135644 (ТЭС - расчет канала), страница 2

для заданного варианта (ДФМ) Е=4*Е1 Е1=Е/4,

где Е -энергия сигнала Е= Р_с * Т. Отсюда получаем:

Для определения вероятности ошибки при использовании оптимального приемника Котельникова воспользуемся формулой:

Оптимальный приемник, не является корреляционным, сигнал на его выходе представляет

собой функции корреляции принимаемого сигнала и ожидаемого, благодаря чему

обеспечивается максимально возможное отношение сигнал шум.

Поскольку операция определения функции корреляции является линейной ее можно реализовать в некотором линейном фильтре, характеристики которого (комплексная передаточная характеристика К(jw) и импульсная характеристика g(t) являются такими, что отношение сигнал/ шум на его выходе получается максимальным.

Пусть сигнал на входе фильтра имеет комплексный спектр S(jw). Тогда сигнал на выходе

фильтра у(t) можно определить с помощью преобразования Фурье:

Чтобы получить максимальную величину у(t), нужно найти оптимальную характеристику

фильтра k(jw). Для этой цели воспользуемся неравенством Шварца- Буняковского:

(3.6.)

данное неравенство превращается в равенство только при условии:

, где а – некоторая постоянная. (3.7.)

Подставляя неравенство (3.6.) в (3.7.), замечаем, что максимум величины h² обеспечивается при выполнении условия:

(3.8.)

из последнего выражения получим:

K(w)=aS(w), _K(w)+_S(w)+wt₀=0

Откуда находим:

_K(w)+_S(w)+wt₀=0

_K(w)=-_S(w)-wt₀.

Таким образом, передаточная функция оптимального фильтра должна определяться выражением:

(3.9.), где * обозначает комплексно-сопряженную величину. Тогда отношение сигнал/шум в момент времени t₀ будет равно:

, где E – энергия сигнала на входе фильтра. Величина h_m² определяется только энергией сигнала и не зависит от его формы.

Пояснения к полученным результатам.

АЧХ оптимального фильтра отличается постоянным множителем от амплитудного спектра сигнала, поэтому оптимальный фильтр пропускает различные частотные составляющие сигнала неравномерно с тем большим ослаблением, чем меньше интенсивность этих составляющих, в результате полная мощность шума на выходе фильтра получается меньшей, чем при равномерной АЧХ.

Заметим, что член выражения wt₀ для фазовой характеристики означает сдвиг во времени на величину t₀ всех частотных составляющих сигнала. Приведенные равенства означают, что в момент времени t₀ все спектральные составляющие сигнала фильтра имеют одну и ту же начальную фазу. Оптимальный фильтр обеспечивает компенсацию начальных фаз составляющих сигнала. Складываясь в фазе, спектральные составляющие сигнала образуют в момент времени t₀ пиковый выброс выходного сигнала. На составляющие шума, имеющие случайные начальные фазы, оптимальный фильтр таково влияния не оказывает.

Вследствие этих двух причин оптимальный фильтр обеспечивает максимум пикового напряжения сигнала к среднеквадратичному значению шума.

Так как частотные характеристики оптимального фильтра, обеспечивающего максимум отношения сигнал/шум, полностью определяются спектром (т.е. формой) сигнала, то говорят, что они согласованы с сигналом, а такой фильтр называют согласованным для данного сигнала. Следует отметить, что оптимальный фильтр для сигнала S(t) будет являться оптимальным и для всех сигналов той же формы, но отличающихся от него амплитудой, временным положением и начальной фазой заполнения (для радиоимпульсов).

Полученные выше результаты относятся к случаю приема сигналов с белым шумом. Рассматривая более общий случай, когда шум имеет неравномерную спектральную плотность G_n(w), можно показать, что передаточная функция оптимального фильтра должна определяться выражением

(3.10.)

Оптимальный фильтр в этом случае можно представить в виде последовательного соединения двух фильтров. Первый из них имеет амплитудно-частотную характеристику , его назначение – “обелить” шум, который поступает на вход фильтра. Второй фильтр с передаточной характеристикой K₂(jw) является оптимальным для искаженного сигнала (после первого фильтра), но уже при белом шуме.

Здесь интересно отметить следующее обстоятельство.Если квадрат амплитудно-частотного спектра сигнала совпадает по форме со спектральной плотностью шума, т.е. , то АЧХ оптимального фильтра должна быть равномерной (K(w)=K=const).

Определим импульсную переходную функцию согласованного фильтра. Импульсной переходной функцией называется отклик цепи на короткий импульс (дельта-функция). Она связана с передаточной характеристикой преобразование Фурье:

(3.11.)

Так как для согласованного фильтра , то для g(t) получим

(3.12)

Таким образом, импульсная переходная функция согласованного фильтра для сигнала S(t) отличается от временной функции, описывающей этот сигнал, только постоянным множителем, смещением во времени на величину t₀ и знаком аргумента t. Другими словами, импульсная переходная функция согласованного фильтра является зеркальным отражением временной функции сигнала, сдвинутым на величину t₀.

Величина t₀ выбирается из условия физической реализуемости фильтра, согласно которому отклик цепи не может опережать воздействие. Если на вход фильтра подается дельта-функция в момент времени t=0, то отклик (импульсная реакция) фильтра может появиться лишь при t>0. Только при выполнении этого условия может быть использована вся энергия сигнала для создания пикового выброса в момент времени t=t₀. Обычно выбирают t₀=T. Можно сделать вывод, что согласование сигналов возможно лишь для сигналов конечной длительности, т.е. импульсных сигналов.

2.5 Передача аналоговых сигналов методом ИКМ.

Как уже отмечалось ранее, для передачи непрерывных сообщений можно воспользоваться дискретным каналом, если непрерывное сообщение преобразовать в дискретный сигнал, т.е. в последовательность символов, сохранив содержащуюся в сообщении существенную часть информации, определяемую его эпсилон-энтропией. Примерами цифровых систем передачи непрерывных сообщений являются системы с импульсно-кодовой модуляцией.

ИКМ складывается из трех операций – дискретизация по времени в соответствии с теорией Котельникова, квантования отсчетов и кодирования квантованных отсчетов блочным равномерным двоичным кодом.

При этом каждый отсчет кодируется в одну комбинацию представлением отображающей его m_a - ной цифры в двоичной системе счисления.

Для полного использования кода число квантованных значений m_a=К обычно выбирают .

Прием при ИКМ состоит в декодировании квантовых отсчетов по принимаемым комбинациям и восстановлении непрерывности времени.

При приеме ИКМ сигнала даже при отсутствии помех в канале связи, восстановленное сообщение будет отличаться от исходного ввиду наличия шума квантования. Уменьшить уровень шума квантования до допустимой величины можно за счет увеличения числа уровней квантования и за счет применения оптимального неравномерного квантования.

Преобразование непрерывного сообщения в цифровую форму позволяет повысить помехоустойчивость их передачи. В этом преимущество этих систем. В ИКМ имеет место порог помехоустойчивости, т.е. верность приема резко ухудшится, если мощность сигнала упадет ниже пороговой, но пороговая мощность увеличивается с ростом числа ретрансляторов, но очень медленно, так же пороговая мощность увеличивается и с ростом числа уровней квантования. Высокая помехоустойчивость ИКМ систем достигается за счет расширения спектра ИКМ сигнала по сравнению со спектром исходного сообщения.

Дискретизация по времени осуществляется амплитудным импульсным модулятором. Обратная операция, полностью восстанавливающая функцию, должна представлять собой пропускание последовательности отсчетов через фильтр НЧ (по Котельникову). Практически это не реально, поэтому в реальных условиях мы говорим лишь о приблизительном восстановлении непрерывной функции после дискретизации по времени.

Дискретизация по значениям, или квантование непрерывного сообщения состоит в замене, по тем или иным правилам, его значений, принадлежащих непрерывному множеству, дискретными значениями. Чаще при квантовании шкала возможных значений сообщения разбивается на равные интервалы и непрерывное значение заменяется ближайшим дискретным. Но может быть шаг шкалы квантования неравномерным.

Во всех случаях каждому дискретному значению соответствует множество непрерывных, поэтому операция квантования является необратимой. Искажения характеризуются шумом квантования, понимая под ним разность исходного и квантованного сообщения. Чем меньше шаг шкалы квантования, тем меньше шум квантования.

Чаще квантование осуществляется после дискретизации по времени. Квантование осуществляет нелинейный безинерционный четырехполюсник с постоянными параметрами. Квантованное сообщение чаще всего пропускается через ФНЧ для сглаживания.

Определим число разрядов применяемого двоичного кода по заданному количеству уровней квантования N=128.

m_a=128 n=7

N= .

Шум квантования не связан с помехами в канале и целиком определяется выбором числа уровней квантования. Его можно уменьшить, увеличивая число уровней, при этом увеличивая число кодовых символов, сокращать длительность символа и расширять спектр сигнала в канале.

Отношение средней мощности сообщения и шума квантования

, где П – пик – фактор сообщения

; .

Из этого следует, что верность квантованного сообщения зависит от числа уровней квантования.