Учебное пособие, страница 3

Для рассматриваемого нами примера цепи второго порядка заданы V_С(0) = V_C0 и i_L(0) = I_L0 (см. рис. 4.12). Второе из них совпадает с одним из искомых зависимых начальных условий i_L(0). Определим теперь первую производную в начальный момент времени. Для этого, во-первых, вспомним, что согласно уравнению индуктивности , откуда следует, что . Значит необходимо найти начальное значение напряжения на индуктивности (см. рис. 4.12).

Рис. 4.12

Из схемы следует, что V_L (0) = V_С (0) + i_R2(0) R₂. Недостающее значение i_R2(0) находится из закона Кирхгофа для токов соответствующего узла: i_R2(0) = i(0) – i_L(0). Окончательно имеем:

. (4.28)

Отвлекаясь от решения нашей задачи, определим зависимые начальные условия для переменной, не являющейся переменной состояния цепи, например, для i_R1(0). Поскольку порядок ДУ не зависит от искомой реакции, то в данном случае также требуется найти два начальных условия: i_R1(0) и . Из рассмотрения схемы рис. 4.12 видно, что . Далее очевидно, что . Поскольку e(t) = E₀ u(t), то при t > 0, а значит и при t = 0₊. Использовав уравнение для емкости , получим , а далее из закона Кирхгофа для тока имеем i_С(0) = i_R2(0)+ i_R1(0). Отсюда окончательно получим

. (4.29)

4.5. Общая реакция линейной цепи

Искомая реакция линейной цепи, называемая общей реакцией, находится суммированием ранее определенных свободной реакции i_Lс(t) (см. (4.11)) и вынужденной реакции i_Lв(t) (см. (4.27))

(4.30)

Недостающие для окончательного решения задачи неизвестные |A| и arg А находятся путем решения системы из двух уравнений, представляющих из себя значения искомой реакции i_L(t) и ее первой производной при t = 0₊, т.е. зависимые начальные условия, найденные ранее:

, (4.31)

где

(4.32)

(4.33)

где

(4.34)

Решение этой системы уравнений можно провести следующим образом. Сначала из (4.31) выразить

. (4.35)

Далее полученное выражение для |A| подставить в (4.33), в результате чего найти

(4.36)

Определив arg А по (4.36), затем найдем |A| из (4.35). Таким образом, полностью определена искомая реакция линейной цепи.

5. системные функции линейной цепи

Частотный метод анализа линейных цепей заключается в том, что сначала в частотную область переводятся все функции времени, которые описывают токи и напряжения, действующие в цепи, в том числе воздействия x_m(t), m = 1, …, M и искомую реакцию y(t) (см. рис. 1.1). Если указанные функции времени представляют собой односторонние функции, имеющие начало, для которых существует преобразование Лапласа, то мы приходим к одному из частотных методов, который называется операторным методом анализа цепей.

Следующей процедурой метода является составление эквивалентной схемы в частотной области. Не вдаваясь в подробности доказательств, отметим, что реактивные элементы (емкости и индуктивности) при этом заменяются операторными сопротивлениями и источниками, моделирующими начальное состояние реактивностей цепи (см. рис. 5.1).

Рис. 5.1

Затем определяется преобразование Лапласа искомой реакции цепи, которая записывается в виде суммы (суперпозиции) парциальных реакций на внешние воздействия и источники, моделирующие начальное состояние цепи:

, (5.1)

где H_m(p) – системные функции, связывающие преобразования Лапласа реакции и m-го внешнего источника; H_n(p) – системные функции, связывающие преобразования Лапласа реакции и n-го источника, моделирующего начальное состояние n-й реактивности цепи.

На заключительном этапе метода ищется реакция y(t) в виде функции времени с помощью обратного преобразования Лапласа от Y(p).

Вернемся к нашему примеру (рис. 2.1) и составим эквивалентную схему цепи в частотной области. Результат представлен на рис. 5.2.

Рис. 5.2

Найти искомую реакцию I_L(p) в этой схеме можно любым известным методом. Рассмотрим, например, метод узловых напряжений. За опорный узел принимаем тот, в котором сходится наибольшее количество ветвей схемы, он обозначен « | ». Оставшиеся два узла схемы обозначаем V₁(p) и V₂(p). Теперь записываем узловые уравнения в виде закона Кирхгофа для токов, вытекающих из узла, причем эти токи выражаем через узловые напряжения V₁(p) и V₂(p) и источники тока и напряжения, включенные в схему. Для первого узла имеем:

. (5.2)

Второе узловое уравнение имеет вид:

. (5.3)

Решая систему уравнений относительно V₂(p) , например, по правилу Крамера, получим

(5.4)

где

(5.5)

(5.6)

Теперь можно найти ток I_L(p):

(5.7)

Нетрудно видеть, что выражение для тока I_L(p) после алгебраических преобразований примет вид:

(5.8)

Системные функции H₁(p), H₂(p), H_С1(p) и H_L2(p) можно найти либо непосредственно из (5.7), либо прямо по схеме рис. 5.2. Для этого надо оставить только тот источник, для которого ищется системная функция, а остальные обнулить. Для H₁(p), например, схема имеет вид рис. 5.3.

Рис. 5.3

Используя соотношения для делителя тока, получим

(5.9)

Аналогично можно получить выражения для остальных системных функций.

Чтобы определить выражение для I_L(р), необходимо провести прямое преобразование Лапласа для функций времени, описывающих воздействующие на цепь источники тока I(p)  i(t) и источник напряжения E(p)  e(t). В результате получим выражение для I_L(р), учитывающее форму входных сигналов и начальные условия цепи. Если требуется найти временную функцию i_L(t), описывающую искомую реакцию, необходимо провести обратное преобразование Лапласа от I_L(р) любым известным методом, например, разложением сложного выражения на сумму простых дробей, каждая из которых является табличным преобразованием Лапласа. Эти вопросы подробно рассмотрены в ранее изданных учебных пособиях (см., например, [2], стр. 37 – 42).

6. Задание на выполнение РГР «Временной и частотный анализ линейных цепей»

В предлагаемой РГР необходимо провести анализ заданной линейной цепи второго порядка, находящейся под воздействием внешнего независимого источника напряжения или тока. Целью анализа является определение реакции цепи (напряжения или тока через выбранную ветвь цепи) при ступенчатой форме воздействия и заданных начальных условиях (напряжение на емкости и ток через индуктивность). Кроме того, задаются параметры сопротивлений цепи и внешние характеристики линейной цепи, например, величина добротности и резонансной частоты колебательного контура, либо полоса пропускания (верхняя и нижняя граничные частоты) фильтра второго порядка. Варианты конфигурации схем линейных цепей даны на рис. 6.1 – 6.16.

Перед началом анализа схему следует упростить, оставив в ней только два реактивных элемента – одну емкость и одну индуктивность, а также лишь один из источников. Исключаемые индуктивности и источники напряжения заменяются идеальными проводниками, а исключаемые емкости и источники тока просто удаляются (вместо них в цепи образуются разрывы).

При проведении расчетов задаться численными значениями параметров элементов схемы произвольно в следующих интервалах: R₁ = 5…10 кОм,
R₂ = 10…15 кОм, R₃ = 8…13 кОм, R₄ = 13…18 кОм, R₅ = 3…8 кОм. Резонансная частота контура f_р = 1…10 МГц, добротность Q = 5…15. Напряжение источника Е = 1…10 В, ток источника I = 0,5…2 мА. Начальные условия:
V_C0 = – 1 … 1 В, I_L0 = –1 … 1 мА.

6.1. Временной анализ линейной цепи

1. Составить дифференциальное уравнение «вход – выход» методом узловых напряжений или переменных состояния.

2. Найти и изобразить на комплексной плоскости собственные частоты линейной цепи, определить параметры реактивных элементов цепи, обеспечивающие заданные внешние характеристики цепи. В случае, если искомые параметры реактивностей в результате расчета оказываются комплексными числами, разрешается изменить сопротивления цепи так, чтобы получить действительные значения параметров реактивностей.

3. Записать в общем виде свободную реакцию линейной цепи.

4. Определить вынужденную реакцию линейной цепи.

5. Пересчитать независимые начальные условия для переменных состояния линейной цепи в зависимые начальные условия – значение искомой реакции и ее производной в нулевой момент времени.

6. Записать искомую реакцию линейной цепи как функцию времени, изобразить ее график с указанием численных значений и соблюдением пропорций и найти параметры переходного процесса: длительность, постоянную времени, период колебаний. Сравнить их с заданными внешними характеристиками цепи.

6.2. Частотный анализ линейной цепи

1. Для цепи, схема и параметры которой определены в первой части РГР, определить системные функции, связывающие преобразования Лапласа реакции и внешнего воздействия, а также реакции и источников, описывающих начальные условия. Изобразить диаграммы полюсов и нулей трех найденных системных функций.

2. С помощью обратного преобразования Лапласа найти реакцию цепи при нулевом состоянии цепи (РНС), реакцию при нулевом входе (РНВ) и общую реакцию цепи. Сравнить полученное выражение с решением первой части РГР.

3. По системной функции, связывающей внешний независимый источник и реакцию, определить частотную характеристику линейной цепи. Построить графики амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик, определить их параметры (резонансная частота, полоса пропускания, граничные частоты и т.д.) и сравнить их с теми, которые найдены в первой части РГР.

7. Лабораторная работа «Частотные характеристики
простейших RC- и RL- цепей»