписать конституенты нуля в виде дизъюнкции аргументов для строк, в которых функция равна 0

.

Эту же функцию можно получить из двухвходовой таблицы (рис.4) путем записи конституент нуля в виде дизъюнкции аргументов, соответствующих клеткам таблицы, в которых функция равна 0.

При задании логической функции последовательностью десятичных чисел последовательно записывают десятичные эквиваленты двоичных кодов, соответствующих конституентам 1 или 0.

Если функция задана в СДНФ, то для функции Y₁, заданной таблицей (рис.3) Y₁= v₍₁₎ (0,2,4,3,6,5,7)

└ ^{конституенты 1} ┘

если функция задана в СКНФ, то Y₁= _^(0) (0)

└^{конституента 0}┘

1. Минимизация логических функций.

   1. Задача минимизации логических функций.

При логическом проектировании цифровых устройств важно получить их логические функции в форме, содержащей наименьшее количество логических операций над логическими аргументами.

Это связано с тем, что при практической реализации, полученной логической функции необходимо использовать наименьшее количество логических элементов.

В общем случае задачей минимизации логической функции является получение наиболее простого представления этой функции в избранной функционально полной системе логических функций.