9495-1 (Электростатическое взаимодействие точечных зарядов)

Электростатическое взаимодействие точечных зарядов

Леонид Соколов

Названное взаимодействие, несмотря на кажущуюся простоту, не удаётся интерпретировать чётко и однозначно. Его можно описать двумя способами: при помощи закона Кулона или, используя полное электростатическое поле зарядов. В первом случае заряды могут взаимодействовать между собой непосредственно, так как интенсивность события зависит только от величины, знака зарядов и расстояния между ними; во втором, дополнительно участвуют посредник – пробный заряд, и всё окружающее пространство.

Два способа явно отличаются друг от друга, но конечный результат получается одинаковым. В чём причина этого явления? В учебной литературе [1...4] соответствующие разъяснения обычно сводятся к утверждению, что заряд и созданное им поле неразрывно связаны между собой. Поэтому выбор того или иного способа означает только выбор языка, на котором ведутся рассуждения и расчёты, на языке зарядов или на языке поля. Такое утверждение не является очевидным, и в данной статье оно сравнительно подробно обсуждается.

Другой нерешённый вопрос, возможно вытекающий из предыдущего, где локализуется потенциальная энергия взаимодействия, в самих зарядах или в окружающем их пространстве. Общепринятая точка зрения: в электростатической системе определить локализацию энергии невозможно. Эта точка зрения в данной статье также подвергается обсуждению.

Третий вопрос, затронутый в статье, роль физического вакуума в электростатическом взаимодействии. Обычно понятие вакуума используется в атомной и ядерной физике при анализе микроявлений, однако основанное на процессах в физическом вакууме взаимодействие зарядов имеет место и в макромире.

Ряд физических понятий и формул, которые представляются автору общеизвестными, например, закон Кулона, напряжённость и потенциал поля точечного заряда, объёмная плотность энергии поля, принцип суперпозиции полей, теорема Остроградского – Гаусса и др., используются в статье без объяснений. Однако, в случае необходимости, можно обратиться к источникам [1...4, 11], или другим учебникам по физике.

Расположение зарядов и обозначения величин показаны на рис. 1.

Рис. 1. Расположение электрических зарядов Q₁ и Q₂ и создаваемое ими статическое поле напряжённостью E = E₁ + E₂ в точке наблюдения P(X, Y)

Расстояния R₀, R₁ и R₂ соответствуют промежуткам между зарядами и от зарядов до точки наблюдения; Q₁, Q₂ > 0 принято как на рисунке, так и последующих рассуждениях и выкладках, если не оговорено иное. Векторные величины выделены жирным шрифтом. Вследствие вращательной симметрии поля относительно оси X характеристики взаимодействия завися только от двух координат X и Y.

Энергия взаимодействия U зарядов по закону Кулона определяется работой по перемещению заряда Q₂ в поле заряда Q₁ (или, наоборот) из бесконечной удалённости до расстояния R₀ между ними. В вакууме

U = Q₁Q₂/4πε₀R₀, (1)

где ε₀ = 0,885·10^–11 Φ/м – электрическая постоянная.

Как видно из формулы (1), величины зарядов Q₁ и Q₂ (а также жёстко связанные с ними собственные энергии) в процессах выполнения этой работы внешними силами (и взаимодействия зарядов друг с другом) остаются постоянными. Значение изменяющейся энергии U зависит исключительно от расстояния R₀ между зарядами. Ни заряды, ни их известные свойства не зависят от R₀. Поэтому привнесённая извне энергия не может размещаться в зарядах. Её место в пространстве, окружающем заряды. Ситуация напоминает поведение материальных точек, соединённых механической пружиной, деформация которой усилиями извне и создаёт потенциальную энергию «взаимодействия» точек. В случае зарядов роль «пружины» играет силовое поле, природа которого чаще всего интерпретируется, как совокупность элементарных возбуждений физического вакуума [5...8].

В варианте взаимодействия по формуле (1) допустимо предположение, что возникшая связь между зарядами есть единственное поле. Так как подобное поле целиком формируется за счёт внешней энергии, то каждый отдельный заряд может взаимодействовать с бесчисленным множеством других зарядов без каких-либо ограничений. С другой стороны, необходимое поле взаимодействия в формуле (1) в явном виде не прописано. Вопрос о том, какой механизм приводит к взаимодействию, и где локализуется энергия взаимодействия, остаётся открытым.

При рассмотрении полного электростатического поля зарядов (второй способ описания взаимодействия, вытекающий из уравнений Максвелла) характерными величинами для поля являются напряженность Е и потенциал φ, объёмные плотности заряда ρ и энергии W(X, Y).

Ниже представлены формулами (2) и (3): расстояния R₁ и R₂ от зарядов Q₁ и Q₂ до точки наблюдения P(X, Y); напряжённости E₁ и E₂, потенциалы φ₁, φ₂ поля, создаваемые каждым из зарядов в точке наблюдения; объёмная плотность энергии поля W(X, Y), а также полные значения напряжённости E и потенциала φ в той же точке P(X, Y). Здесь же дано выражение для cosα, косинуса угла между векторами E₁ и E₂. Некоторые величины показаны на рис. 1.

R₁ = (X² + Y²)¹/², E₁ = Q₁/4πε₀R₁², φ₁ = Q₁/4πε₀R₁;

R₂ = [(1 – X)² + Y²]^1/2, E₂ = Q₂/4πε₀R₂², φ₂ = Q₂/4πε₀R₂;

cosα = (R₁² + R₂² – R₀²)/2R₁R₂, E = E₁ + E₂, φ = φ₁ + φ₂; (2)

W(X,Y) = (ε₀/2)E² = (ε₀/2)(E₁ + E₂)² = (ε₀/2)(E₁² + E₂² + 2E₁E₂ cosα) =

= (1/32π²ε₀)[(Q₁/R₁²)² + (Q₂/R₂²)² + Q₁Q₂(R₁² + R₂² – R₀²)/R₁³R₂³]. (3)

Вывод формулы для W(X, Y) в самом общем случае, включающем неоднородное поле, можно посмотреть, например, в работах [1, 9]. В основе этих доказательств лежит применение к векторному полю φ∙gradφ формулы Остроградского – Гаусса, связывающей объёмный и поверхностный интегралы по всему указанному полю,

∫_S φ∙gradφdS = ∫_V div(φ∙gradφ)dV. (4)

На больших расстояниях от зарядов потенциал поля обращается в нуль и, если здесь провести граничную (замкнутую) поверхность, то обратится в нуль также и интеграл по этой поверхности. Таким образом, остаётся объёмный интеграл от дивергенции векторного поля. Приравняв его нулю, и, учитывая, что

div(φ∙gradφ) = (gradφ)² + φ∙div∙gradφ,

E = –gradφ,

div gradφ = –ρ/ε₀, (5)

где ρ – объёмная плотность зарядов, получаем вместо (4),

∫_V (E² – φρ/ε₀)dV = 0. (4а)

Все величины, входящие в (4а) относятся к одной и той же точке P(X, Y). Но равенство (4а) выполняется не только при равенстве нулю подынтегрального выражения. Более общее выражение имеет вид,

∫_V (ε₀/2)E²dV = ∫_V (1/2)φρdV. (6)

Слева имеем объёмный интеграл от выражения (3), а справа – полную энергию электростатического поля системы зарядов. Поэтому интеграл в левой части (6) можно также рассматривать, как полную энергию системы. Каждое из подынтегральных выражений (6) представляет собой объёмную плотность энергии поля, что и доказывает справедливость формулы (3). Так как названные плотности выражают одно и то же, то, в принципе, они должны быть одинаковы. Однако, из-за разделения понятий «заряд» и «поле» этого не происходит. Выбирая левую часть, мы подсчитываем энергию, распределённую в электростатическом поле, пользуясь понятием напряжённости поля, выбирая правую часть, – определяем работу, необходимую для воссоздания тех же полей вокруг зарядов. В том и другом случае речь идёт об энергии поля, и о размещении этой энергии именно в самом поле.

При использовании в равенстве (4) вместо векторного поля φ∙gradφ, поле E = –gradφ, взаимодействие зарядов выпадает из рассмотрения,

∫_S gradφ∙dS = ∫_V div gradφ∙dV. (7)

С учётом (5) приходим к теореме Гаусса в интегральной форме,

∫_S EdS = ∫_V (1/ε₀)ρdV. (8)

Правая часть (8) (без (1/ε₀)) даёт суммарный заряд в выделенном объёме, а левая часть (8) – суммарный поток напряжённости поля (5) через замкнутую поверхность, окружающую этот объём. При изменениях размеров, формы поверхности и конфигурации зарядов внутри выделенного объёма, поток, как и суммарный заряд, остаются неизменными. В формуле (8) присутствуют только собственные поля зарядов, только они жестко связаны с зарядами и не зависят от взаимодействия зарядов.

Возвратимся к формуле (6), и вычислим энергию поля системы с помощью интеграла в правой части (6). Для точечных зарядов плотность ρ не равна нулю лишь в тех местах ((0, 0) ≡ 1 и (R₀, 0) ≡ 2), где находятся заряды. Обозначим φ₁(1) и φ₂(2); φ₂(1) и φ₁(2) – потенциалы: собственный от Q₁ в месте расположения Q₁ и аналогично для Q₂; создаваемый зарядом Q₂ в месте расположения Q₁ и создаваемый зарядом Q₁ в месте расположения Q₂, соответственно. Все они являются постоянными величинами, и могут быть вынесены за знак интеграла. Записывая ρ с помощью дельта-функций (запись символическая),

ρ = ρ₁ + ρ₂ = Q₁δ(1) + Q₂δ(2), (9)

и учитывая, что потенциал в любой точке поля равен φ = φ₁ + φ₂, находим значение интеграла в виде суммы четырёх слагаемых,

∫_V(1/2)φρdV = (1/2)[φ₁(1)Q₁ + φ₂(2)Q₂ + φ₂(1)Q₁ + φ₁(2)Q₂]. (10)

Легко показать (используя (2) и правую часть (10), и положив R₁ = R₂ = R₀), что сумма третьего и четвёртого членов в (10) принимает форму закона Кулона, и в точности равна U.

(1/2)[φ₂(1)Q₁ + φ₁(2)Q₂] = (1/8πε₀R₀)(Q₂Q₁ + Q₁Q₂) = Q₁Q₂/4πε₀R₀ = U. (11)

Рассмотрим далее интеграл в левой части выражения (6), представляющий альтернативную по отношению к (10) форму для вычисления энергии системы зарядов. Обращаясь к формуле (3), где расписано E², видим, что W(X, Y) состоит из трёх частей:

W₁ = (ε₀/2)E₁²; W₂ = (ε₀/2)E₂²; (12)

W₃ = (ε₀/2)∙2E₁E₂∙cosα. (13)

Члены W₁ и W₂ описывают неизменные при любых обстоятельствах плотности энергии собственных полей зарядов. Объёмные интегралы от них можно сравнить с членами φ₁(1)Q₁/2 и φ₂(2)Q₂/2 в формуле (10),

∫_V W₁dV = φ₁(1)Q₁/2, ∫_V W₂dV = φ₂(2)Q₂/2, (14)

и исключить из обоих выражений, (3) и (10). Эта операция позволяет также частично избавиться от проблем, связанных с характеристиками поля на небольших расстояниях от точечных зарядов, и с трудностями учёта собственных полей зарядов в теории [1, 5, 10]. Таким образом, взаимодействие зарядов определяется только членом W₃, зависящим от силовых характеристик обоих зарядов одновремённо. Аналогом объёмного интеграла от W₃ «на языке зарядов» является выражение (11). Сравнивая интеграл от W₃ с интегралом (11),

∫_V W₃dV = (1/2)∫_V [φ₁(2)Q₂δ(2) + φ₂(1)Q₁δ(1)]dV, (15)

можно ожидать, что вычисление интеграла в левой части (15), также приведёт к энергии U, но распределение объёмной плотности энергии в пространстве (формула (13)), вполне очевидно, не будет совпадать с представленным в правой части (15).

Рассмотрим подробнее распределение энергии W₃ в пространстве. Косинус угла α, показанный на рис. 1, играет определённую роль: cosα < 0, если α > 900 (имеет место внутри окружности, вписанной между зарядами с центром в середине отрезка R₀), и cosα > 0 во всём остальном пространстве. Поэтому окружность cosα = 0 (в трёхмерном пространстве – сферическая поверхность) является важной границей, она отделяет конструктивную интерференцию от деструктивной. Пространство внутри этой сферы будем называть центральной зоной взаимодействия.

Задача упрощается без ущерба содержанию, если положить

Q₁ = Q₂ = q; (R₁/R₀) = r₁; (R₂/R₀) = r₂; (X/R₀) = x; (Y/R₀) = y. (16)

В этом случае единицей измерения координаты становится расстояние между зарядами – отрезок R₀.

Формула (15) с использованием (3) и (16) принимает вид: