“Треугольники называются равными, если у них соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон”.

3. Методическая схема изучения признаков равенства треугольников

Систематический курс геометрии начнем изучать в 7 классе со знакомства с основными свойствами простейших геометрических фигур, которые сформулированы в виде аксиом.

№ 47, стр.23

АС и ВС пересекаются, т.е. точка В лежит в одной полуплоскости, а точка А – в другой (?)

Т очка В₁

(АС) и лежит между точками А и С

Точка А₁ (ВС) и лежит между точками В и С

Рассмотрим прямую (АА₁), тогда точки А и С принадлежат разным полуплоскостям, т. к. отрезки АС и ВС пересекаются. Поэтому точки В и В₁ (т.к. В₁ лежит между С и А) лежат в разных полуплоскостях и, следовательно, АА₁ ВВ₁

При решении используется понятие полуплоскости и аксиома IV (см. страница 8)

После изучения §1 учащимся даются понятия: аксиомы, теоремы, приводятся простейшие формы доказательств. (прочитать пункт 13 «аксиомы», страница 19) № 22 § 2, страница 32

В оспользуемся т. 1.1. (стр.17), согласно которой, из того что пересечена одна из сторон ∆ АВС (СА), прямая пересечет еще одну из оставшихся двух.

Рассмотрим ДОА. Если ДОА < АОВ, то луч ОД лежит между лучами АО и ОВ и, следовательно, пересекает отрезок АВ.

Если ДОА > ВОА, то луч ОД пересечет отрезок ВС (это связано

Следующими условиями: ВОА < ДОА и луч ОД лежит между лучами ОС и ОВ.

Методика изучения признаков равенства треугольников.

Изложение вопросов о равенстве треугольников во многом зависит от выбора определения равных треугольников. В учебнике Погорелова А.В. приводится гильбертовское определение равенства треугольников, которое требует выполнения шести равенств: трех для соответственных сторон треугольников и трех для соответственных углов этих треугольников. (смотри определение равенства на стр. 14)

Рассмотрим еще один вариант изложения темы равные треугольники:

1. Для равенства двух треугольников потребуем (по определению) равентсов трех соответствующих сторон этих треугольников;

2. В качестве аксиомы примем следующие утверждения: «Если две стороны и угол, заключенный между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны».

Такой подход позволяет не доказывать третий признак равенства треугольников (это предусмотренно в 1.) и I признаках равенства треугольниках (это аксиома), что приводит к сокращению теоретического материала и упрощению логической структуры темы «Равенство треугольников», позволяет кратчайшим путем ввести один из основных методов традиционно-синтетической геометрии – метод равных треугольников.

Методика изучения первого признака равенства треугольников. Методическая схема по Погорелову А.В.:

1. Построить два треугольника, у которых равны две пары соответствующих сторон и углы, заключенные между ними;

2. На основании полученного рисунка сформулируйте теорему записать ее условие и заключение;

3. Сообщить идею доказательства;

4. Сообщить план доказательства;

5. Провести доказательство с четким выделением его шагов;

6. Осуществить закрепление его доказательства;

7. Рассмотреть с учащимися задачи на примере признака.

И так, пусть по сторонам В, С и углу А с помощью транспортира и линейки построено два треугольника: ∆ АВС и ∆ А₁В₁С₁

Что можно сказать о ∆ АВС и ∆ А₁В₁С₁ ?

После о том, что эти треугольники равны, формулируем теорему. Выясняем: что дано в этой теореме, а что надо доказать. Рядом с рисунком 1 краткую запись теоремы:

Дано: АВ =А₁В₁; АС=А₁С₁; А = А₁

Доказать: ∆ АВС = ∆ А₁В₁С₁

Сообщаем ученикам идею доказательства: рассмотреть третий ∆ А₁В₂С₂, который: 1. равен ∆ АВС и расположен таким образом, что 2. его вершина В₂ лежит на полупрямой А₁В₁; 3. вершина С₂ находится в той же полуплоскости относительно прямой А₁В₁, в которой лежит вершина С₁.

Теорема будет доказана, если установлено, что ∆ А₁В₂С₂ совпадает с ∆ А₁В₁С_1.

Составляем план доказательства:

1. Рассмотрим ∆ А₁В₂С₂, о котором говорилось выше;

2. Докажем, что вершина В₂ совпадает с вершиной В₁;

3. Докажем, что луч А₁С₂ совпадает с лучом А₁С₁;

4. Докажем, что вершина С₂ совпадает с вершиной С₁;

5. Сделаем заключение о равенстве ∆ АВС и ∆ А₁В₁С_1.

Приводим краткую запись доказательства на доске (оно выполняется учителем по ходу изложения, записывать доказательство в тетрадях не нужно),

1) ∆ А₁В₂С₂ = ∆ АВС аксиома IV₃

2) т.к. А₁В₁ = А₁В₂, то В₂ совпадает с В₁ аксиома IV₁

3) т.к. В₁А₁С₁ = В₂А₁С₂, то лучи А₁С₂ и А₁С₁ совпадают

аксиома IV₂

4) т.к. А₁С₁ = А₁С₂, то точки С₂ и С₁ совпадают аксиома IV₁

5) ∆ А₁В₂С₂ и ∆ А₁В₁С₁ совпадают п.п. 2,4

6) ∆ АВС = ∆ А₁В₁С₁ п.п. 5,1

Вопросы для закрепления

1. Как был выбран ∆ А₁В₂С₂?

2. Почему вершина В₂ совпадает с вершиной В₁ ?

3. Зачем нужно доказывать совпадения лучей А₁С₂ и А₁С₁ ?

4. Почему вершина С₂ совпадает с вершиной С₁ ?

5. Почему делается вывод о равенстве ∆ АВС и ∆ А₁В₁С₁

Рассмотрим еще одну методическую схему изучения этого признака:

1. рассмотреть решение ряда подготовительных задач;

2. доказать первый признак рав-ва треугольников.

Подготовительные задачи:

1. отрезки А₁В₁ и А₁В₂ равны отрезку АВ и отложены на полупрямой А₁В_1. Что ещё можно сказать о расположении отрезков А₁В₁ и А₁В₂ ?

2. Углы В₁А₁С₁ и В₁А₁С₂ равны углу А. Что можно сказать о расположении углов В₁А₁С₁ и В₁А₁С₂ ? Что можно сказать о расположении лучей А₁С₁ и А₁С₂, если они находятся в одной полуплоскости относительно прямой А₁В₁?

3. Треугольники А₁В₁С₁ и А₁В₂С₂ равны, вершина В₂ лежит на полупрямой А₁В₁, вершина С₂ лежит в одной полуплоскости (относительно прямой А₁В₁) с вершиной С₁. Докажите, что эти треугольники совпадают, т.1. вершина В₂ совпадают с вершиной В₁, вершина С₂ – с вершиной С₁.

Рассмотренная первой методическая схема доказательства основана на применении репродуктивного метода обучения и он наиболее эффективен при изучении третьего признака равенства треугольников, наиболее сложного.

Схема решения задач па данной теме:

1. ученики читают задачу один – два раза, выполняют рисунок, записывают условие и требования задачи. Рассказать о требованиях к построению чертежей при решении задач по планеметрии.

2. Учитель направляет разбор задачи вопросами: “Что дано в задаче?”, “Что говорится о таком – то треугольнике?”, “Что ещё дано?”, “Что требуется выполнить в задаче?”, “С чего начнем выполнение рисунка?”, “Что ещё надо нарисовать?” и т. д.

3. Далее приступаем к поиску решения задачи:

Р ассмотрим некоторые задачи. №5, §3, стр.45

Дано:

Доказать:

Доказательство:

У данных треугольников есть по одной равной паре соответствующих сторон и одному равному углу прилежащему к этой стороне. Для док-ва рав-ва треугольников по II признаку следует найти ещё пару равных углов - как вертикальные по II признаку рав-ва треугольников.

№32, §3, стр.47 Дано: А, В, С, Д лежат на одной прямой;

Доказать:

Доказательство:

1) ;

2) - по I признаку равенства треугольников;

3) ;

4) - по I признаку равенства треугольников;

№ 39, §3, стр.48

Дано:

Доказать:

Доказательство:

1) (по условию); (по условию); - по III признаку равенства треугольников;

2) ;

3) - по I признаку равенства треугольников;

4) и - по III признаку равенства треугольников;

Ч.т.д.

Заключение

Традиционно-синтетические аспекты занимают ведущее положение в геометрии, служат основой изложения остального материала, способствуют формированию пространственного представления и воображения учащихся (недаром некоторые разделы традиционно-синтетической геометрии(параллельность, перпендекулярность прямых и плоскостей, жесткость треугольника) называют “строительной геометрией”).

Придавая темам: параллельные и перпендикулярные прямые, признаки равенства треугольников, свойства равнобедренного и равностороннего треугольников, окружность, описанная около треугольника (вписанная в треугольник), задача на построение; четырёхугольники, правильные многоугольники, излагаем традиционно, максимальные образовательные цели, можно увидеть в них начала систематического курса геометрии.

В качестве вспомогательного математического метода к традиционно-синтетическому рассматривается координатно-векторный метод. Подготовка к вспомогательному методу выражается в раннем введении системы координат в ознакомлении учащихся с примерами решения задач координатным или векторно-координатным методом, в использовании формул расстояния между точками, если отказаться от координатно-векторного метода. Одновременное введение традиционно-синтетического и координатного методов в начале курса может быть обеспечено применением аксиоматически смешанного типа, причем неизбежно избыточной. Аксиоматику, в этом случае, следует рассматривать как инструмент рационализации логико-математической системы учебника.

Литература

1. К.О. Ананченко «Общая методика преподавания математики в школе», Мн., «Унiверсiтэцкае»,1997г.

2.Н.М.Рогановский «Методика преподавания в средней школе», Мн., «Высшая школа», 1990г.

3.Г.Фройденталь «Математика как педагогическая задача»,М., «Просвещение», 1998г.

4.Н.Н. «Математическая лаборатория», М., «Просвещение», 1997г.

5.Ю.М.Колягин «Методика преподавания математики в средней школе», М., «Просвещение», 1999г.

6.А.А.Столяр «Логические проблемы преподавания математики», Мн., «Высшая школа», 2000г.