8500-1 (Синергетика – теория самоорганизации), страница 2

Рис. 1. Стационарные диссипативные структуры, возникающие в модели брюсселятора.
Параметры нелинейной среды: А = 2; B = 4,6; D₁ = 1,6·10^–3; D₂ = 8,0·10^–3

Рис. 2. Распределение концентрации X.
Два различных типа структур, возможных в одной и той же нелинейной среде при задании различных начальных данных. Параметры нелинейной среды: A = 2; B = 4,6; D₁ = 1,6·10^–3; D₂ = 8,0·10^–3.

Именно для таких стационарных неоднородных по пространству устойчивых решений, возникающих вне термодинамической ветви, И.Пригожиньм и было впервые введено понятие диссипативной структуры.

Прежде чем разбираться подробнее в свойствах таких решений, подчеркнем неожиданность полученного результата. Кажется очевидным, что в реакторе распределение реагирующих веществ по горизонтали (если сила тяжести направлена по вертикали) будет однородным по пространству. Модель брюсселятора показывает, что это не так: в среде могут возникать структуры, одни реагенты могут оказаться сосредоточены в одних частях реактора, другие – в других. Здесь встает целый круг вопросов:

как меняют структуры характерные времена реакций?

какая концентрация вещества является оптимальной?

И много других. Такие вопросы возникают при решения ряда задач химической технологии.

Вернемся к модели брюсселятора. Стационарное решение Х = А, Y = B/A удовлетворяет краевой задаче при любых B. Следовательно, при B > В₀ появляется несколько стационарных решений. Как говорят математики, происходит ветвление решений, или бифуркация. Аппарат теории бифуркаций, интенсивно развиваемый в настоящее время, широко используется в синергетике.

Мы зафиксировали начальные концентрации и меняли В. Поступим по-другому: зафиксируем какое-нибудь значение В > В₀ и будем менять профили начальных концентраций X(х, 0), Y(x, 0). При некоторых значениях B можно наблюдать интересный эффект: при одних начальных данных имеет место выход на один стационар (стационарное решение), при других – на другой. Два стационара, возможные при одних и тех же параметрах, показаны на рис.2. Причем выход на один и тот же стационар происходит с целого класса начальных концентраций, т.е. так же, как в модели тепловых структур здесь имеет место «забывание» деталей начальных данных. А что будет, если поставить систему в положение буриданова осла – задать при тех же значениях начальные условия, приводящие к однородному решению Х(х, 0) = А, Y(x, 0) = B/A, соответствующему термодинамической ветви?

Роль флюктуаций

Если решение Х = А, Y = В/А «поставлено» идеально точно, то оно меняться не будет. Однако реально расчеты на ЭВМ дают другую картину. Даже очень малые отклонения, которые, как правило, всегда имеют место, быстро нарастают, и далее происходит выход на один из неоднородных устойчивых стационаров. Такие отклонения, называемые флюктуациями, всегда есть в физических, химических и биологических системах. Расчеты на ЭВМ показывают, что вносимые флюктуации в отличие от равновесных процессов, изучаемых классической термодинамикой, определяют всю дальнейшую судьбу нелинейной системы. Термодинамическая ветвь здесь неустойчива.

Рис. 3. Неустойчивое состояние равновесия (точка O). Флюктуация выводит шарик из равновесия; в точке M и N – устойчивое состояние равновесия.

Этот процесс можно пояснить следующим примером. Представим себе маленький шарик в желобе, форма которого показана на рис.3. Если поставить его на вершину горба, в точку О, то в соответствии с законами механики он может оставаться на вершине (это тоже стационарное решение уравнений, описывающих движение шарика), но флюктуации выведут его из равновесия и он начнет двигаться. Постепенно из-за трения энергия шарика будет уменьшаться, и в конце концов он остановится на дне желоба в точке М или N. В какой именно точке он окажется, зависит от знака флюктуации, которая вывела шарик из равновесия. Роль точки О у нас играла термодинамическая ветвь, роль равновесных положений М и N – стационарные устойчивые решения, такие, как показаны на рис.2. Можно сказать, что причиной возникновения структур являются внутренние свойства системы, а поводом – вносимые флюктуации. Такое поведение характерно для многих нелинейных неравновесных систем.

Рис. 4. Возможный вид случайной функции F(t).

Флюктуации можно учесть, добавив в правую часть уравнения (2) случайные функции. Они могут отражать процессы, в детали которых на нашем уровне описания мы не вникаем. Отвлекаясь от их конкретного вида, приведем простейший пример случайной функции. Бросаем монету с интервалом времени Δt и считаем, что если в момент времени t выпадает орел, то F(t) = α, α << 1 δо момента t + Δt, если решка – F(t) = α; β момент времени t + Δt мы опять бросаем монету. Возможный вид функции, полученной таким образом, показан на рис.4. «Возможный» потому, что точно неизвестно, когда выпадает орел, а когда решка. Функция действительно случайная. И, бросая монету, читатели могут получить функцию нисколько не хуже нарисованной здесь.

Возможно, в необходимости учитывать флюктуации, которые, нарастая, могут изменить основные характеристики процессов, и кроется одно из важных отличий сложных систем от простых. Даже слабое воздействие на нелинейную систему в окрестности B₀ может определить ее дальнейшую судьбу, в то время как вдали от В₀ влияние этого воздействия не ощущается. Здесь мы сталкиваемся с резонансным возбуждением – воздействием, согласованным с внутренними свойствами нелинейной системы и сильно влияющим на нее.

По-видимому, в общем случае дело обстоит так: большинство реальных систем описывается нелинейными уравнениями. Если линеаризовать уравнения в их окрестности, получаются линейные соотношения, с которыми обычно и работают ученые. Но этот прием не годится в том случае, когда воздействия на систему очень интенсивны, а также если система открыта и далека от равновесия, т.е. как раз в тех случаях, которые в современной науке и технике представляют наибольший интерес. Их понимание безусловно требует нелинейного анализа, более сложного, трудоемкого, но дающего более полную и глубокую картину изучаемых явлений.

Почему этим работам уделяется большое внимание? Оглядимся вокруг. Можно сказать, что современная техника невозможна без колебательных, периодических и близких к ним нестационарных процессов. Ими удобно управлять, они позволяют в огромное число раз усиливать слабые сигналы, у них масса других достоинств. Может быть, по тому же пути шла природа, создавая сложные самоорганизующиеся системы. Не похож ли механизм «биологических часов» на колебательные процессы в модели брюсселятора? Эти вопросы пока ждут ответов.

Другая причина интереса к модели брюсселятора состоит в том, что она отражает общие черты многих систем, где возникают структуры и возможны явления самоорганизации. Необходимые условия такого поведения обычно формулируют следующим образом:

Система является термодинамически открытой, т.е. возможен обмен энергией, веществом и т.д. с окружающей средой.

Макроскопические процессы происходят согласованно (кооперативно, когерентно). В рассмотренных нами примерах такое согласование обеспечивали диффузионные процессы.

Отклонения от равновесия превышают критическое значение, т.е. рассматриваются состояния, лежащие вне термодинамической ветви.

Процессы рассматриваются в таком диапазоне параметров, когда для их описания необходимы нелинейные математические модели.

Список литературы

Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. Введение в информатику с позиций математического моделирования / Авт. пред. А.А. Самарский. – М: Наука, 1988.

Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах М: Мир, 1979.