>> fdatool

• 21 -

После ввода имени с клавиатуры следует нажать клавишу .

На экране монитора появится окно программы fdatool. Кроме основного меню и панели инструментов здесь содержится текущая информация о структуре фильтра, его порядке, устойчивости (Current Filter Information); график допусков для АЧХ (в дБ) (Filter Specifications), а также вкладка Design Filter для задания типа фильтра, его класса, метода синтеза, порядка фильтра, частоты дискретизации, граничных частот полос пропускания и задерживания и допустимых затуханий в этих полосах. Кроме того, имеется вкладка для исследования эффектов квантования (Set Quantization Parameters).

8.1. Задание требований к АЧХ и расчёт фильтра

На вкладке Design Filter в нижней части окна установите переключатель Filter Type в одно из следующих положений: Lowpass (ФНЧ), Highpass (ФВЧ), Bandpass (ППФ) или Bandstop (ПЗФ). Затем используйте переключатель Design Method. Если выбрать рекурсивный фильтр, иначе БИХ-фильтр (IIR – Infinite Impulse Response), то далее в раскрывающемся списке нужно указать класс фильтра (Batterworth (Баттерворта), Chebyshev Type I (Чебышёва), Chebyshev Type II (инверсный Чебышёва), Elliptic (эллиптический)). При синтезе этих фильтров используется метод билинейного z-преобразования. В случае синтеза нерекурсивного фильтра (КИХ-фильтра, FIR – Finite Impulse Response) возможны методы: Equiripple (метод Ремеза, обеспечивающий равномерные пульсации АЧХ), Least-Squares (обеспечение минимума среднего квадратического отклонения АЧХ от заданной), Window (использование окон в качестве весовых функций при синтезе фильтра) и др.

В разделе Filter Order укажите требуемый порядок фильтра или установите переключатель в положение Minimum order (наименьший возможный порядок).

Далее перейдите к разделам Filter Specifications и Magnitude Specifications. Последовательно подводите курсор мыши к полям ввода параметров и вводите желаемые значения с клавиатуры. Смысл параметров можно понять из расположенного в верхней части окна графика допусков (Filter Specifications). Следует ввести частоту дискретизации Fs, граничные частоты полосы пропускания и полосы задерживания (Fpass и Fstop), допустимые затухания в полосе пропускания и в полосе задерживания (Apass и Astop).

После задания всех параметров щёлкните по кнопке Design Filter, расположенной в самом низу. Будет произведён расчёт, после чего можно просмотреть характеристики синтезированного фильтра.

- 22 -

8.2 Просмотр характеристик фильтра

Вывести на экран частотные и временные характеристики фильтра, диаграмму полюсов и нулей, коэффициенты фильтра можно точно так же, как это делается в программе fvtool (см. раздел 7). Для перехода к просмотру характеристик удобно вывести на экран специальное окно просмотра путём нажатия кнопки Full View Analysis панели инструментов.

8.3 Экспорт и импорт описания фильтра

Выберите команду Export меню File (+E). В появившемся окне экспорта укажите область, куда будут переданы коэффициенты фильтра (Workspace – рабочая область MatLab, Text-file – текстовый файл, MAT-file – МАТ-файл, который затем можно загрузить в MatLab командой load). Задайте имена переменных для записи векторов коэффициентов числителя (Numerator) и знаменателя (Denominator) передаточной функции (по умолчанию Num и Den). Если фильтр имеет каскадную структуру (second-order-sections), то экспортируется матрица SOS и коэффициент усиления G. Изменить структуру фильтра можно щёлкнув по кнопке Convert Structure и далее произведя выбор из списка (в версии MatLab 6.1). В версии MatLab 6.5 изменение структуры осуществляется путём выбора соответствующей команды в меню Edit. Если в рабочей области MatLab уже есть переменные с указанными именами, то установите флажок Overwrite existing variables, чтобы их значения были заменены новыми. Щёлкните по кнопке Apply. При экспорте в файл будет запрошено имя файла.

Если программу fdatool нужно использовать не для расчёта, а только для анализа характеристик фильтра, в том числе для анализа их изменения при квантовании коэффициентов и переменных фильтра, то применяется процедура импорта описания фильтра. Выберите команду Import Filter (+ I) меню Filter (в версии MatLab 6.1) или меню File (в версии MatLab 6.5). Вкладка Design Filter окна программы fdatool будет заменена на вкладку Import Filter. Укажите тип структуры (Filter Structure), выбрав нужную строку в раскрывающемся списке. В полях ввода укажите коэффициенты числителя и знаменателя передаточной функции фильтра. Список заключается в квадратные скобки, значения коэффициентов разделяются пробелами. Например, если передаточная функция имеет вид

0.2 – 0.42z ^–1 +0.05z ^–2

K (z) =

1+ 0.18z ^–1 – 0.24z ^–2 + 0.081z ^–3 ,

то в поле Numerator следует ввести [0.2 –0.42 0.05], а в поле Denominator

[1 0.18 –0.24 0.081].

- 23 -

В поле Sampling Frequency введите частоту дискретизации Fs, указав единицу измерения в поле Units.

Если векторы коэффициентов фильтра b и a, а также частота дискретизации Fs уже существуют в рабочей области MatLab, то вместо ввода численных значений в соответствующих полях ввода нужно просто указать имена переменных.

Щёлкните по кнопке Import Filter. Далее можно просматривать характеристики фильтра.

Для возврата в режим расчёта фильтров используется команда Design Filter меню Filter (в версии MatLab 6.1) или кнопка с тем же названием, расположенная в вертикальном ряду кнопок у левой границы окна (в версии

MatLab 6.5).

9. Исследование влияния квантования сигналов и коэффициентов фильтра на характеристики фильтра

9.1. Влияние квантования коэффициентов на АЧХ и другие характеристики, а также на устойчивость фильтра

Округление коэффициентов b и a передаточной функции цифрового фильтра, т.е. представление их числами с ограниченным количеством двоичных разрядов, приводит к искажению частотных и временных характеристик фильтров. Искажения могут быть как незначительными, так и более существенными. При проектировании цифровых фильтров желательно установить, какова минимально допустимая разрядность представления коэффициентов фильтра, при которой характеристики не выходят за пределы заданных полей допусков, а дисперсия шума квантования при обработке какого-либо цифрового сигнала данным фильтром не превышает допустимой величины. Если коэффициенты и переменные фильтра представлены числами с меньшим количеством двоичных разрядов, то достигается экономия памяти и повышается быстродействие фильтра, поэтому нахождение наименьшей разрядности – весьма важная задача.

Для исследования эффектов квантования можно использовать программу fdatool, речь о которой уже шла в разделе 8.

Вызовите программу fdatool:

>>fdatool

Произведите расчёт фильтра или импортируйте его описание (см. разд. 8). Установите флажок Turn quantization on в поле Quantization, расположенном в левой верхней части окна (в версии MatLab 6.1) или нажмите соответствующую кнопку на панели инструментов (в версии MatLab 6.5). Перейдите на вкладку Set quantization parameters (в нижней части окна). Задайте нужную структуру, щёлкнув по кнопке Convert structure,

- 24 -

расположенной в поле Current Filter Information, и далее произведя выбор из раскрывающегося списка (в версии Matlab 6.1), или задайте команды Convert Structure, Convert to Second-Order Sections или Convert to Single Section меню Edit (в версии MatLab 6.5). Возможно исследование структур: Direct form I (прямая), Direct form II (каноническая), Direct form I transposed (транспонированная каноническая), Direct form II transposed (транспонированная прямая), Second-order sections (каскадная). В правой части раздела Set Quantization Parameters приведён набор параметров квантователей, которые используются программой. Изменять нужно только значение в поле Format строки Coefficient (Convert coefficient to) (первая строка, последний столбец). Здесь задаётся формат двоичного представления коэффициентов фильтра. Например, формат [16 15] означает, что всего разрядов 16, а 15 из них отводится под представление дробной части (нужно учесть, что старший разряд – знаковый). Такой формат применим, если коэффициенты представлены в нормализованной форме (их модули не превышают единицы). Просмотрите список коэффициентов, нажав кнопку

[b a] панели инструментов, расположенной в верхней части окна, и оцените, сколько двоичных разрядов нужно отводить на представление целой части (с учётом знакового), чтобы правильно представить целую часть коэффициента с наибольшим модулем. Последовательно изменяйте формат, уменьшая количество разрядов (разность между первым и вторым числами формата должна при этом сохраняться неизменной). Для изменения формата подведите курсор мыши к полю ввода (курсор преобразуется в вертикальную черту) и нажмите левую кнопку мыши. Затем, используя клавишу  и цифровые клавиши, введите новые значения чисел формата. После ввода щёлкните левой кнопкой мыши вне таблицы параметров квантователей, чтобы активизировать кнопку Apply. Щёлкните по кнопке Apply. Просмотрите характеристики фильтра, нажимая соответствующие кнопки панели инструментов. Выводятся сразу две характеристики: исходная (Reference) и полученная в результате квантования (Quantized). Просмотрев критические участки АЧХ в укрупнённом масштабе (используйте кнопки изменения масштаба Zoom In и Zoom Out), определите, не выходит ли АЧХ за пределы заданного поля допусков. Если АЧХ ещё удовлетворяет требованиям, продолжите изменение формата представления коэффициентов. В результате анализа найдите, при каком наименьшем количестве двоичных разрядов АЧХ ещё удовлетворяет предъявляемым к ней требованиям. Посмотрите, как изменяется диаграмма полюсов и нулей, какими стали коэффициенты фильтра. Интересно пронаблюдать и изменения других характеристик (ФЧХ, импульсной, переходной, группового времени запаздывания).

Проведите исследование для различных структур, в том числе и для каскадной. Укажите, для какой структуры разрядность коэффициентов наименьшая.

- 25 -

Если при уменьшении формата каждый раз на единицу характеристики меняются незначительно, используйте более эффективные процедуры, например, метод дихотомии. Так после формата [16 15] задайте формат [8 7]. Если АЧХ укладывается в поле допусков, перейдите к формату [4 3], а если не укладывается, к формату [12 11] , и т.д., пока не будет найден формат с минимально допустимым количеством двоичных разрядов.

При малой разрядности коэффициентов возможна потеря устойчивости фильтра, вследствие того что модули некоторых полюсов из-за округления могут превысить единицу (в особенности тех из них, которые, обладая высокой добротностью, располагаются близко к единичной окружности). Информация об устойчивости или неустойчивости фильтра заносится в раздел Current Filter Information основного окна fdatool (Stable: Yes или Stable: No). Проводя исследование эффектов квантования, следует отмечать, сохраняет ли фильтр устойчивость при последовательном уменьшении разрядности его коэффициентов.

9.2. Расчёт наименьшей разрядности входного сигнала и выходных регистров умножителей цифрового фильтра.

В качестве исходных данных для расчёта наименьшего количества двоичных разрядов, отводимых для представления отсчётов входного сигнала цифрового фильтра, используются динамический диапазон сигнала

D = 20 lg (A_max / A_min) [дБ],

где А_max и A_min – максимальная и минимальная амплитуды входного сигнала, и отношение сигнал/шум квантования на выходе фильтра

R = 10 lg (P_с / P_ш) [дБ],

где P_с – минимальная мощность сигнала (в случае синусоидального сигнала P_с=A²_min/2), P_ш=²_вых – допустимая мощность (дисперсия) шума квантования на выходе фильтра.

Примем, что разрядность входного сигнала и разрядность умножителей цифрового фильтра одинаковы. Кроме того, будем полагать, что входной сигнал масштабирован, и его максимальная амплитуда А_max = 1. Масштабированы пусть будут и коэффициенты фильтра, так что максимальное значение коэффициента передачи в полосе пропускания равно единице. В этом случае можно считать, что

P_ш = A²_max/2 10 ^{– (R+D)/10} . (6)

- 26 -

В соответствии с линейной шумовой моделью фильтра на входе фильтра и на выходе каждого умножителя «точно» представленные отсчёты сигналов суммируются с шумом квантования:

Схема фильтра, таким образом, включает в себя несколько источников шума квантования. Их количество равно числу умножителей плюс единица (учитывается шум квантования входного сигнала). Все источники шума считаются независимыми. В случае округления результатов умножений дисперсия шума квантования равна

²=2 ^{– 2p}/12, (7)

где p – количество разрядов сигнала на выходе умножителя (без учёта знакового). На выходе фильтра каждый источник шума квантования создаёт шум с дисперсией ²_{вых i} =² (g_i[n])², где g_i[n] – импульсная характеристика

ⁿ