100623 (Математичні методи та моделі в управлінні аграрним виробництвом), страница 6

при наступних обмеженнях:

I.

II.

III.

Запишемо в розгорненому вигляді математичну модель задачі.

Цільова функція, як загальна величина затрат ресурсів для виконання всього обсягу робіт (по всіх) виконаних комплексом машин, буде дорівнювати:

при оптимізації затрат праці

при оптимізації витрати палива

при оптимізації прямих експлуатаційних затрат

при умовах:

…

де

Рішення даної задачі математичного програмування дозволяє оптимізувати використання комплексів машин.

Методика рішення задачі лінійного програмування графічним методом (для двохмірної оптимізації)

Рішення задачі лінійного програмування графічним методом (для двохмірної оптимізації) здійснюється наступним чином:

Визначають область допустимих рішень. Для цього в усіх обмеженнях почергово прирівнюють до нуля змінні X₁ та X₂ і знаходять відповідне значення іншої змінної. Ці значення будуть відповідати точкам перетину граничної прямої обмежень з осями координат X₁ та X₂.

Визначають напрям поширення області допустимих рішень відносно граничних прямих. Це встановлюють підставляючи в нерівності довільні значення X₁ та X₂. Якщо при цих значеннях умова обмеження задовольняється, то точка з координатами (X_1і; X_2і) знаходиться у півплощині допустимих рішень. Зручно задавати X_1і = X_2і = 0 і за умовою обмеження встановлювати приналежність початку координат до області допустимих рішень. Напрямок поширення півплощини допустимих рішень позначають штрихуванням. Область допустимих рішень знаходиться за сукупністю всіх обмежень. Якщо будь-яке з обмежень не впливає на область допустимих рішень, то воно є зайвим.

Положення прямої цільової функції Z знаходять довільним наданням її значення, при якому пряма перетинає в межах рисунка осі координат, відсікаючи на них відрізки Z/C₁ і Z/C₂. Проводячи плоскопаралельне переміщення прямої цільової функції в напрямку області допустимих рішень, знаходять точку або лінію на її межі, що відповідає оптимальному рішенню. При знаходженні максимуму цільової функції ця точка (лінія) буде знаходитись на верхній межі області допустимих рішень, а при пошуку мінімуму - на нижній.

Розв’язавши рівняння цільової функції з даними оптимальними значеннями X₁ та X₂ знаходять оптимальне значення цільової функції Z.

Рис.5. - Рішення задачі лінійного програмування графічним методом

Приклад побудови математичної моделі задачі оптимального використання комплексів машин з метою мінімізації прямих експлуатаційних затрат на виконання всього обсягу робіт методом лінійного програмування

Умови задачі:

У господарстві за 5 днів планується провести культивацію на площі 500 га.

На виконання цієї роботи може бути виділено:

1 агрегатТ-150К+КШУ-12;

3 агрегатиМТЗ-80+КПС-4.

Роботи проводяться в 1 зміну.

Відомі годинна продуктивність W_ij кожного агрегату, а також відповідні прямі експлуатаційні затрати С_іj (табл.5).

Потрібно знайти варіант оптимального використання цих агрегатів, забезпечивши мінімум прямих експлуатаційних затрат при виконанні всього обсягу робіт.

Таблиця 5

Вихідні дані задачі

Побудову математичної моделі проводимо виходячи з того, що змінною величиною буде площа Х_j, яку повинен обробити j-й машинний агрегат.

Таблиця 6. Розподіл агрегатів за обсягом робіт.

Цільову функцію запишемо у вигляді виразу:

Z = 3,8 X₁ + 6,4 X₂ min;

при наступних умовах:

X_ij 0; i = 1; j = 1, 2;

X₁ + X₂ = 500;

0,106 X₁ 35;

0,455 X₂ 105.

Рішення задачі (див. Рис.60) дає наступні результати:

X₁ = 330,2 га;

X₂ = 169,8 га;

Z_min = 2341,51 грн.

Це означає, що агрегат на базі трактора Т-150К виконує культивацію на площі 330,2 га.

Агрегати на базі трактора МТЗ-80 виконують культивацію на площі 169,8 га.

Фонд робочого часу трактора Т-150К використовується повністю, а фонд робочого часу тракторів МТЗ-80 недовикористовується на 27,8 години, тобто вони можуть бути в даний проміжок часу зайняті на інших роботах.

Рис.6. - Графічний розв’язок задачі

Приклади задач оптимального використання МТА з метою мінімізації прямих експлуатаційних затрат на виконання всього обсягу робіт

Приклад 1.

Умови задачі:

Згідно плану механізованих робіт у господарстві за 10 днів планується провести:

▪ внесення мінеральних добрив на площі 240 га;

▪ оранку на площі 240 га;

▪ культивацію на площі 190 га;

▪ сівбу зернових на площі 360 га;

▪ сівбу кукурудзи на площі 280 га;

▪ сівбу цукрових буряків на площі 130 га.

На виконання всього комплексу робіт може бути виділено з відповідним набором с. /г. машин:

1 тракторК-701;

1 тракторТ-150К;

4 тракториМТЗ-80.

Роботи проводяться в 2 зміни.

Відомі:

▪ годинна продуктивність W_ij кожного агрегату на і-й операції з j-м трактором (табл.7);

▪ відповідні прямі експлуатаційні затрати С_іj.

Таблиця 7. Вихідні дані задачі

Потрібно знайти варіант оптимального використання агрегатів, забезпечивши мінімум прямих експлуатаційних затрат при виконанні всього обсягу робіт.

Рішення задачі.

Побудову математичної моделі проводимо виходячи з того, що змінною величиною буде площа Х_ij (табл.8), яку повинен обробити j-й МТА на і-й операції.

Таблиця 8. Розподіл агрегатів за видами робіт.

Тоді цільову функцію запишемо у вигляді виразу

Z=2,5X₁₁+1,6X₁₂+1,9X₁₃+24,6X₂₁+15,6X₂₂+17,8X₂₃+4,5X₃₁+3,8X₃₂+

+6,4X₃₃+11,1X₄₂+6,8X₅₂+17,8X₄₃+11,9X₅₃+24,5X₆₃ min;

при наступних умовах:

X_ij 0; i =1, 2, 3, 4, 5, 6; j = 1, 2, 3;

X₁₁+X₁₂+X₁₃ = 240;

X₂₁+X₂₂+X₂₃ = 240;

X₃₁+X₃₂+X₃₃ = 190;

X₄₂+X₄₃ = 360;

X₅₂+X₅₃ = 280;

X₆₃ = 130;

0,035X₁₁+0,588X₂₁+0,073X₃₁ 140;

0,051X₁₂+0,796X₂₂+0,106X₃₂+0,244X₄₂+0, 204X₅₂ 140;

0,071X₁₃+1,429X₂₃+0,455X₃₃+0,385X₄₃+0,4X₅₃+0,476X₆₃ 560.

Рішення задачі на ПК із застосуванням програми OKM BASE дає наступні результати (табл.9):

X₁₂ = 240 га;

X₂₂ = 135,2 га;

X₂₃ = 104,8га;

X₃₂ = 190 га;

X₄₃ = 360 га;

X₅₃ = 280 га;

X₆₃ = 130 га;

Z_min = 14045,6 грн.