Natakursnew (Педагогика в начальных классах), страница 7

Для разбора решения этой задачи другим способом можно проиллюстрировать движе­ние, вызвав к чертежу двух учеников. Учи­тель ведет объяснение: «Вы будете велоси­педистами. Покажите указкой, откуда вы на­чали движение. Вы начали двигаться одно­временно и ехали 1 ч. Сколько километ­ров проехал за это время каждый из вас? (11 км и 13 км.) Подпишем 11 км и 13 км на чертеже. На сколько километров вы сблизились за 1 ч? (На 24 км.) прошел еще 1 ч. На сколько километров вы еще сбли­зились? (На 24 км.) Встретились ли вело­сипедисты? (Да.) Составьте план решения. (Сначала узнаем, на сколько километров сближались велосипедисты в час, выпол­нив сложение; затем найдем расстояние меж­ду поселками, выполнив умножение.)» Эти два способа решения надо сравнить и. оце­нить, какой из них рациональнее.

Задачи, обратные данной, ученики могут составить сами по преобразованным чер­тежам, которые выполняет учитель. Снача­ла искомым становится время движения до встречи, а затем с
корость одного из вело­сипедистов. Вот эти измененные чертежи:

План решения той и другой задачи уче­ники могут составить сами. Решение лучше записать отдельными действиями. Затрудне­ние обычно вызывает один из способов решения последней задачи (48:2=24, 24-13= 11). В этом случае, обращаясь к иллю­страции, надо показать, что в каждый час велосипедисты сближались на одинаковое расстояние, поэтому легко узнать, на сколько километров они сближались в час, выпол­нив деление (48:2=24), зная это и скорость одного из них, можно найти скорость дру­гого (24—13=11).

Теперь полезно сравнить задачи, выявив сходное (все задачи на встречное движе­ние, в них одинаковые величины) и раз­личное (в первой задаче находили расстояние по известным скорости каждого велосипеди­ста и времени движения до встречи; во второй задаче находили время движения до встречи по известным расстоянию и скорости каждого велосипедиста; в третьей задаче находили скорость одного из велосипедистов по известным расстоянию, времени движения до встречи и скорости другого велосипеди­ста). Сравнив решения, ученики должны за­метить, что каждую задачу можно решить двумя действиями, причем в этом случае первым действием находили, на сколько ки­лометров сближались велосипедисты в час, но при решении первой и второй задачи это находили сложением, а при решении третьей задачи — делением. Далее, как и в других случаях, на последующих уроках ученики решают задачи этих видов сначала под руководством учителя, а затем самостоятельно. Здесь так же, как и при решении других задач, полезно предлагать различные упражнения творческого характера. В част­ности, ставить вопросы вида: «Могли ли ве­лосипедисты (теплоходы и т. п.) встретиться на середине пути? При каких условиях? Если велосипедисты после встречи продол­жат движение, то какой из них приедет раньше к месту выхода другого велоси­педиста, если будет двигаться с той же скоростью?»

Рассмотрим задачу, решающуюся несколькими способами:

«В зале 8 рядов стульев, по 12 стульев в каждом ряду. В зал пришли ученики из двух классов, по 42 ученика в каждом. Хватит ли стульев для учеников? Если останутся незанятые, то сколько?»

Используя разбор задачи от данных к во­просу, дети легко получили решение, рассуж­дая следующим образом: «Зная, что в зале 8 рядов по 12 стульев в каждом ряду, найдем, сколько всего стульев в зале: 128=96. Те­перь определим, сколько стульев будет заня­то, т. е. узнаем, сколько учеников в двух классах. Столько же будет занято и стульев: 422= 84. Сравним теперь число всех стульев - 96 и число стульев, которые займут ученики двух классов, - 84. 96>84, значит, стульев хватит. 96—84=12. 12 стульев останутся незанятыми».

Чтобы отыскать другие способы решения, я предложила детям представить, как могли ученики двух классов войти в зал и в соответ­ствии с этим дополнить условие задачи. Рассуждая, сопоставляя, дети отыскали три способа решения. И эти три способа записали в тетрадь:

II способ

1) 2.8=96

2) 96-42=54

3) 54—42=12

О т в е т. 12 стульев останутся незанятыми.

Вначале свои места заняли ученики одного класса, а затем другого.

III способ

Всех учащихся рассадили так, чтобы все места в ряду были заняты, т. е. в каждом ряду было по 12 человек:

1) 422=84 — места займут ученики двух классов;

2) 84:12= 7 — рядов займут ученики двух классов;

3) 8-7= 1 — ряд или 12 стульев останутся незанятыми.

Ответ: 12 стульев останутся незанятыми.

IV способ

Стулья в зале распределили поровну между классами, т. е. по 48. Поэтому сначала узнаем, сколько незанятых стульев осталось у каждо­го класса.

1) 128== 96 — всего стульев в зале;

2) 96:2=48—стульев для каждого класса;

3) 48-42== 6 — незанятых стульев у каж­дого класса;

4) 6•2== 12 — всего незанятых стульев. Ответ: 12 стульев останутся незанятыми.

Дети были удивлены, что задача имеет столько способов решения, и довольны, что нашли их. Но когда я сказала, что эта задача имеет еще столько же и даже больше решений, удивлению не было границ. Ребятам захотелось тут же отыскать их, но поскольку урок подходил к концу, они попросили остаться после уроков, чтобы в тот же день попытаться выявить все способы.

На этом дополнительном занятии опира­лась на способных ребят, вовлекала их в самостоятельный поиск, предлагая им представить, как еще можно рассадить учеников: чтобы все ряды заполнялись учени­ками равномерно и каждый ряд был хотя бы частично занят; чтобы все места в рядах были заняты; чтобы оба класса рассаживались одновременно; рассаживались порознь; чтобы для каждого класса выделялось поровну мест в зале или поровну (по 6) в каждом ряду

Чтобы дети лучше могли представить все ситуации, на доске нарисовали 8 рядов, по 12 кружков в каждом ряду.

Вот какие решения мы нашли, причем некоторые способы отыскали сами дети.

V способ

1) 42:12=3 (ост. 6)—3 ряда занято, оставшихся 6 учеников посадили в 4-й ряд;

2) 12-6= 6 —учеников из другого класса тоже посадили в 4-й ряд;

3) 42-6= 36 — учеников остается поса­дить на другие ряды;

4) 36:12=3 —еще 3 ряда займут ученики другого класса;

5) 4+3= 7—рядов занято;

6) 8-7 = 1 — ряд или 12 стульев не заняты.

Ответ: 12 стульев останутся незанятыми.

VI способ

1) 42:12=3 (ост. 6)—3 ряда занято, 6 учеников не посажено;

2) 42+6== 48—учеников осталось поса­дить;

3) 48:12== 4—ряда займут оставшиеся ученики;

4) 4+3== 7—рядов занято;

5) 8-7= 1 — ряд или 12 стульев не занято.

VII способ

1) 8:2== 4 — ряда для каждого класса;

2) 12 • 4= 48 — стульев выделили для каж­дого класса;

3) 48-42== 6—стульев остается незаня­тыми в каждой части зала, выделенной каждому классу;

4) 6-2== 12—стульев останутся незаня­тыми.

VIII способ

1) 422= 84—ученика нужно посадить;;

2) 84:8== 10 (ост. 4) — 10 учеников в каж­дом ряду и 4 учеников пока не посадили, если будем сажать поровну на каждый ряд;

3) 12-10== 2 — по 2 стула осталось неза­нятыми в каждом ряду;

4) 2-8== 16—всего 16 стульев осталось после того, как рассадили по 10 учеников в каждом ряду;

5) 16-4== 12 — стульев остались незаня­тыми, после того как 4 оставшихся учеников посадили на места из оставшихся 16;

IX способ

1) 12-8== 96—всего стульев в зале;

2) 96:42=2 (ост. 12)—2 класса можно посадить и 12 мест останутся незанятыми.

Х способ

1) 12:2=6 — по 6 стульев в ряду выделили для класса, если будем рассаживать на каждый ряд поровну учеников из одного и другого класса;

2) 42:6== 7 — рядов займет каждый класс;

3) 8—7== 1 — ряд или 12 стульев останутся незанятыми

Дети просто были потрясены таким обили­ем способов. И поскольку ситуация задачи несложна для представления (тем более что на рисунке на доске показывали, как они «рассаживают» учеников), записывали мы только некоторые способы с самой короткой записью. Остальные выполняли устно с пока­зом на рисунке, определяли самый рациональ­ный способ.

Потом оказалось, что эта задача имеет еще по крайней мере, четыре способа решения. Приведем один из них.

XI способ

1) 42-2 ==84—ученика в двух классах и 84 стула нужно для всех;

2) 96:84= 1 (ост. 12) — 1 раз по 84 стула содержится в зале и 12 стульев останутся незанятыми.

Работа по отысканию разных способов решения задач так заинтересовала детей, что если даже на уроке не планировалось решение задач несколькими способами, учащиеся самостоятельно находили их. Всегда были дети, которые стремились решить задачу нетрадиционным способом.

Рассмотрим несколько задач, решаемых по системе Л.В.Занкова арифметическим и алгебраическим способом:

Задача №1

"Из 560 листов бумаги сделали 60 тетрадей двух сортов. На каждую тетрадь первого сорта расходовали по 8 листов, а на каждую тетрадь второго сорта - по 12 листов. Сколько сделали тетрадей каждого сорта?" К задаче даны два указания:

1. Решить задачу алгебраическим способом.

2. Предложить свое задание к задаче.

Следуя указанию учебника, учитель подво­дит учащихся к составлению уравнения, рас­суждая примерно так: "Обозначим буквой х - число тетрадей первого сорта, тогда тетрадей второго сорта будет (60 - х). Известно, что на те­традь первого сорта расходовали 8 листов, зна­чит, (8х) листов расходовали на тетради первого сорта. На тетрадь второго сорта расходовали 12 листов. Следовательно, на тетради второго сор­та израсходовано 12 (60-х) листов. Теперь мож­но найти, сколько всего листов израсходовано:

(8х + 12 (60-х), а это по условию равно 560. Со­ставим уравнение: 8х + 12 (60 - х) = 560. Ис­пользуя дистрибутивный закон (правило умно­жения числа на разность), дети записывают уравнение: 8х + 720 - 12х = 560.

И если составление уравнения не вызывает затруднений у учащихся, то при его решении возникают определенные трудности.

Действительно, действия с отрицательны­ми числами будут изучаться позднее, а реше­ние требует выполнения операций над ними.

Приведем образец решения уравнений.

8х+ 12 (60-х) =560

8х+720-12х=560

8х + 720 - 720 - 12х = 560 - 720 (из обеих частей уравнения вычли по 720)

8х- 12х =-160

(8 - 12)х = - 160 (применили дистрибутив­ный закон умножения относительно вычита­ния, вынесли неизвестное число х за скобки)

-4х=-160

х=(-160):(-4)

х=40

Итак, чтобы найти неизвестное число, нуж­но обе части уравнения разделить на (- 4), т.е. необходимо провести операции с отрицательны­ми числами, а понятие об отрицательном числе будет изучаться позднее.

Чтобы избежать этого, учитель может по­пытаться решить это уравнение следующим образом:

8х+ 12(60-х)=560

8х+720- 12х =560

8х+720+12х-12х=560+12х прибавим 12х

8х+720=560+ 12х

8х - 8х + 720 = 560 + 12х - 8х вычитаем из обеих частей 8х

720 = 560 + (12 - 8)х выносим за скобки х

720 - 560 = 560 - 560 + 4х вычитаем из обе­их частей 560

160=4х

х= 160:4

х=40

Согласитесь, что подобные рассуждения слишком громоздки и затруднительны. Зная это, учитель подводит учащихся к другому уравне­нию, решение которого легче и понятнее детям. Рассуждения примерно таковы: "Пусть х - число тетрадей второго сорта. Тогда (60-х) - число те­традей первого сорта. На тетради второго сорта пошло 12х листов, а на тетради первого -8 (60 - х) листов. На все тетради пошло 12х + 8 (60 - х) листов бумаги. По условию зада­чи это равно 560 листам". Составляем уравнение:

12х+8 (60-х) =560

12х+480-8х=560

12х-8х =560-480

(12-8)х=80

4х=80

х = 80 : 4

х=20

Ответ: 20 тетрадей второго сорта, 40 тет­радей первого сорта (60 - 20 = 40).

Рассуждения учителя и учащихся могут быть примерно такими: "Предположим, что все тетради были тетрадями первого сорта. Тог­да потребовалось бы 8 • 60 = 480 листов бумаги. Но в условии задачи сказано, что пошло 560 ли­стов, т.е. израсходовано больше, чем предполо­жили, на 80 листов (560 - 480 = 80) за счет того, что были тетради другого сорта, на которые шло по 12 листов. На одну тетрадь второго сорта рас­ходовали больше на 4 листа. Итак, на все тетра­ди второго сорта израсходовали на 80 листов больше, а на каждую тетрадь - на 4 листа боль­ше. Это значит, тетрадей второго сорта будет столько, сколько раз укладывается 4 в числе 80: 80:4 = 20 (тетрадей). Чтобы найти число те­традей первого сорта, нужно из 60 вычесть 20". Затем записывается решение задачи:

1)80-60=480

2) 560 - 480 = 80

3) 12-8=4

4) 80 : 4 = 20

5) 60 - 20 = 40

Второй арифметический способ решения основан на предположении, что все тетради были второго сорта.

Аналогичные рассуждения приводят к ре­шению:

1) 12 • 60 = 720 тетрадей

2) 720 - 560 = 160 тетрадей