22218-1 (Роль интуиции и неявного знания в формировании стиля математического мышления), страница 2

Понимание того, что неявное знание в математике действительно существует и играет важнейшую роль, пришло в математику только в нашем столетии, при попытках перестройки математики на единой аксиоматической основе. Выяснилось, что многие доказательства некорректны из-за наличия явно не сформулированных, недоказанных или ложных посылок. Для повышения уровня математической строгости необходимо указанные посылки выявить и обосновать. Без решения этой проблемы формализация доказательств невозможна, в том числе и с помощью компьютера [10]. Математическая логика, как относительно новая область математики, также занимается обоснованием важных методов доказательства математики, считавшихся ранее эвристическими, и входивших в неявное знание. В качестве примера здесь может быть рассмотрен такой интересный и распространенный метод математического доказательства как метод интерпретаций, имеющий весьма богатую историю [11]. Практически все серьезные математические методы прошли извилистый и долгий путь от неявной эвристики до строгих теоретических утверждений. В этом смысле вся история математики может рассматриваться как история рационализации ее неявных методов и предпосылок, ранее составляющих личностную компоненту математического знания, и в результате исторического обоснования преобразовавшихся в строгие математические утверждения.

Важность неявного знания в математике обусловлена также высоким уровнем абстрагирования, присущим математике вообще и математике современной в особенности, как преимущественно науке об абстрактных структурах. Здесь речь идет о необходимости постоянного осуществления математической символизации, которая заключается в отождествлении определенного феномена реальности с некоторым математическим символом. Известно, что "исходные" математические символы "держатся" на априорном знании, о чем более подробно говорилось здесь ранее. Поэтому кажущаяся очевидность и легкость этой символизации не должна никого вводить в заблуждение. А когда речь идет о математических абстракциях более высокого уровня, значительно удаленных от первоначальных математических объектов, ситуация еще более осложняется. Это связано с возникновением так называемого неявного коэффициента математической символизации, который через неявное знание и далее через область бессознательного должен связывать абстракцию математики с реальностью. Разумеется, это объяснение несколько схематично. Причина здесь в том, что эти связи глубоко личностны и составляют часть неявного знания, которое неспецифицируемо [4], вследствие чего алгоритмизировать их не представляется возможным. Более подробное исследование возможно лишь в конкретных случаях, когда хорошо известна история формирования какого-либо математического понятия. Простейшим примером в этом смысле является понятие бесконечно малой в математике - можно рассмотреть ее историю от лейбницевской монады до термина математического анализа. Определенно можно сказать лишь то, что подобные связи формируются на уровне личностного практического освоения математики. Понятно, что при этом возможно неосознанное чисто механическое использование абстракций, когда в них видят нечто вроде счетных палочек. Чем выше уровень абстракций, тем солиднее неявный коэффициент математической символизации и более вероятна такая возможность. В подобных случаях, разумеется, возможность рационализации значительно снижается.

Думается, что можно не сомневаться в том, что интуиция и неявное знание практически формируют стиль математического мышления. По крайней мере можно утверждать, что именно эти факторы формируют математика прежде всего как интуитивиста, в идеале - как генератора новых идей. Однако нельзя не отметить, что иногда стиль мышления математиков-интуитивистов настолько необычен, что ни они сами, ни исследователи их творчества не могут дать этим идеям достаточного теоретического обоснования. Например, индийский математик С. Рамануджан обладал уникальной способностью суммировать сложнейшие ряды пользуясь исключительно неявными эвристиками, которые не мог рационализировать даже он сам. Понятно, что их автор обладал солидным запасом неявного знания, и это целиком определяло стиль его математического мышления [6]. Вопрос о возможности обоснования методов Дж. Буля, которым он пользовался при создании булевой алгебры, также до сих пор остается открытым [12]. Здесь также можно говорить об особом значении интуиции и неявного знания в стиле мышления Дж. Буля.

В общем-то подобные примеры нетипичны, но, разумеется, тот факт, что интуиция и неявное знание в основном определяют стиль математического мышления и имеют при этом личностный характер, не может не осложнять понимание между математиками и затрудняет освоение математическим сообществом новых оригинальных идей. Дело в том, что согласно теории неявного знания, такие идеи невозможно чисто механически "пересадить" из одной головы в другую. Эта операция является просто механической вербализацией и ничего общего с подлинным пониманием не имеет. В свете теории неявного знания очевидно, что подлинное наше понимание невозможно без наведения связей с нашим личностным знанием - возможно, через какие-то ключевые термины, имеющие значение в рамках нашего личностного знания. То есть все чужие идеи или чужое знание должны укорениться в почве нашего личностного знания, стать частью нашего познавательного опыта. Относительно математики это значит, что новое математическое знание должно стать частью нашего личного опыта математического мышления.

Однако, поскольку математика отличается строгой общезначимостью символов и терминов, а также предельным дедуктивизмом, по крайней мере, в плане теоретического обоснования, понимание в области математики предполагает сведение личностного фактора к минимуму и не допускает интерпретативных отклонений от общезначимой теории. Следствием недопустимости личностной интерпретативности математической теории является необходимость серьезных личностных затрат на практическое освоение теории в целях решения задач. Наверное, каждый человек, имеющий хотя бы школьный опыт практического освоения математики согласится, что математика - особый предмет, требующий углубленного изучения и дающийся далеко не всем. А ведь еще необходимо участие личностного фактора при осуществлении математической символизации - этого нельзя избежать при исследовании на самом высоком метатеоретическом уровне (об этом здесь говорилось ранее).

Итак, неявное знание личностно, и значит, строго индивидуально. Именно эта его особенность и обуславливает уникальность, ценность и незаменимость каждой творческой личности, независимо от рода деятельности. Разумеется, это не означает, что неявное знание в математике никак не связано с определенным социокультурным контекстом конкретной исторической эпохи. Понятно, что социокультурная среда необходима для формирования самых простейших навыков и умений, свойственных человеку.

Но поскольку неявное знание в целом неоднородно, что мы и показали здесь ранее, постольку роль социокультурной среды в формировании различных его типов также различна. При формировании первоначального слоя неявного знания, включающего онтологические предпосылки и образующего фундаментальный слой всего неявного знания личности в целом, важен не столько конкретный социокультурный контекст, сколько контекст собственно человеческий, само человеческое общение. Без неявного знания этого типа не может сформироваться и неявное знание другого типа, образующееся при обучении математике и решении задач. И вот для формирования неявного знания этого типа, которое затем станет плацдармом для серьезных самостоятельных занятий математикой и математических открытий, социокультурный контекст является решающим. Это значит, что важным является то, в какой социокультурной среде растет будущий математик, насколько эта среда связана с математическим сообществом, какие в нем господствуют идеалы математического познания. Чем более глубоки эти связи, тем более разнообразные математические впечатления испытывает будущий математик, тем более мощным будет слой его неявного знания и тем больше будет возможностей у личности для успешной математической деятельности - при условии равной одаренности.

Интересно, что разрыв во времени в формировании этих двух типов неявного знания может быть достаточно длительным. Например, Якоб Штейнер, швейцарский пастух, который в девятнадцать лет научился у Песталоцци читать и писать, благодаря своей геометрической интуиции достиг положения профессора Берлинского университета [7]. Он высказывал идеи, выходящие за рамки математики прошлого века, хотя они и были лишены доказательств. Этот не единственный, но редкий случай тем не менее достаточно показателен.

Важно отметить, что необходимость участия личностного фактора - а именно неявного знания и интуиции - в процессе формирования и передачи нового знания в математике не может исключить конечной интерсубъективности его содержания, которая достигается в результате теоретического обоснования этого нового знания. А такое теоретическое обоснование возможно вследствие общности анатомии и физиологии субъектов познания, общности их социального опыта и языковых навыков. Благодаря этому возможна исследовательская деятельность вообще, а не только в области математики.

Список литературы

1. Пуанкаре А. Наука и метод // О науке. М.: "Наука", 1990.

2. Адамар Ж. Исследование психологии изобретения в области математики. М.: "Советское радио", 1970.

3. Султанова Л.Б. Взаимосвязь неявного знания и эвристической интуиции // Вестник МГУ, 1995. Серия философия.

4. Полани М. Личностное знание. М.: 1985.

5. Пуанкаре А. Ценность науки // О науке. М.: "Наука", 1990.

6. Левин В.И. Рамануджан - математический гений Индии. М.: 1968.

7. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М.: 1989.

8. Успенский В.А. Теорема Геделя о неполноте. М.: 1982.

9. Мичи Д., Джонстон Р. Компьютер-творец. М.: "Мир", 1987.

10. Серебряников О.Ф. Эвристические принципы и логическое мышление. М.: 1979.

11. Султанова Л.Б. Рациональная реконструкция эволюции математического метода интерпретаций // Материалы научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых /XXXXY/. Уфа, 1994.

12. Стяжкин Н.И. Становление идей математической логики. М.: 1964.

13. Султанова Л. Б. Роль интуиции и неявного знания в формировании стиля математического мышления.