135828 (Исследование возможности использования эффекта автодинного детектирования в генераторах на диоде Ганна для контроля параметров вибрации), страница 2

СВЧ генераторов.

Эквивалентная схема автодина на полупроводниковом диоде

приведена на рис. 4.

__________

| |

|~| |~|

| | Yд | | Yн

|_| |_|

| |

~~~~~~~~~~

Рис. 4. Эквивалентная схема автодина на полупроводниковом ~~~~~~~

диоде.

Эта эквивалентная схема может быть описана соотношением

(3.1), согласно первому закону Кирхгофа.

. .

Iyд + Iyн = 0 (3.1)

Величина Yн явлыется проводимостью нагрузки и элементов настройки схемы, Yд - средняя проводимость полупроводникового

прибора,

. .

Yд = I1 / U1 (3.2)

. .

I1, U1 - комплексные амплитуды тока и напряжения первой

гармоники на полупроводниковом элементе. Т.к. к обеим

. проводимостям приложено одно и то же напряжение U1, можно

записать баланс мощностей:

2 2

| U2 | * Yд + | U1 | * Yн = 0 (3.3)

Активная мощность на нагрузке (3.4) положительна

2

Рн = | U1 | * Re(Yн) (3.4)

отсюда вытекает, что

2

| U1 | * Re(Yд) = - Рн (3.5)

.

т.е. Yд должна иметь отрицательную действительную часть при

существовании в системе колебаний с ненулевой амплитудой.

Наличие отрицательной проводимости характеризует трансформацию

энергии: полупроводниковый элемент потребляет энергию

постоянного тока и является источником колебаний ненулевой

частоты.

В качестве трансформаторов энергии может быть использован

ряд двухполюсников диодов: туннельный диод (ТД), лавинно -

пролетный диод (ЛПД), инжекционно - пролетный диод (ИПД) и

диод Ганна (ДГ).

Процессы в полупроводниковых приборах описываются тремя

основными уравнениями в частных производных [8]: уравнением

плотности тока, характеризующим образование направленных

потоков заряда; уравнением непрерывности, отражающим накопление

и рассасывание подвижных носителей заряда, и уравнением

Пуассона, описывающим электрические поля в полупроводнике.

Точное решение этих уравнений с учетом граничных условий

в общем виде затруднительно даже на ЭВМ. Чтобы упростить

анализ вводят эквивалентные схемы полупроводниковых приборов.

ТД представляют собой приборы, наиболее удобные для

анализа, т.к. их эквивалентная схема более проста и точна, чем

схемы других полупроводниковых приборов. С практической точки

зрения ТД представляет собой интерес при создании маломощных

автодинов в коротковолновой части сантиметрового диапазона.

ИПД (BARITT) обладает малой генерируемой мощностью [9],

но из-за низкого уровня шумов и малого напряжения питания

являются перспективными для допплеровских автодинов.

ЛПД обеспечивает наибольшие КПД и мощность колебаний

[10]. Но его главным недостатком является относительно высокий

уровень шумов, обусловленный , в первую очередь, шумами

лавинообразования.

Таким образом, на сегодняшний день наиболее подходящим

полупроводниковым СВЧ генератором для автодинов является диод

Ганна, который, хотя и имеет достаточно высокий уровень шумов

и низкий КПД, генерирует колебания достаточно высокой мощности

( от десятков миллиВатт до единиц Ватт ) и требует низкого

[11] напряжения питания ( 4.5 - 7 Вольт ).

4. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Целью данной работы являлось математическое моделирование

процессов, происходящих в автодине на диоде Ганна с

вибрирующей нагрузкой. Для этого была составлена эквивалентная

схема автодина ( рис.5 ).

c --> i2

|~~~~~~~~~~~~~~~|~~~~~~~~~~~~|~~~~~~~~|

| | > | |

| i1 | > Lk | |

| V > | |

| > | |

| |a | |

| |~~~~~~~| | |

| | | | >

|~| | |~| | >

| | Yn Cd === | | Yd === Ck > Ln

|_| | |_| | >

| | | | >

| |_______| | |

| |b | |

| | | |

| |~| | |

| | | Ys | |

| |_| | |

|_______________|____________|________|

d

Рис. 5. Эквивалентная схема автодина на диоде Ганна. ~~~~~~~~

Схема самого диода Ганна [6] включает проводимость диода

Yd, емкость диода Cd, проводимость активных потерь Ys,

индуктивность корпуса Lк и емкость корпуса Ск. К диоду

подключены волноводная система и нагрузка, которые были

представлены в виде активной проводимости нагрузки Yn и

индуктивности нагрузки Ln.

Эта эквивалентная схема описывается системой

дифференциальных уравнений (4.1-4.4), полученных с

использованием I и II законов Кирхгофа [12].

dUab/dt = ( i1 - Yd(U0 + Uab) Uab ) / Cd (4.1)

dUcd/dt = ( -i1 - Ucd Yn - i2 ) / Ck (4.2)

di1 /dt = ( Ucd - Uab - i1 / Ys ) / Lк (4.3)

di2 /dt = Ucd / Ln (4.4)

Нагрузка с волноводной системой была представлена в виде

линии, нагруженной на комплексныю проводимость отражающей

поверхности ( рис.6 ).

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~|

. |~| .

Yn | | Z

|_|

_______________________|

Рис. 6. Представление нагрузки в виде нагруженной линии. ~~~~~~~

.

Комплексная проводимость нагрузки Yn была выражена через

коэффициент отражения волны от объекта ( нагрузки ). Для этого

была решена система уравнений (4.5-4.6) [12].

. . .

U = Uпад + Uотр (4.5)

. . .

I = Iпад + Iотр , (4.6)

. .

где Uпад, Iпад - комлексные напряжение и ток падающей волны, . .

Uотр, Iотр - комплексные напряжение и ток отраженной волны.

Коэффициент отражения представляет собой отношение амплитуд

отраженной и падающей волн.

. .

G = Uотр / Uпад (4.7)

В результате решения этой системы было получено выражение

для комплексной проводимости нагрузки.

. 1 1 - G exp ( -2 j l )

Yn = --- * -------------------------- , (4.8) Zв 1 + G exp ( -2 j l )

где Zв - импеданс пустого волновода

Zв = m m0 W / (4.9)

W - частота генератора, m - магнитная проницаемость, m0 -

магнитная постоянная, l - расстояние до объекта, - фазовая

постоянная.

Для подстановки в систему уравнений (4.1-4.4) комплексная

проводимость нагрузки была разделена на действительную и

мнимую части.

2 . 1 1 - G

Re ( Yn ) = --- * ---------------------------2 (4.10) Zв 1 + 2 G cos ( 2 l ) + G

2

. 1 2 G sin ( 2 l )

Im ( Yn ) = --- * ---------------------------2 (4.11) Zв 1 + 2 G cos ( 2 l ) + G

Действительная часть добавляется к некоторому неизменному

значению активной проводимости нагрузки

.

Yn = Yn0 + Re ( Yn ) (4.12)

Мнимая же часть в зависимости от своего знака может

характеризовать или емкость, или индуктивность. В случае, если

.

Im ( Yn ) > 0, она характеризует емкость, которая добавляется

в Ск.

.

Ск = Ск0 + Im ( Yn ) / W (4.13)

В противном случае она характеризует индуктивность, которая

добавляется в Ln.

.

Ln = Ln0 + 1 / ( |Im( Yn )| W ) (4.14)

Чтобы найти проводимость диода, необходимо

продифференцировать выражение ВАХ диода по напряжению:

M0 U U 4

------ + Vs [ ----- ]

L Ep L

i(U) = q n S * ------------------------------ (4.15)

U 4 1 + [ ----- ]

Ep L

где q - элементарный заряд, n - концентрация носителей заряда,

М0 - подвижность носителей заряда, U - приложенный потенциал,

S - сечение диода, L - длина диода, Vs - скорость насыщения

носителей заряда, Ep - пороговое поле.

i, A. |

|

0.09 +

|

0.08 +

|

0.07 +

|

0.06 +

|

0.05 +

|

0.04 +

|

0.03 +

|

0.02 +

|

0.01 +

|

+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+----->

0 1 2 3 4 5 6 7 U, В.

Рис.4.3. Вольт - амперная характеристика диода Ганна. ~~~~~~~~

В результате дифференцирования было получено

Vs U 3

|~ M0 + 4 ---4 ( --- )

di q n S | Ep L

Yd = ---- = ----- * | --------------------------- -- dU L | U 4

|_ 1 + ( ----- )

L Ep

U U 4

3 M0 --- + Vs ( ----- ) ~|

U L L Ep |

-- 4 * ------ * ---------------------------- | (4.16)

3 4 U 4 2 |

L Ep ( 1 + ( ----- ) ) _|

L Ep

Итак, решая систему (4.1-4.4) с подстановками (4.13),

(4.14), (4.16), можно получить значения токов i1, i2 и

.

напряжений Uab, Ucd в некоторый момент времени. Но выражение

(4.8), а следовательно и выражения (4.10) и (4.11) были

Yd,См.|

|

-1 |

1*10 +

-2 |

9*10 +

|

=

-3 |

1*10 +

| 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 U,B.

+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+--->

-3 |

1*10 +

-3 |

2*10 +

-3 |

3*10 +

-3 |

4*10 +

-3 |

5*10 +

-3 |

6*10 +

|

Рис.4.4. Зависимость проводимости диода Ганна от напряжения ~~~~~~~~

питания.

выведены без учета вибрации. Учесть гармоническую вибрацию

нагрузки можно подставив l ( расстояние до объекта ) в виде

l = 2 [ l0 + A sin ( Wв t ) ] / , (4.17)

где l0 - начальное расстояние до объекта, Wв - частота

вибрации, А - амплитуда вибрации. Можно также учесть линейное

перемещение объекта, введя в рассмотрение линейную скорость V,

тогда

l = 2 [ l0 + A sin ( Wв t ) + V t ] / (4.18)

Система (4.1-4.4) решалась с учетом изменения расстояния

до объекта (4.18). Аналитическое решение этой системы не

представляется возможным, поэтому система была решена на ЭВМ с

помощью метода Рунге-Кутта для систем дифференциальных

уравнений [13]. Вычисления проводились для десяти точек на

период в режиме самосогласования частоты. Проводился

расчет трех предполагаемых периодов, после чего вычислялась

частота по последнему реальному периоду. Если предполагаемая

и вычисленная частоты различались более чем на 10 %,

вычисления продолжались для следующих трех периодов, после

чего проводилось сравнение новой частоты с ранее найденной.

Это продолжалось до согласования старой и новой частот с

заданной точностью. Результаты представлялись в виде матрицы

токов и напряжений Uab, Ucd, i1, i2 для трех периодов, которая

в дальнейшем использовалась для нахождения величины

продетектированного сигнала (4.19), мощности СВЧ сигнала на

нагрузке (4.20) и спектров токов на диоде и нагрузке.

T н R

Vдет = --- i1 dt (4.19)

T

0

T н 1

Pсвч = --- Ucd i2 dt (4.20)

T

0

Спектр токов i1 и i2 находился методом разложения функций

i1(t) и i2(t) в ряд Фурье [14,15].

a0

f(t) = --- + [ ak cos( k W t ) + bk sin( k W t )], (4.21)

2

k=1

где

T

2

ak = --- f(t) cos( k W t ) dt (4.22)

T

0

T

2

bk = --- f(t) sin( k W t ) dt, (4.23)

T

0

где f(t) - функции i1(t) или i2(t), W - частота сигнала, k -

номер гармоники, k = 1, 2, 3, ... . Амплитуда и фаза k-й

гармоники находятся по формулам (4.24) и (4.25)

соответственно.

____________

/ 2 2

Ak = \/ ak + bk (4.24)

Фk = - arctg( bk/ak ) (4.25)

Интегралы в выражениях (4.19), (4.20), (4.22), (4.23)

вычислялись методом трапеций [16]. Метод трапеций, хотя и

является менее точным по сравнению с методом Гаусса и правилом

Симпсона, но его точности вполне хватает для решения

поставленной задачи. Кроме того, он позволяет сократить

затраты машинного времени, что имеет немаловажное значение.

В целях уменьшения затрат машинного времени программа

моделирования работы автодина на диоде Ганна была написана на

языке высокого уровня Си [17]. Программа реализована на

персональной ЭВМ " Электроника МС 0507 " ( см. приложение 1 ).

Программы приведена в приложеннии 3, а ее описание в

приложении 2.

Для расчета были выбраны следующие начальные данные:

2 15 -3

fg = 10 ГГц, М0 = 6000 В/(см * с), n = 10 см., U0 = 4.5 В,

2 6

L = 10 мкм, S = 100 * 100 мкм, Vs = 8.5 * 10 см/с, Ep = 4000

В/см, G = 1, = 1, Yn0 = 0.01 См, Ys = 0.05 См, Ск0 = 0.45 пФ,