Учебное пособие, страница 2

Рис. 4.1

Цепи с такими СЧ принято называть апериодическими, поскольку свободное решение в этом случае представляет собой сумму двух затухающих экспонент (см. рис. 4.2)

, (4.4)

где А и В – амплитуды экспонент, определяемые в процессе дальнейшего решения ДУ «вход – выход». В случае кратных СЧ свободное решение имеет вид (см. рис. 4.3)

(4.5)

и также является апериодическим.

Рис. 4.2 Рис. 4.3

б) ₀ < ₀, тогда СЧ образуют комплексно-сопряженную пару

. (4.6)

Диаграмма СЧ представлена на рис. 4.4.

Рис. 4.4

Соотношение между ₀ и ₀ количественно характеризуется добротностью пары полюсов , а цепи с такими СЧ принято называть колебательными. Собственная реакция в данном случае является суммой двух комплексно-сопряженных затухающих экспонент:

, (4.7)

где А и А* – комплексно-сопряженные амплитуды экспонент, причем

(4.8)

Здесь |A| – модуль комплексной амплитуды А, а arg А – фаза комплексной амплитуды А.

Используя формулу Эйлера для суммы комплексно-сопряженных экспонент, получим

, (4.9)

откуда видно, что свободная реакция носит колебательный и затухающий характер (см. рис. 4.5).

Рис. 4.5

Особый интерес при анализе радиоэлектронных цепей представляет высокодобротный резонансный контур, для которого характерна диаграмма СЧ в виде комплексно-сопряженной пары с добротностью q₀ > 5. В этом случае ₀  10₀. При таком соотношении между ₀ и ₀ можно упростить выражение для координат полюсов (4.6), пренебрегая под корнем по сравнению с . В результате получим

. (4.10)

Диаграмма СЧ изображена на рис. 4.6, а соответствующая ей свободная реакция

(4.11)

для q₀ = 5 представлена на рис. 4.7.

Рис. 4.6 Рис. 4.7

Из рисунка видно, что свободная реакция также носит затухающий колебательный характер, но интересно отметить, что период этих колебаний определяется модулем полюса ₀, а длительность затухающего процесса можно условно оценить в 3/₀ = Т, а значит количество периодов за время Т равно

. (4.12)

Т.е. для добротности q₀ = 5 мы увидим 5 периодов колебаний в свободной реакции цепи.

4.2. Определение параметров реактивных элементов цепи

После того, как определены собственные частоты цепи р₁ и р₂ и выявлена связь их положения на р-плоскости с параметрами элементов линейной цепи R₁, R₂, L, C в общем виде (см. п. 4.1), может возникнуть задача нахождения конкретных значений параметров элементов цепи, обеспечивающих заданное расположение СЧ на р-плоскости. По сути, здесь рассматривается задача параметрического синтеза цепи. Поскольку в примере параметров цепи четыре, а полюсов только два, решение этой задачи неоднозначно, но если задаться численными значениями сопротивлений R₁ и R₂, то по известным значениям р₁ и р₂ можно однозначно найти параметры реактивных элементов L и C.

Рассмотрим методику нахождения параметров реактивностей на примере цепи, изображенной на рис. 2.1 при условии, что цепь должна обладать свойствами высокодобротного резонансного контура, имеющего заданную резонансную частоту f₀ и добротность q₀  5. Сначала определим методику оценки сопротивлений цепи R₁ и R₂. Во-первых, нужно выяснить из физических соображений, каким образом R₁ и R₂ качественно влияют на добротность цепи. Для этого в схеме рис. 2.1 обнуляем внешние источники, что приводит к цепи, изображенной на рис. 4.8.

Рис. 4.8

Далее начинаем поочередно изменять сопротивления, устремляя их к предельным значениям (к 0 и к ) и анализируя получающуюся в результате конфигурацию цепи. Так, если R₁  0, то емкость С зашунтируется коротким замыканием, а контур исчезнет, поскольку останется только индуктивность L. Если же R₁  , то схема перейдет в последовательный резонансный контур LCR₂, где R₂ характеризует потери в этом контуре. Для минимизации этих потерь, т.е. максимизации добротности, необходимо R₂  0, тогда цепь превратится в идеальный контур с бесконечной добротностью. Итак, для повышения добротности в данной линейной цепи нужно уменьшать R₂ и увеличивать R₁. Теперь понятно, что если есть некоторые пределы возможного выбора R₁ и R₂, то предпочтительнее взять R₁ как можно больше, а R₂ – как можно меньше.

Теперь составляем два уравнения для заданных f₀ и q₀ через L и С при выбранных R₁ и R₂. Резонансная частота f₀ связана с модулем полюса ₀ соотношением . Вспоминая, что (см. (4.1)), получаем первое уравнение:

. (4.13)

Второе уравнение вытекает из определения добротности полюсов

. (4.14)

Здесь использовано то, что величина (см. (4.1)). Выражая из первого уравнения

(4.15)

и подставляя его во второе уравнение для q₀, после алгебраических преобразований получим квадратное уравнение относительно С:

, (4.16)

где через R₀ обозначено сопротивление R₁ || R₂ = R₁R₂ / (R₁ + R₂). Решая это уравнение относительно С, получим два возможных значения емкости

. (4.17)

Отсюда, в частности, видно, что действительные значения С могут удовлетворять заданным f₀ и q₀ только при условии положительного числа под корнем, т.е. при R₁  4 q₀²R₀. В этом случае из двух возможных значений С выбирают наиболее приемлемое с точки зрения номинала конденсатора, используемого в схеме. Подставляя выбранное значение С в выражение для L, получим необходимую величину индуктивности катушки, используемой в контуре.

Теперь найденные параметры реактивностей L и С, а также выбранные значения R₁ и R₂ можно подставлять в ДУ «вход – выход» (2.8) и продолжить его решение, имея уже в нем численные коэффициенты.

4.3. Вынужденное решение ДУ «вход – выход»

Наиболее распространенной формой воздействия в радиоэлектронных цепях является экспоненциальное воздействие. Примеры некоторых сигналов, описываемых с помощью экспоненциальных функций, приведены на рис. 4.9. Особенностью всех этих сигналов является то, что они имеют начало при t = 0. Математически это описывается с помощью единичной ступенчатой функции (функции Хэвисайда)

. (4.18)

То, что в число примеров вошли функции, описывающие затухающие колебания, и гармонические функции объясняется тем, что согласно формуле Эйлера cos x = 1/2 (e^jx + e^–jx). В данном пособии мы ограничимся рассмотрением экспоненциальных воздействий.

Рис. 4.9

Возвращаясь к нашему примеру (см. рис. 2.1), зададимся следующими воздействиями: e(t) = E₀ u(t), i(t) = I₀ e^–t u(t). Основной принцип при нахождении вынужденной реакции состоит в том, что она ищется в той же форме, что и воздействие. Тогда, воспользовавшись методом наложения, найдем сначала парциальную вынужденную реакцию на e(t) при i(t)  0:

. (4.19)

Тогда и при t > 0. Подставляя все эти данные в ДУ «вход – выход» (2.8), получим для t >0

, (4.20)

т.е. . Заметим, что полученный результат совпадает с реакцией рассматриваемой цепи при воздействии на нее постоянного напряжения Е₀, поскольку в этом случае емкость эквивалентна разрыву цепи, а индуктивность – короткому замыканию (см. рис. 4.10).

Рис. 4.10

Такое нахождение вынужденной реакции при ступенчатом воздействии непосредственно по схеме можно использовать на практике вместо формального решения ДУ. Определим теперь вторую парциальную реакцию на i(t) при е(t)  0

, (4.21)

при этом

(4.22)

, (4.23)

Учитывая, что и подставляя все эти выражения в ДУ «вход – выход» (2.8), получим для t > 0

. (4.24)

Отсюда имеем:

(4.25)

Физическая трактовка этой довольно сложной формулы заключается в следующем. Амплитуду вынужденной реакции можно найти по схеме цепи, если индуктивность заменить операторным сопротивлением pL при p = –, а емкость – операторным сопротивлением 1/рС также при p = – (см. рис. 4.11), считая источник тока i(t) постоянным и равным амплитуде экспоненты I₀. Воспользовавшись уравнением делителя тока и проведя эквивалентные преобразования сопротивлений, получим выражение

, (4.26)

которое после алгебраических преобразований дает точно такой же результат, что и формальный путь через подстановку в ДУ «вход – выход». Здесь через H₁(–) обозначено значение системной функции H₁(–р) линейной цепи (см. (5.9) для р = –). Объяснение этого факта нужно искать в теории системных функций, рассматриваемой в рамках частотного анализа линейных цепей.

Рис. 4.11

Окончательно имеем искомую вынужденную реакцию i_Lв(t) в виде суммы найденных ранее парциальных реакций

(4.27)

4.4. Пересчет независимых начальных условий в зависимые

Независимыми начальными условиями называют начальные значения переменных состояния, т.е. напряжения на емкостях и токи через индуктивности цепи в нулевой момент времени. Главным является то, что они не могут изменяться скачком при скачкообразных воздействиях на цепь, поэтому они и являются независимыми. Необходимость пересчета этих начальных условий объясняется тем, что для решения ДУ «вход – выход» необходимо знать начальные значения искомой выходной переменной и ее производных, которые в общем случае зависят от внешних воздействий и могут изменяться скачком. При этом начальные условия необходимо найти в момент времени сразу после скачка t = 0₊.