123541 (Основные требования. Квалификация размеров и теоретические основы аксонометрического проецирования), страница 2

Проекции осей X, Y, Z - прямые X', Y', Z' называются аксонометрическими осями. Пространственная координатная ломаная линия O a_x a A проецируется в плоскую ломаную линию O' a'_x a' A', называемую аксонометрической координатной ломаной. Точка A'- аксонометрическая проекция точки A; точка a' представляет собой аксонометрическую проекцию точки a. Аксонометрическую проекцию любой ортогональной проекции точки A называют вторичной проекцией точки A. Hа осях X, Y, Z отложен отрезок е, принимаемый за единицу измерения по этим осям. Отрезки e_x, e_y, e_z на аксонометрических осях представляют собой проекции отрезка e. Они являются единицами измерения по аксонометрическим осям. В общем случае e_x, e_y, e_z не равны e и не равны между собой. Отношения k = e_x /e, m = e_y /e, n = e_z /e называются коэффициентами (или показателями) искажения по аксонометрическим осям. Отношения между аксонометрическими проекциями отрезков, параллельных осям координат X, Y, Z и самими отрезками равны коэффициентам k, m, n. Коэффициенты искажения и угол v, образованный направлением проецирования с картинной плоскостью, связаны зависимостью

k² + m² + n² = 2 + ctg²(v)

Так как взаимное расположение картинной плоскости Р и координатных осей X, Y, Z, а также направление проецирования могут быть различными, то можно получать множество различных аксонометрических проекций. Если направление проецирования не перпендикулярно к картинной плоскости Р, то аксонометрическая проекция называется косоугольной; если же перпендикулярно, - то прямоугольной. Если все три показателя искажений между собой не равны, то проекция называется триметрической; если два показателя искажения равны (например, k = n), а третий отличен от них, то проекция называется диметрической; наконец, если все три показателя равны (k = m = n), то проекция называется изометрической. В практике большое распространение получили прямоугольные изометрическая и диметрическая проекции.

Характеристика прямоугольных аксонометрических проекций

Коэффициенты искажения Картинная плоскость, пересекая плоскости координат, образует треугольник, называемый треугольником следов. Точка O' пересечения перпендикуляра с плоскостью Р представляет собой прямоугольную аксонометрическую проекцию точки O, а отрезки O' Р'_x, O' Р'_y и O' Р'_z - прямоугольные аксонометрические проекции отрезков координатных осей OР'_x, OР'_y, OР'_z. Треугольники OO'Р'_x, OO'Р'_y, OO'Р'_z - прямоугольные, отрезки O'Р'_x, O'Р'_y, O'Р'_z являются их катетами, а отрезки OР'_x, OР'_y, OР'_z - гипотенузами. Отсюда

O'Р_x O'Р_y O'Р_z

------ = cos , ------ = cos , ----- = cos ,

OР'_x OР'_y OР'_z

где , , - углы наклона координатных осей X, Y, Z к плоскости

аксонометрических проекций. Так как

O'Р_x O'Р'_y O'Р'_z

----- = k, ----- = m, ----- = n, то k = cos , m = cos , n = cos .

OР'_x OР'_y OР'_z

В прямоугольной аксонометрии коэффициенты искажения связаны зависимостью:

k² + m² + n² = 2

Изометрическая проекция Так как k = m = n, то 3k² = 2, k = 0,82, следовательно, коэффициенты искажения по осям X', Y', Z' = 0,82. Изометрическую проекцию для упрощения, как правило, выполняют без искажения по осям X', Y', Z', т.е. приняв коэффициент искажения равным 1, что соответствует увеличению линейных размеров изображения по сравнению с действительными в 1/0,82 = 1,22 раза.

Диметрическая проекция Если взять n = k и m = 1/2 k, то получим 2k² + k² /4 = 2, k² = 8/9, k = 0,94, следовательно, по осям X' и Z' коэффициенты искажения k = n = 0,94, а по оси Y' коэффициент искажения m = 0,47. Диметрическую проекцию, как правило, выполняют без искажения по осям X' и Z' и с коэффициентом искажения 0,5 по оси X'. В этом случае линейные размеры увеличиваются в 1/0,94 = 1,06 раза.

Углы между аксонометрическими осями в прямоугольных аксонометрических проекциях аксонометрические оси являются высотами треугольника следов, а точка Oр - точкой их пересечения (ортоцентром).

Нанесение линий штриховки Согласно ГОСТ 2.317 - 68 ЕСКД линии штриховки сечений в аксонометрических проекциях наносят параллельно одной из проекций диагоналей квадратов, лежащих в соответствующих координатных плоскостях, стороны которых параллельны координатным осям.

Аксонометрические проекции плоских фигур

Построение изображений плоских многоугольников сводится к построению аксонометрических проекций их вершин, которые соединяют между собой прямыми линиями. В виде примера рассмотрим построение пятиугольника. Линии X, Y примем за координатные оси. Проводим изометрические оси X_р и Y_р. Для построения изображения точки 1 достаточно на оси Yр отложить отрезок O_р-1, равный по величине координате Y₁. Затем откладываем в ту же сторону от точки O_р отрезок O_р-t, равный координате Y₂, и через точку t проводим прямую ab, параллельную оси X_р. Координаты X₂ вершин 2 и 5 пятиугольника одинаковы по величине, но различны по знакам; поэтому на изометрическом изображении откладываем в обе стороны от точки t отрезки t-2 = t-5 = X₂. Сторона 3-4 пятиугольника параллельна оси X. Отложив от точки q по оси Y_р отрезок q-O_р, равный координате Y₃, проводим прямую cd, параллельную оси X_р, и откладываем на ней отрезки q-3 = q-4 = X₃. Соединив точки 1, 2, 3, 4, 5 прямыми линиями, получаем аксонометрическую проекцию пятиугольника. Построение аксонометрических проекций плоской кривой сводится к построению проекций ряда ее точек и соединению их в определенной последовательности. Hа эллипсе намечаем ряд точек и определяем их прямоугольные координаты X и Y. Проведя аксонометрические оси, откладываем от точки O_р вдоль оси X_р отрезки, равные по величине координатам X намеченных точек, а вдоль оси Y_р - отрезки, равные по величине половине координат Y (показано построение точек a, b, c, d). Через концы отрезков проводим прямые, параллельные осям X_р, Y_р; на их пересечении получаем аксонометрические проекции соответствующих точек, которые соединяем плавной линией.

Процесс создания аксонометрической проекции окружности

Как известно, прямоугольной проекцией окружности, расположенной в плоскости, составляющей угол V с плоскостью проекций Р, является эллипс. Большая ось A_рB_р эллипса - проекция диаметра AB, параллельного плоскости Р. Отрезок A_рB_р перпендикулярен к проекции C_рN_р, и малая ось D_рE_р эллипса (проекция диаметра DE) cовпадает с прямой C_рN_р. При построении аксонометрических проекций часто приходится строить изображения окружностей, расположенных в координатных плоскостях XY, XZ, YZ или в плоскостях, им параллельных. В этом случае нормалями к плоскости окружностей являются соответственно оси Z, Y, X. Следовательно, направления больших осей эллипсов, изображающих проекции окружностей, всегда перпендикулярны соответственно осям Z_р, Y_р, X_р, а малые оси совпадают по направлению с этими осям. Большие оси соответствуют тем диаметрам изображаемых окружностей, которые параллельны картинной плоскости. Если аксонометрическое изображение выполняется с сокращением по направлениям осей X_р, Y_р, Z_р, то большие оси эллипсов 1, 2, 3 равны диаметру d изображаемых окружностей. В изометрической проекции малые оси эллипсов равны 0,58d. В диметрической проекции малые оси эллипсов 1, 3 равны d/3, а малая ось эллипса 2 равна 0,88d.

Особенности создания проекций трехмерных тел

Построение проекций многогранников сводится к построению их вершин и ребер. Для призмы удобнее начинать с построения вершин полностью видимого основания. В пример возьмем шестиугольную призму, высота которой совпадает с осью Z, а верхнее основание расположено в плоскости осей X и Y. Изометрическая проекция этого основания строится точно так же, как проекция пятиугольника. Так как длина всех боковых ребер призмы равна высоте призмы h, то для построения нижнего основания из вершин верхнего основания проведены прямые, параллельные оси Z_р, и на них отложены отрезки, равные h. Концы отрезков соединены прямыми линиями. Построение аксонометрической проекции пирамиды, cледует начать с построения основания, а затем из точки O_р отложить на оси Z_р высоту пирамиды и полученную вершину пирамиды S_р соединить с вершинами основания.

Особенности создания проекций линий пересечения кривых поверхностей

Проекцию линии пересечения поверхностей можно строить или по координатам ряда ее точек, взятых с чертежа проектируемого предмета, или непосредственно на аксонометрическом изображении, используя для построения вспомогательные поверхности. Следует по возможности подбирать такие вспомогательные поверхности, которые с заданными поверхностями дают на чертеже простые для построения линии пересечения. Так при построении линии пересечения цилиндров вспомогательные плоскости следует проводить параллельно прямолинейным образующим цилиндрических поверхностей.

Последовательность вычерчивания аксонометрической проекции

Построение аксонометрической проекции предмета нужно производить в последовательности, позволяющей избежать нанесение на чертеже лишних линий. Пример 1. Построение аксонометрической проекции детали. Этап 1. Hанесение осей. Этап 2. Вычерчивание очертаний верхней плоскости фланца. Этап 3. Вычерчивание очертаний видимой части нижней плоскости фланца. Этап 4. Вычерчивание видимой части эллипса проекции окружности основания цилинра и образующих цилиндра. Этап 5. Удаление лишних линий и обводка изображений.

Пример 2. Построение диметрической проекции детали с вырезом 1/4 части детали. Этап 1. Hанесение осей. Этап 2. Вычерчивание фигур сечений, расположенных в плоскостях, ограничивающих вырез. Этап 3. Вычерчивание очертаний верхней плоскости фланца. Этап 4. Вычерчивание очертаний видимой части нижней плоскости фланца, окружности основания цилиндра и образующих цилиндра. Этап 5. Обводка и нанесение линий штриховки.