Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Кафедра МПМ

РЕФЕРАТ

Начала систематического курса стереометрии в средней школе

Исполнитель:

Студентка группы М-32 ____________ Кольцевая А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент ____________ Лебедева М.Т.

Гомель 2007

Содержание

Введение

1. Методика изучения параллельности прямых и плоскостей. Методическая схема изучения теорем и их доказательства (на примере признака параллельности прямой и плоскости)

1.1 Методика изучения аксиом стереометрии

1.2 Методика изучения параллельности прямых и плоскостей

2. Методика изучения перпендикулярности прямых и плоскостей. Методическая схема изучения признака перпендикулярности прямой и плоскости

Заключение

Литература

Введение

При изучении аксиом важно, чтобы учащиеся поняли абстрактный характер геометрических понятий, увидели процесс абстрагирования в действия и научились замечать его в окружающей действительности.

Изучая геометрические понятия “линия”, “точка”, “прямая”, “плоскость” и др., учитель акцентирует внимание учащихся на том, что каждое из них – результат абстрагирования (отвлечения) от реальных объектов.

Например, линия границы на карте – полоса определённой ширины (существенное свойство границы) для пограничников.

Как видно, в зависимости от цели рассмотрения в одном случае существенными свойствами границы являются одни свойства, а в другом – другие. В качестве примеров, позволяющих представить себе плоскость, выбираем ровную поверхность стола, гладкую поверхность озера, участок поля, простирающийся до горизонта.

В данном случае, как и для прямой, плоскость представления неограниченно продолженной во все стороны, т.е. абстрагируемся от свойства ограниченности каждого из перечисленных объектов.

1. Методика изучения параллельности прямых и плоскостей. Методическая схема изучения теорем и их доказательства (на примере признака параллельности прямой и плоскости)

1.1 Методика изучения аксиом стереометрии

Построение системы аксиом стереометрии происходит по двум направлениям: 1) переформулирование аксиом планиметрии для пространства; 2) добавление новых “специфических” аксиом стереометрии.

Первое из них осуществляется через принятие аксиомы: “В каждой плоскости пространства справедливы (выполнимы) все аксиомы планиметрии”. Второе состоит в формулировании нескольких аксиом принадлежности для пространства. В учебнике Погорелова использовано второе направление. Т.к. вводится новый геометрический образ – плоскость, то её основные свойства в пространстве выражают аксиомы:

С₁. Какова бы не была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

С₂. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

С₃. Если две различные прямые имеют общую точку. То через них можно провести плоскость, и притом только одну.

Таким образом, система аксиом стереометрии состоит из аксиом планиметрии и группы аксиом С.

Методическая схема изучения аксиом стереометрии

1. Разъяснить абстрактный характер геометрических понятий.

2. Разъяснить сущность аксиом и их роль в построении геометрии, сформулировать аксиомы.

3. Проиллюстрировать аксиомы на моделях.

4. Закрепить аксиомы путём логического анализа их формулировок.

5. Закрепить аксиомы в процессе их применения к выводу первых следствий геометрии принадлежности в пространстве, к решению задач.

Проиллюстрируем схему на аксиомах группы С.

1. Понятие плоскость, точка, прямая – абстрактны, т.к. в каждом из случаев отвлекались от свойств ограниченности, линейных размеров, возможной ширины, которыми обладали эти предметы в окружающей действительности.

2. Перечисленные свойства позволяют строить сечение многогранников, доказывать следствия, вытекающие из аксиом.

3. В качестве иллюстрации аксиом на модели воспользуемся рисунком куба, по которому учащиеся могут ответить на следующие вопросы: перечислить точки, принадлежащие плоскостям: (ABC),(AA₁B₁),(D₁C₁C),(A₁B₁C₁); назвать плоскости, которым принадлежат точки D₁,C,B₁,A,M,N; назвать линии пересечения плоскостей (AA₁D₁) и (ABC), (DD₁C₁) и (BB₁C₁); имеют ли они общие точки; можно ли провести плоскость через следующие пары прямых: AB и AD, A₁B₁ и BB₁, A₁D₁ и C₁C, BC и AA₁.

4. Аксиома С₁: “Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей”. Её анализ можно направить вопросами: О каких геометрических фигурах говорится в этой аксиоме? - О плоскости и точках. Что именно говорится о плоскости и точках? - На каждой плоскости имеются точки, принадлежащие ей; для каждой плоскости можно указать точки, которые ей не принадлежат. Сколько утверждений сформулировано в аксиоме С₁? Сформулируйте их по отдельности. - Сформулированы два утверждения: 1) какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие ей; 2) какова бы ни была плоскость, существуют точки, не принадлежащие ей. Какими другими словами можно заменить слова “какова бы ни была плоскость”?

5. На рисунке изображены две различные плоскости и , имеющие общую точку A. Сколько общих точек имеют плоскости и ?

Т.к. плоскости – неограниченны и используя аксиому С₂, получаем ответ: бесконечно много точек, расположенных на прямой, являющейся их линией пересечения.

Задача: Можно ли через точку пересечения двух данных прямых провести третью прямую, не лежащую с ними в одной плоскости? Объясните ответ.

По аксиоме С₃ пересекающиеся данные прямые задают положение одной из плоскостей в пространстве. В пространстве найдётся прямая, не принадлежащая данной плоскости (применяем аксиому С₁, по которой выбрав любую точку, не принадлежащую построенной плоскости, и точку пересечения данных прямых, строим искомую прямую). Такую прямую можно построить.

Роль аксиом в построении геометрии хорошо видна при доказательстве первых следствий, которые в действующем учебнике представлены в виде теорем.

Т.15.1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно построить плоскость, и притом только одну.

Для лучшего выделения всех предложений, используемых при доказательстве следствия, целесообразно доказательство оформить в виде таблицы с двумя колонками “утверждения” и “на основании”.

Утверждения	На основании
Прямая AB, точка С	Аксиома I. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
ABAC=A	Если прямые имеют одну общую точку, то они пересекаются
плоскость	Аксиома С3: Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.
Единственность: -ет , проходящая через прямую AB и С. по прямой, которой принадлежат A,B,C.	Аксиома С2 Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
A,B,C не лежат на одной прямой	Условие задачи
Противоречие.

Теорема доказана.

Т.15.2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Т.15.3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Следствие из Т.15.2. Плоскость и не лежащая на ней прямая либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.

Выяснить, следствиями из каких аксиом являются сформулированные теоремы? (аксиома 1, аксиома С₃).

Учащимся необходимо объяснить, что доказательство приводится не только с целью убеждения в истинности какого-либо предположения, но и для того, чтобы свести данное предположение к ранее известным, показать, каким образом из аксиом, определений и уже доказанных теорем следует данное предположение.

1.2 Методика изучения параллельности прямых и плоскостей

Содержание: определения параллельных и скрещивающихся прямых в пространстве, теорема о существовании и единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, транзитивность параллельности прямых, параллельность прямой и плоскости (определение и признак), параллельность плоскостей (определение и признак), изображение пространственных фигур на плоскости.

Наряду с обычными целями обучения геометрии здесь большую роль играет цель формирования у учащихся пространственного представления и воображения.

Методика изучения определения параллельных и скрещивающихся прямых построена с помощью логической операции отрицания: “Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются”. “Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися”. Точный смысл понятий: “прямые не пересекаются”, “прямые не лежат в одной плоскости” может быть получен с помощью операции отрицания понятий “прямые пересекаются”, “прямые лежат в одной плоскости”.

Методическая схема изучения параллельных и скрещивающихся прямых в пространстве

1. Сообщить определения;

2. проиллюстрировать эти понятия на модели куба, классной комнате, рисунке;

3. провести логический анализ формулировки определения;

4. выполнить задания на нахождение параллельных и скрещивающихся прямых на модели (рисунке) куба;

5. сопроводить показ параллельных и скрещивающихся прямых соответствующими обоснованиями.

Для облегчения логического анализа определений и построения отрицания полезно на доске выполнить следующие записи:

1. прямые a и b пересекаются: имеют общую точку, и притом только одну;

2. прямые a и b не пересекаются: не имеют общих точек или общих точек более одной.

Понятие параллельного проектирования вводится с помощью генетического определения. В соответствии с общей особенностью генетических определений используется методическая схема изучения параллельного проектирования:

• одновременно проговорить определения и произвести построения (выполняется учителем);

• одновременно проговорить определения и показать соответствующие построения на готовом рисунке (выполняется учеником); стереть имеющийся на доске рисунок;

• одновременно проговорить определение и выполнить новый рисунок (выполняется учеником).

Методику изучения теорем и их доказательств рассмотрим на примере признака параллельности прямой и плоскости: “Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости”.

Методическая схема:

1. подвести учащихся к теореме, сформулировать ее;

2. выполнить рисунок, краткую запись теоремы;

3. сообщать общую идею теоремы;

4. привести план доказательства;

5. предоставить учащимся возможность самостоятельно осуществить док-во;

6. осуществить доказательство (ученик);

7. закрепить доказательство путем его воспроизведения;

8. применить теорему к решению задач.

Подведение учащихся к теореме: на стол положим спицу а₁, вторую спицу положим так, чтобы она была параллельна спице а₁.

Вопрос: что можно сказать о взаимном расположении спицы а и поверхности стола?