9495-1 (Электростатическое взаимодействие точечных зарядов), страница 2

∫_VW₃dV = (q²/32π²ε₀R₀⁴)∫_V[(r₁² + r₂² – 1)/r₁³r₂³]dV. (17)

Обозначим подынтегральную функцию в правой части (17) символом w₃ (она представляет собой относительное распределение объёмной плотности энергии в пространстве):

w₃ = (r₁² + r₂² – 1)/r₁³r₂³ = 2(x² – x + y²)/{y⁴ + y²[x² + (1 – x)²] + x²(1 – x)²}^3/2. (18)

Форма распределения w₃ в зависимости от x и y одинакова не только для равных, но и для разных по величине и знаку зарядов. Проведём с w₃ ряд дальнейших вычислений. Константа, вынесенная за знак интеграла в формуле (17),

А = q²/32π²ε0R04, (19)

будет учтена в конце работы.

Подстановки (16) с образованием относительных распределений типа (18) применим также к W₁ и W₂ (формулы (12)); получим, соответственно, w₁ и w₂:

w₁ = r₁^–4 = 1/(x² + y²)²; w₂ = r₂^–4 = 1/[(1 – x)² + y²]². (20)

Найдём соотношение

w = (w₁ + w₂ + w₃)/(w₁ + w₂) = 1+ w₃/(w₁ + w₂) = 1 + r₁r₂(r₁² + r₂² – 1)/(r₁⁴ + r₂⁴), (21)

которое представляет собой некоторую поверхность. Участок этой поверхности внутри и вблизи центральной зоны взаимодействия показан на рис. 2 в пределах изменения x от –1 до 1, и y от –2 до 2.

Рис. 2. Отношение w объёмной плотности энергии в системе двух одноимённых взаимодействующих зарядов к сумме энергий невзаимодействующих зарядов

Заряды расположены в точках с координатами (0, 0) и (1, 0). Если бы энергия w₃ отсутствовала, то рассматриваемое отношение имело вид плоскости w = 1 (см. формулу (21)).

Как видно из рис. 2 и формулы (21), значение w равно нулю в центре отрезка R₀ (x = 0,5; y = 0); w = 1 на окружности, вписанной между зарядами; w = 2, максимально достижимое значение при x, y → ∞. Взаимодействие зарядов существенно дополняет сумму их собственных энергий и положительными, и отрицательными вкладами; при отталкивании зарядов энергия поля как бы «уходит» из центральной зоны наружу. Однако,

|w₃/(w₁+w₂)| ≤ 1, (22)

то есть плотность энергии взаимодействия зарядов в каждой точке поля никогда не превышает суммы плотностей их собственных силовых полей. Новая деформированная структура поля обладает большей энергией, чем недеформированная. Поле «стремится» избавиться от избыточной энергии, и отсюда возникают силы взаимодействия. Механизм образования деформированной «надструктуры» w₃ целиком определяется принципом суперпозиции (векторным сложением напряжённостей полей).

Выясним, как соотносятся полные энергии взаимодействия внутри центральной зоны и за её пределами? Ответ на него может дать интегрирование по формуле (17) с учётом (16) и (18). Интеграл по y после подстановки

dV = 2πR₀³ydydx, y² = z, 2ydy = dz (23)

в формулу (17) становится табличным. Вводя обозначения,

a = 1, b = x² + (1 – x)², c = x²(1 – x)², (24)

имеем

A ∫_V w₃dV = A∙2πR₀³∫_xdx ∫_z (± c^1/2 + z) dz / (az² + bz + c)^3/2 = B ∫_xI(x)dx, (25)

I(x) = (± c^1/2 – z)/(4ac – b²)(az² + bz + c)^1/2|₀^∞ = [1/(1 – 2x)²] ± [1/(1 – 2x)²], (26)

B = (q²∙4πR₀³/32π²ε₀R₀⁴) = q²/8πε₀R₀. (27)

Смысл I(x) – потенциальная энергия на единицу длины вдоль x, просуммированная по бесконечной плоскости (с координатой x), перпендикулярной оси x. С другой стороны, это – осреднённая в названной плоскости относительная сила воздействия на заряд слоем поля, толщиной dx. График I(x) показан на рис. 3.

Рис. 3. Изображение I(x) по формуле (26)

Интеграл (25) вычисляется в пределах от нуля до бесконечности. При этом надо различать три области по x:

1) область отрицательных значений (–∞ < x < 0, знак плюс перед c^1/2);

2) область между зарядами (0 ≤ x ≤ 1, знак минус перед с^1/2);

3) область оставшихся положительных значений (1 < x < ∞, знак плюс перед c^1/2).

Аналогично применяются знаки в правой части (26).

Вычисления по формуле (25) дают следующие результаты. В областях 1 или 3

I_{1, 3}(x) = q²/4πε₀R₀(1 – 2x)². (28)

Во второй области

I₂(x) = 0. (29)

Из формул (3), (17), (25) следует, что и в других случаях, каковы бы ни были величины и знаки зарядов, потенциальная энергия в области 2 равна нулю, причём компенсация положительных и отрицательных вкладов происходит в каждой плоскости x = const. Этот факт заслуживает особого внимания, так как в области 2 происходят существенные деформации поля. Таким образом, оказывается, что вся энергия взаимодействия сосредоточена в областях 1 и 3 поровну. Воздействие на заряды осуществляется не из пространства между зарядами, а из пространства снаружи.

Интегрирование выражения (25) по x в пределах от –∞ до +∞ приводит к результату

∫I_1,3(x)dx = (q²/4πε₀R₀)·(0,5+0,5) = q²/4πε₀R₀ = U. (30)

Независимое интегрирование (17) воспроизводит (ещё раз!) закон Кулона для U и подтверждает предположение (15). Интересная деталь: в выражении (17) значимые для взаимодействия зарядов величины (q и R₀) выводятся за знак интеграла, образуя необходимую энергию U, а сам интеграл, в конечном счете, оказывается равным единице при любых обстоятельствах. Формулы (25)...(30) демонстрируют вероятностный характер распределения энергии внутри поля, и объясняют причину совпадения расчётов энергии взаимодействия двумя разными способами, упомянутыми во введении. Так и должно быть, потому что напряжённости E обладают свойствами квантовомеханических амплитуд [14].

При рассмотрении взаимодействия разноимённых зарядов значение W₃ (см. формулу (13)) становится положительным внутри центральной зоны, и отрицательным за её пределами. Знак минус приобретает потенциальная энергия U.

Функция W₃ применяется также в вариационной процедуре (принципе наименьшего действия) для электрической составляющей электромагнитного поля (см. [5, 12]). В этом случае W₃ с самого начала рассматривается, как распределение вероятностей взаимодействия по точкам пересечения напряжённостей E₁ и E₂ в пространстве. Результат такой процедуры для статического поля тот же, как по форме (вычисление функции Лагранжа по формулам (25)...(30)), так и по содержанию (закон Кулона).

Р.Фейнман в своей Нобелевской лекции [13] отмечает: «...электродинамику можно построить... различными способами, – на основе дифференциальных уравнений Максвелла, (или) на основе различных принципов наименьшего действия с полями, и без полей... Самые фундаментальные законы физики после того, как они уже открыты, все-таки допускают такое невероятное многообразие формулировок, по первому впечатлению не эквивалентных, и всё же таких, что после определенных математических манипуляций между ними всегда удаётся найти взаимосвязь. Чем это можно объяснить, – остаётся загадкой. Думается, что здесь каким-то образом отражается простота природы. Может быть, вещь проста только тогда, когда её можно исчерпывающим образом охарактеризовать несколькими различными способами, ещё не зная, что на самом деле ты говоришь об одном и том же».

Вернёмся к формуле (4а) и попытаемся на её основе выстроить гипотезу для понимания механизма размещения внутри поля энергии взаимодействия U. Будем считать, что плотность ρ описывает, как заряды, изначально создающие поле, так и заряды, образованные (наведенные) полем в физическом вакууме. Теперь подынтегральное выражение (4а) можно положить равным нулю в каждой точке поля,

(ε₀E² – φρ)/2 = 0; (31)

при этом дислокация ρ не будет точечной, но закономерности Е и φ, определённые формулами (2) и подтверждённые экспериментально, не подлежат пересмотру. Совпадение «точечных» расчётов с опытом имеет место и для неточечных, но сферически симметричных источников. Кроме того, мы полагаем, что суммарный наведенный заряд, состоящий из равного количества положительных и отрицательных зарядов, равен нулю.

Из выражения (31) по известным значениям E и φ можно найти некоторые свойства одной из моделей физического вакуума – «поляризованного» вакуума [8]. Согласно этой модели возбуждение вакуума заключается «в узком смысле слова, в рождении виртуальных пар заряженных частиц-античастиц (напр., пар электрон – позитрон) из вакуума... Этот эффект аналогичен поляризации диэлектрической среды внесённым в неё зарядом...». Из работы [3] следует, что в данной среде можно ожидать появления связанных зарядов с объёмной плотностью ρ'. При отсутствии сторонних зарядов в рассматриваемой части диэлектрика,

ρ' = –ε₀·(Egradχ)/(1 + χ). (32)

Здесь χ – диэлектрическая восприимчивость (неоднородной, но изотропной) среды.

Преобразуем второй член в формуле (31), используя (2) и (9),

φρ = (φ₁ + φ₂)(ρ₁ + ρ ₂) = φ₁ρ₁ + φ₂ρ₂ + φ₁ρ₂ + φ₂ρ₁ = φ₁ρ₁ + φ₂ρ₂ + φρ₁₂', (33)

ρ₁₂' = (φ₁ρ₂ + φ₂ρ₁)/φ. (34)

Расписывая первый член формулы (31), имеем сумму W₁, W₂, W₃ (см. формулы (3),(12),(13)). Таким образом, можно написать три равенства,

φ₁ρ₁ = 2W₁, φ₂ρ₂ = 2W₂, φρ₁₂' = 2W₃. (35)

Два первых равенства в (35) можно дополнить соотношениями

∫_V ρ₁dV = Q₁, ∫_V ρ₂dV = Q₂; (36)

в данной работе они не рассматриваются. Представляет, однако, интерес по теме статьи крайнее справа равенство в (35). Значение плотности

ρ₁₂' = 2W₃/φ (37)

можно трактовать, как источник поля с энергетической плотностью W₃, образованный внешними силами. Вследствие того, что силовое поле от ρ₁₂' не выходит из замкнутой поверхности (8), суммарный по объёму заряд от этой плотности должен равняться нулю. Ниже на рис. 4а (S) и рис. 4 б (Q) представлены расчётные значения ρ₁₂'.

Рис. 4. Объёмная плотность ρ₁₂': а) вычисленная для одноимённых зарядов по формуле (37) в пределах (–0,5 < x < 1,5; –1 < y < 1); б) вычисленная для разноимённых зарядов

Заряды расположены в плоскости (x, y) в точках с координатами (0, 0) и (1, 0). Для перехода к абсолютным величинам значения плотности на графике следует умножить на константу (q/4πR₀³). Здесь имеется неопределённость в плоскости, перпендикулярной оси x, посередине между зарядами, где φ₁ + φ₂ = 0.

В центральной зоне и её окрестностях плотность ρ₁₂' принимает как положительные, так и отрицательные значения. При перемещении точки наблюдения в поле от зарядов на периферию числитель (37) уменьшается значительно быстрее, чем знаменатель. Поэтому уже вблизи зарядов и далее, на больших расстояниях, ρ₁₂' → 0. Для разноимённых зарядов выполняется наглядно условие ∫_V ρ₁₂'dV = 0, так как интегрирование по x от –∞ до +∞ при любом y даёт нуль. В случае одноимённых зарядов подобная проверка связана с техническими трудностями.

Сравним формулы (32) и (37). Рассматриваемый вакуум неразрывно связан с породившим его электростатическим полем, и потому он называется электромагнитным (синонимы: фотонный, электрон-позитронный). Диэлектрическая восприимчивость χ вакуума должна зависеть от характеристик поля: нет поля, – нет поляризации вакуума, χ = 0. И далее: «вакуум является ареной физических процессов, обусловленных флуктуациями вакуума» [6]. Следовательно, с увеличением потенциала φ поля флуктуации будут более интенсивными, и восприимчивость вакуума к поляризации возрастёт. Суммируя сказанное, мы принимаем простейший вариант зависимости χ = kφ, где k = const., и вернёмся к формуле (32). После подстановки χ = kφ в (32) имеем,