123477 (Определение перемещения методом Мора. Правило Верещагина), страница 2

Наибольшая ордината посредине будет равна .

Для доказательства напишем фактическое выражение изгибающего момента в сечении на расстоянии z от точки В

(А)

Напишем теперь выражение изгибающего момента в том же сечении, полученное как алгебраическая сумма ординат прямой LN и параболы LNML.

Уравнение прямой LN

где k — тангенс угла наклона этой прямой

Следовательно, уравнение изгибающих моментов, полученное как алгебраическая сумма уравнения прямой LN и параболы LNMN имеет вид

что совпадает с выражением (А).

При перемножении эпюр по правилу Верещагина следует перемножить трапецию BLNC на трапецию из единичной эпюры на участке ВС (см. рис. 7.15, г) и вычесть результат перемножения параболической эпюры LNML (площадью ) на ту же трапецию из единичной эпюры. Такой способ расслоения эпюр особенно выгоден, когда криволинейный участок эпюры находится на одном из средних участков балки.

Пример 7.7. Определить вертикальное и угловое перемещения консольной балки в месте приложения нагрузки (рис. 7.16).

Решение. Строим эпюру изгибающих моментов для грузового состояния (рис. 7.16, а).

Для определения вертикального перемещения выбираем вспомогательное состояние балки с единичной силой в точке приложения нагрузки.

Строим эпюру изгибающих моментов от этой силы (рис. 7.16, б). Определяем вертикальное перемещение по способу Мора

Значение изгибающего момента от нагрузки

Значение изгибающего момента от единичной силы

Подставляем эти значения МР и Mi под знак интеграла и интегрируем

Этот же результат был ранее получен другим способом.

Положительное значение прогиба показывает, что точка приложения нагрузки Р перемещается вниз (в направлении единичной силы). Если бы мы единичную силу направили снизу вверх, то имели бы Mi = 1z и в результате интегрирования получили бы прогиб со знаком минус. Знак минус показывал бы, что перемещение происходит не вверх, а вниз, как это и есть в действительности.

Вычислим теперь интеграл Мора путем перемножения эпюр по правилу Верещагина.

Так как обе эпюры прямолинейны, то безразлично, из какой эпюры брать площадь и из какой — ординату.

Площадь грузовой эпюры равна

Центр тяжести этой эпюры расположен на расстоянии 1/3l от заделки. Определяем ординату эпюры моментов от единичной силы, расположенную под

центром тяжести грузовой эпюры. Легко убедиться, что она равна 1/3l.

Следовательно.

Тот же результат получается и по таблице интегралов. Результат перемножения эпюр положителен, так как обе эпюры располагаются снизу стержня. Следовательно, точка приложения нагрузки смещается вниз, т. е. по принятому направлению единичной силы.

Для определения углового перемещения (угла поворота) выбираем вспомогательное состояние балки, в котором на конце балки действует сосредоточенный момент, равный единице.

Строим эпюру изгибающих моментов для этого случая (рис. 7.16, в). Определяем угловое перемещение, перемножая эпюры. Площадь грузовой эпюры

Ординаты эпюры от единичного момента везде равны единице., Следовательно, искомый угол поворота сечения равен

Так как обе эпюры расположены снизу, то результат перемножения эпюр положителен. Таким образом, концевое сечение балки поворачивается по часовой стрелке (по направлению единичного момента).

Пример: Определить по способу Мора — Верещагина прогиб в точке D для балки, изображенной на рис. 7.17..

Решение. Строим расслоенную эпюру моментов от нагрузки, т. е. строим отдельные эпюры от действия каждой нагрузки. При этом для удобства перемножения эпюр целесообразно строить расслоенные (элементарные) эпюры относительно сечения, прогиб которого определяется в данном случае относительно сечения D.

На рис. 7.17, а представлена эпюра изгибающих моментов от реакции А (участок AD) и от нагрузки Р = 4 Т (участок DC). Эпюры строятся на сжатом волокне.

На рис. 7.17, б представлены эпюры моментов от реакции В (участок BD), от левой равномерно распределенной нагрузки (участок AD) и от равномерно распределенной нагрузки, действующей на участке ВС. Эта эпюра изображена на рис. 7.17, б на участке DC снизу.

Далее выбираем вспомогательное состояние балки, для чего в точке D, где определяется прогиб, прикладываем единичную силу (рис. 7.17, в). Эпюра моментов от единичной силы изображена на рис. 7.17, г. Теперь перемножим эпюры с 1 по 7 на эпюры 8 и 9, пользуясь таблицами перемножения эпюр, с учетом знаков.

При этом эпюры, расположенные с одной стороны балки, перемножаются со знаком плюс, а эпюры, расположенные по разные стороны балки, перемножаются со знаком минус.

При перемножении эпюры 1 и эпюры 8 получим

Перемножая эпюру 5 на эпюру 8, получим

Перемножение эпюр 2 и 9 дает

Перемножаем эпюры 4 и 9

Перемножаем эпюры 6 и 9

Суммируя результаты перемножения эпюр, получим

Знак минус показывает, что точка D перемещается не вниз, как направлена единичная сила, а вверх.

Этот же результат был получен ранее по универсальному уравнению .

Конечно, в данном примере можно было расслоить эпюру только на участке AD, так как на участке DB суммарная эпюра прямолинейная и ее незачем расслаивать. На участке ВС расслоения не требуется, так как от единичной силы на этом участке эпюра равна нулю. Расслоение эпюры на участке ВС необходимо для определения прогиба в точке С.

Пример. Определить вертикальное, горизонтальное и угловое перемещения сечения А ломаного стержня, представленного на рис. 7.18, а. Жесткость сечения вертикального участка стержня — EJ1 жесткость сечения горизонтального участка — EJ2.

Решение. Строим эпюру изгибающих моментов от нагрузки. Она представлена на рис. 7.18, б (см. пример 6.9). Для определения вертикального перемещения сечения А выбираем вспомогательное состояние системы, представленное на рис. 7.18, в. В точке А приложена единичная вертикальная сила, направленная вниз.

Эпюра изгибающих моментов для этого состояния представлена на рис. 7.18, в.

Определяем вертикальное перемещение по методу Мора, используя способ перемножения эпюр. Так как на вертикальном стержне во вспомогательном состоянии эпюра М1 отсутствует, то перемножаем только эпюры, относящиеся к горизонтальному стержню. Площадь эпюры берем из грузового состояния, а ординату — из вспомогательного. Вертикальное перемещение равно

Так как обе эпюры расположены снизу, то результат перемножения берем со знаком плюс. Следовательно, точка А перемещается вниз, т. е. так, как направлена единичная вертикальная сила.

Для определения горизонтального перемещения точки А выбираем вспомогательное состояние с горизонтальной единичной силой, направленной влево (рис. 7.18, г). Эпюра моментов для этого случая представлена там же.

Перемножаем эпюры МP и М2 и получаем

Результат перемножения эпюр положителен, так как перемножаемые эпюры располагаются на одной и той же стороне стержней.

Для определения углового перемещения выбираем вспомогательное состояние системы по рис. 7.18,5 и строим эпюру изгибающих моментов для этого состояния (на том же рисунке). Перемножаем эпюры МР и М3:

Результат перемножения положителен, так как перемножаемые эпюры располагаются с одной стороны.

Следовательно, сечение A поворачивается по часовой стрелке

Те же результаты получились бы и при использовании таблиц
перемножения эпюр.

Вид деформированного стержня показан на рис. 7.18, е, при этом перемещения сильно увеличены.

ЛИТЕРАТУРА

Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. 1986

Беляев Н.М. Сопротивление материалов. 1976

Красковский Е.Я., Дружинин Ю.А., Филатова Е.М. Расчет и конструирование механизмов приборов и вычислительных систем. 1991

Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. 1988

Степин П.А. Сопротивление материалов. 1990