Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Кафедра МПМ

Реферат

Начала систематического курса планиметрии в средней школе

Исполнитель: студентка

группы М-32 Чучмай А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук,

доцент Лебедева М.Т.

Гомель 2007

Содержание

Введение

1. Методика ознакомления учащихся с аксиомами в курсе школьной геометрии

2. Методика введения понятий и теорем в курсе геометрии

3. Методическая схема изучения признаков равенства треугольников

Заключение

Литература

Введение

Одна из главных задач обучения геометрии состоит в усвоении учащимися её теоретических основ и овладение навыками применения их на практике, в развитии логического мышления учащихся, способности к доказательным, аргументированным рассуждениям. При изучении школьного курса геометрии развиваем пространственное воображение и представление учащихся, геометрическое “видение” окружающего мира.

Пособие Погорелова характеризуется более высоким уровнем строгости изложения теоретического материала в начале курса. Здесь приводится полный список аксиом, необходимые определения и теоремы, доказательства. Строгость изложения рассматривается как средство выработки у учащихся навыков полноценной логической аргументации. Усилена роль задач в обучении. Это происходит за счет рационального и компактного изложения теоретического материала и повышения удельного веса содержательных задач, практически отсутствуют задания на разучивание определений, подведение к теоремам. При изложении материала используются методы синтетической и аналитической геометрии (например, изложение векторной алгебры происходит с применением метода координат).

Логико-математическая система учебника (его логическая структура, система определений, доказательство) должна учитывать выборочное применение нескольких математических методов. Координаты, векторы, геометрические преобразования способствует не только тому, что курс геометрии становится более современным, но является и новым методами изложения учебного материала.

1. Методика ознакомления учащихся с аксиомами в курсе школьной геометрии

Традиционно-синтетические аспекты занимают ведущее положение в геометрии, служат основой изложения остального материала, способствуют формированию пространственного представления и воображения учащихся (недаром некоторые разделы традиционно-синтетической геометрии(параллельность, перпендекулярность прямых и плоскостей, жесткость треугольника) называют “строительной геометрией”).

Придавая темам: параллельные и перпендикулярные прямые, признаки равенства треугольников, свойства равнобедренного и равностороннего треугольников, окружность, описанная около треугольника (вписанная в треугольник), задача на построение; четырёхугольники, правильные многоугольники, излагаем традиционно, максимальные образовательные цели, можно увидеть в них начала систематического курса геометрии.

В качестве вспомогательного математического метода к традиционно-синтетическому рассматривается координатно-векторный метод. Подготовка к вспомогательному методу выражается в раннем введении системы координат в ознакомлении учащихся с примерами решения задач координатным или векторно-координатным методом, в использовании формул расстояния между точками, если отказаться от координатно-векторного метода. Одновременное введение традиционно-синтетического и координатного методов в начале курса может быть обеспечено применением аксиоматически смешанного типа, причем неизбежно избыточной. Аксиоматику, в этом случае, следует рассматривать как инструмент рационализации логико-математической системы учебника.

Роль аксиом в построении школьного курса геометрии.

Цель – сформировать базу для построения доказательств. Аксиомы ориентируются на изложение и традиционно-синтетической, и аналитической частей учебного курса. В качестве аксиом выбираются уже известные из пропедевтического курса факты, близкие к наглядным представлениям. Новым для учащихся в них является предельно точный математический язык, на котором формируются. Приведение аксиом в начале курса означает систематизацию ранее известных знаний и дополнение их новыми знаниями.

Дидактические формы приведения аксиом могут быть различными. В учебнике Погорелова использовано неформальное введение, при котором приводится немало аксиом, но выделяются и формируются только те из них, которые систематически используются в дальнейшем изложении.

Приводятся аксиомы принадлежности, измерение отрезков и углов, откладывание отрезков и углов, существование треугольника, равного данному, параллельность. Наличие аксиом измерения упростило введение меры для отрезков и углов. Аксиома откладывания отрезков и углов позволила строго доказать признаки равенства треугольника.

Методика ознакомления учащихся с аксиомами в курсе.

Вводятся аксиомы неформально, т.е. первоначально вместо слов “аксиома”, “теорема”, “доказательство” используются “основное свойство”, “свойство”, “объяснение”. Сами термины вводятся в *** “Основные свойства простейших геометрических фигур”, когда учащиеся приобретут некоторый опыт применения аксиом в доказательствах.

Например, учащимся предлагаются отдельные предложения, после ознакомления с которыми они должны ответить на вопросы, в формулировке которых используются термины: “основное свойство”, “свойство”, “что такое…”, “какая фигура называется…?”

1. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну. Назовите основное свойство прямой.

2. Две различные прямые либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.

3. Отрезком AB называется часть прямой a, точками которой являются все точки х этой прямой, лежащие между А и В. Точки А и В называются концами отрезка. Что называется “отрезком АВ”? Какая фигура называется отрезком?

4. Два отрезка называются равными, если они имеют одинаковую длину.

5. Треугольники равны, если у них соответствующие стороны и соответствующие стороны углы равны.

Рассмотрим методику изучения основных свойств.

1. Основные свойства принадлежности.

1,а) Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие прямой.

1,б) Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Наглядное введение аксиом сопровождается логическим анализом их формулировок, необходимый для выяснения точного математического смысла каждой аксиомы. Анализ поправляется вопросами:

О каких геометрических фигурах говорится в основном свойстве 1,а)? Что именно говорится о прямых и точках? Сколько утверждений сформулировано в основном свойстве 1,а)? Сформулируйте их по отдельности. Какими другими словами “какова бы ни была прямая”? (“Для любой прямой” и “для каждой прямой”)

Закрепление практических навыков построения прямых и точек и усвоение соответствующей математической терминологии могут быть осуществлены с помощью математического диктанта:

1. Постройте прямую а. Отметьте точки А и В, принадлежащие прямой а. Постройте С и Д, не принадлежащие прямой а.

2. Постройте две пересекающиеся прямые c и d. Обозначьте буквой А точку пересечения этих прямых. Постройте точку В, принадлежащую прямой с, но не принадлежащую прямой d. Отметьте точку С, принадлежащую прямой d, но не принадлежащую прямой с.

1. Основные свойства расположения.

2,а) Из трех точек на прямой одна, и только одна, лежит между двумя другими.

2,б) Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекается с прямой. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекается с прямой.

Методическая схема введения аксиом:

1. ввести аксиому на наглядной основе;

2. сформулировать аксиому;

3. выполнить логический нализ формулировки аксиом;

4. провести математический диктант.

1. Основные свойства измерения отрезков и углов.

3,а) Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длины частей, на которые он разбивается любой своей точкой.

3,б) Каждый угол имеет определённую длину, большую нуля. Развёрнутый угол равен . Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

1. Основные свойства откладывания отрезков и углов.

4,а) На любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.

4,б) От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, и только один.

4,в) Каковы бы ни были треугольник и полупрямая, существует треугольник, равный данному, у которого первая вершина лежит в начале полупрямой, вторая – на полупрямой, а третья – в заданной полуплоскости относительно полупрямой и её продолжения.

Конкретно-индуктивным методом следует пользоваться лишь при изучении трудных для понимания аксиом. Рассмотрим один из вариантов введения аксиомы 4,в).

Начертим: , полупрямую ; отметим полуплоскость относительно .(полупрямой и её продолжения)

Вопрос: Можно ли построить , равный , который бы распологался следующим образом:

а) вершина совмещалась бы с началом полупрямой ;

б) вершина лежала бы на полупрямой ;

в) вершина лежала бы в заданной полуплоскости относительно полупрямой и её продолжения?

будем “строить” с помощью картонной модели . Построение направляем вопросами:

Что дано?( , полупрямая , полуплоскость); Что требуется построить? Каким четырём условиям должен удовлетворять ? Покажите, как можно построить такой с помощью нашей модели. После построения делаем вывод.

5) Основное свойство параллельных прямых.

Через точку не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

Использованная методическая форма приведения аксиом в учебнике Погорелова впервые была дана в учебнике Киселёва, а именно:

Аксиомы формулируются, но без внешнего подчеркивания формально-логического аспекта(они не нумеруются, не сообщаются названия групп). Формально-логический аспект не подчеркивается и в первых доказательствах. Непосредственные ссылки на аксиомы в этих доказательствах не делаются(они подразумеваются и при необходимости в устном изложении на уроке могут быть сделаны). Такому приёму свойственны неформальный стиль изложения и активное обращение к наглядности в первых доказательствах. Ссылки в доказатьльствах появляются после изучения признаков равенства треугольников. Подобная “маскировка” аксиом позволяет на первый план выдвинуть наглядно-геометрическую(содержательную) сторону доказательств, которые при этом тесно связываются с возможными интуитивными рассуждениями учащихся.

В учебнике Погорелова, в отличии от приведенного изложения по Киселёву, предпринята попытка формализации начала курса(чёткое выделение аксиом, ссылок в первых доказательствах)

2. Методика введения понятий и теорем в курсе геометрии

Ряд математических понятий является неопределенным. В учебнике Погорелова к ним отнесены: точка, прямая, точка принадлежащая прямой; “точка В лежит между точками А и С”; “полуплоскость”, “длина отрезка”, “мера угла”, “отложить отрезок(угол) заданной меры”. Свойства неопределяемых понятий описываются аксиомами. Все остальные понятия – определяемые.

Отметим особенности некоторых определений:

1)отрезок определяется таким образом, что концы ему не принадлежат; в связи с этим нельзя использовать обозначение с помощью квадратных скобок; 2) полупрямая определяется т.о., что начальная точка ей не принадлежит; 3) угол определяется так, что вершина угла не принадлежит ему; 4) вершины треугольника (но определённого) принадлежат ему:

“Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки - сторонами”.

“Углом называется фигура, которая состоит из точки - вершины угла – и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки - стороны угла”.

Одним из центральных понятий для всего курса геометрии является понятие равных треугольников. В учебнике Киселёва равенство треугольников определяется с помощью положения. В пособии Погорелова А.В. сразу вводится общие понятия равенства фигур (с помощью перемещения). Определение равенства треугольников, по учебнику Погорелова (первые издания) для школьной практики новые, т.к.

“Треугольники и называются равными, если у них .” Как видно из этого определения, речь идет о равенстве не просто каких-либо двух треугольников, а треугольников, между которыми установлено соответствие: , по этой причине, например, равенство = может выполняться, но для “тех же” треугольников равенство: = может оказаться несправедливым. ”

В действующем пособии Погорелова А.В. используется следующее определение равенства треугольников: