теория по терверу (Лекции DOC), страница 3

Соответственно график функции распределения имеет ступенчатый вид

Вопрос№6

Определение 4.2. Случайная величина называется дискретной, если она принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Дискретные случайные величины.

Для задания дискретной случайной величины нужно знать ее возможные значения и вероятности, с которыми принимаются эти значения. Соответствие между ними называется законом распределения случайной величины. Он может иметь вид таблицы, формулы или графика.

Таблица, в которой перечислены возможные значения дискретной случайной величины и соответствующие им вероятности, называется рядом распределения:

xi	x1	x2	…	xn	…
pi	p1	p2	…	pn	…

Заметим, что событие, заключающееся в том, что случайная величина примет одно из своих возможных значений, является достоверным, поэтому

Пример. . Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания при одном выстреле равны соответственно 0,6 и 0,7. Составить ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий после двух выстрелов.

Решение. Очевидно, что Х может принимать три значения: 0, 1 и 2. Их вероятности найдены в примере, рассмотренном в лекции 3. Следовательно, ряд распределения имеет вид:

хi	0	1	2
pi	0,12	0,46	0,42

Графически закон распределения дискретной случайной величины можно представить в виде многоугольника распределения – ломаной, соединяющей точки плоскости с координатами (x_i, p_i).

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅

Определение 4.4. Функцией распределения F(x) случайной величины Х называется вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее х:

F (x) = p (X < x). (4.1)

Свойства функции распределения.

1. 0 ≤ F(x) ≤ 1. Действительно, так как функция распределения представляет собой вероятность, она может принимать только те значения, которые принимает вероятность.

2. Функция распределения является неубывающей функцией, то есть F(x₂) ≥ F(x₁) при х₂ > x₁. Это следует из того, что F(x₂) = p(X < x₂) = p(X < x₁) + p(x₁ ≤ X < x₂) ≥ F(x₁).

3. В частности, если все возможные значения Х лежат на интервале [a, b], то F(x) = 0 при х ≤ а и F(x) = 1 при х ≥ b. Действительно, X < a – событие невозможное, а X < b – достоверное.

4. Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала [a, b], равна разности значений функции распределения на концах интервала:

p ( a < X < b ) = F(b) – F(a).

Справедливость этого утверждения следует из определения функции распределения (см. свойство 2).

Для дискретной случайной величины значение F(x) в каждой точке представляет собой сумму вероятностей тех ее возможных значений, которые меньше аргумента функции.

Пример. Найдем F(x) для предыдущего примера:

Соответственно график функции распределения имеет ступенчатый вид:

Математическое ожидание.

Определение 7.1. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называ-ется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

М(Х) = х₁р₁ + х₂р₂ + … + х_пр_п . (7.1)

Если число возможных значений случайной величины бесконечно, то , если полученный ряд сходится абсолютно.

Замечание 1. Математическое ожидание называют иногда взвешенным средним, так как оно приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины при большом числе опытов.

Замечание 2. Из определения математического ожидания следует, что его значение не меньше наименьшего возможного значения случайной величины и не больше наибольше-го.

Замечание 3. Математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучай-ная (постоянная) величина. В дальнейшем увидим, что это же справедливо и для непре-рывных случайных величин.

Пример 1. Найдем математическое ожидание случайной величины Х – числа стандартных деталей среди трех, отобранных из партии в 10 деталей, среди которых 2 бракованных. Составим ряд распределения для Х. Из условия задачи следует, что Х может принимать значения 1, 2, 3. Тогда

Пример 2. Определим математическое ожидание случайной величины Х – числа бросков монеты до первого появления герба. Эта величина может принимать бесконечное число значений (множество возможных значений есть множество натуральных чисел). Ряд ее распределения имеет вид:

Х	1	2	…	п	…
р	0,5	(0,5)2	…	(0,5)п	…

Тогда ..+

+ (при вычислении дважды использовалась формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , откуда ).

Дисперсия.

Для того, чтобы иметь представление о поведении случайной величины, недостаточно знать только ее математическое ожидание. Рассмотрим две случайные величины: Х и Y, заданные рядами распределения вида

Х	49	50	51
р	0,1	0,8	0,1

Y	0	100
p	0,5	0,5

Найдем М(Х) = 49·0,1 + 50·0,8 + 51·0,1 = 50, М(Y) = 0·0,5 + 100·0,5 = 50. Как видно, мате-матические ожидания обеих величин равны, но если для Х М(Х) хорошо описывает пове-дение случайной величины, являясь ее наиболее вероятным возможным значением (при-чем остальные значения ненамного отличаются от 50), то значения Y существенно отсто-ят от М(Y). Следовательно, наряду с математическим ожиданием желательно знать, на-сколько значения случайной величины отклоняются от него. Для характеристики этого показателя служит дисперсия.

Определение 7.5. Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математи-ческое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания:

D(X) = M (X – M(X))².

Определение 7.6. Средним квадратическим отклонением σ случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

. (7.12)

Пример. В предыдущем примере средние квадратические отклонения Х и Y равны соответственно

Вопрос№8

Свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:

М(С) = С. (7.2)

Доказательство. Если рассматривать С как дискретную случайную величину, принимающую только одно значение С с вероятностью р = 1, то М(С) = С·1 = С.

1. Постоянный множитель можно выносит за знак математического ожидания:

М(СХ) = С М(Х). (7.3)

Доказательство. Если случайная величина Х задана рядом распределения

xi	x1	x2	…	xn
pi	p1	p2	…	pn

то ряд распределения для СХ имеет вид:

Сxi	Сx1	Сx2	…	Сxn
pi	p1	p2	…	pn

Тогда М(СХ) = Сх₁р₁ + Сх₂р₂ + … + Сх_пр_п = С( х₁р₁ + х₂р₂ + … + х_пр_п) = СМ(Х).

Определение 7.2. Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения приняла другая. В противном случае случайные величины зависимы.

Определение 7.3. Назовем произведением независимых случайных величин Х и Y случайную величину XY, возможные значения которой равны произведениям всех возможных значений Х на все возможные значения Y, а соответствующие им вероят-ности равны произведениям вероятностей сомножителей.

1. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M(XY) = M(X)M(Y). (7.4)

Доказательство. Для упрощения вычислений ограничимся случаем, когда Х и Y принимают только по два возможных значения:

xi	x1	x2
pi	p1	p2