otc_15_1_2 (Вариант 15)

Расчетная работа

по ОТЦ

студента группы 04-216

Языкова Владимира

Вариант 15, этап 1

Исходные параметры: Q=11, f₀=23kHz, ρ=0,37kΩ;

K_{I C} (jω) = ĺ_C/Ė

Для построения графиков и численного расчета параметров цепи, таких как сопротивления обоих резисторов, а также емкости конденсатора и индуктивности катушки использовалась программа MATLAB 6.5.

1. Из формулы для добротности Q=R₂/ρ, Q= ρ/R₁.

На резонансной частоте ρ= =ω₀L

Определяем искомые переменные, вводя в окно Command Window программы MATLAB известные значения:

>>Q=11;

>>w0=2*pi*23*10^3;

>>ro=0,37*10^3;

>> R1=ro/Q

R1 =

33.6364

>> R2=ro*Q

R2 =

4070

>> L=ro/w0

L =

0.0026

1. Для данной схемы выражение комплексного сопротивления z(jω) будет иметь вид:

z(jω) = jωL+R₁+ = jωL+R₁+ = jωL+R₁+ = +j .

1. Найдем модуль и аргумент комплексного сопротивления z(jω):

|z| =

argz = arctg( )

Для построения графика средствами MATLAB создадим массив значений частот w с 0 до 10⁶ рад/с с шагом 10³ рад/с

>> w =[0:1000*10^3,1000];

Поскольку z представляет собой комплексное число с отношением двух полиномов и в действительной и мнимой частях z, запишем коэффициенты при соответствующих степенях в качестве массивов.

>> a1= [R1*R2^2*c^2 0 R1+R2]

a1 =

1.0e+003 *

0.0000 0 4.1036

>> b1= [R2^2*c^2 0 1]

b1 =

0.0000 0 1.0000

>> a2 = [R2^2*L*c^2 0 L-R2^2*c 0]

a2 =

0.0000 0 -0.3072 0

>> b2= [0 R2^2*c^2 0 1]

b2 =

0 0.0000 0 1.0000

Далее рассчитаем в действительной и мнимой частях отношения значений полиномов на всем отрезке измеряемой частоты(получаем значения полиномов с помощью функции polyval):

>> poly1 = polyval(a1,w)./polyval(b1,w);

>> poly2 = polyval(a2,w)./polyval(b2,w);

Составляем массив значений z(jω) на всей измеряемой частоте

>> z = poly1+j.*poly2;

На основании полученных данных строим модуль и аргумент z. Для отображения правильных данных, не включаем первые и последние точки массивов частоты и значения z:

>> subplot(211); plot(w(2:end-1),abs(z(2:end-1)))

>> subplot(212); plot(w(2:end-1),angle(z(2:end-1)));

Полученные графики видим на рисунке. Для удобства были изменены свойства графика в окне фигуры при помощи edit – axes properties

Из графика видно, что ω_н ~ 10⁴ рад/с

1. Для удобства построения векторных диаграмм, придадим произвольное значение вектору напряжения источника.

>>E=5;

Произведем расчет комплексного сопротивления z(jω) для ω₀:

>>z = (R1+R1*R2*w0^2*c^2+R2)/(1 + R2^2*w0^2*c^2)+ j*(w0*L+R2^2*w0^3*L*c^2-R2^2*w0*c)/(1+R2^2*w0^2*c^2);

Из схемы видно, что U_R1=

Для ω₀ его векторная диаграмма будет такова:

>>eR1w0= E*R1/z;

>>compass(eR1w0);

Напряжение на конденсаторе будет определяться следующим образом U_c=

Векторная диаграмма этого напряжения ниже.

>>ecw0=E*R2/(z*(1+j*R2*w0*c));

>>compass(ecw0);

Напряжение на катушке индуктивности в то же время находится так U_l =

>>eLw0= E*j*w0*L/z;

>>compass(eLw0);

Аналогично строим график для E_R1 на ω_н

E_c

E_L

Эти построения делаются при изменении параметра w0 на значение 10^4

>>w0=10^4

Далее повторяем все вычисления с начала п.4.

1. Поскольку K_{I C} (jω) = ĺ_C/Ė, необходимо найти ĺ_C.

Пользуясь выше найденным U_c=

ĺ_C.= =

K_{I C} (jω)= =

Получаем отношение 3-х полиномов. Раскрыв скобки, запишем коэффициенты полинома.

>> k1 = [R2^3*c^2 0 R2];

>>k2 = [j*R2^2*L*c^2 R1*R2*c^2 j*L-j*R2^2*c R1+R2];

>>k3 = [-R2*c^2 j*c 0];

>>k = polyval(k1,w)./(polyval(k2,w).*polyval(k3,w));

Получив тем самым массив значений K_{I C} (jω), приступим к построению графика.

>>plot(w(2:end-1),angle(k(2:end-1)));

>>plot(w(2:end-1),abs(k(2:end-1)));

ФЧХ

Резкий скачок фазы на графике – неверное построение компьютера на резонансной частоте, где ω₀ – асимптота ФЧХ

АЧХ

1. Анализ результатов.

Сопоставляя результатов, видно, что на резонансной частоте комплексное сопротивление контура резко падает(наблюдается минимум), в то время как на АЧХ происходит небольшой скачок, вызванный тем, что через комплексное сопротивление конденсатора начинает протекать больше тока. Резонанс в данном случае является моментом времени, когда дальнейшее увеличение частоты приведет к увеличению сопротивления индуктивного, что в свою очередь перераспределит большую часть напряжения источника на него, а уменьшение частоты приведет к увеличению емкостного сопротивления конденсатора, что приведет к увеличению количества тока, проходимого через резистор R₂.

Из векторных диаграмм особо интересны поведения напряжений на емкости и индуктивности.

Как видно из диаграмм для состояния резонанся, напряжения приходят практически в противофазе, что подтверждается резким падением комплексного сопротивления.

На диаграмме для ω_н, видно что выше указанные напряжения приходят в разности фаз примерно равной 90⁰. Фаза в отличие от первого случая меняется потому что возрастает индуктивное сопротивление и падает емкостное.

Объясним теперь поведение АЧХ и ФЧХ.

С самого начала мы видим главный максимум функции. Это вызвано вследствие того что напряжение на конденсаторе большое вследствие низкого индуктивного сопротивления на низких частотах. Далее по возрастании индуктивного сопротивления мы видим спад АЧХ.

ФЧХ изначально равна -90⁰ поскольку мнимая единица сопротивления емкости находится в знаменателе. Как и было сказано, резонансная частота является асимптотой для графика ФЧХ. После резонанся фаза комплексного сопротивления меняется, чем и обусловлена вторая часть графика.