Postroenie_epyur (Построение эпюр и изогнутой оси при изгибе балок)

2

Построение эпюр и изогнутой оси при изгибе балок

Балка это брус, на который действуют силы, поперечные к его оси. Балка работает на изгиб. При этом балка искривляется, одни слои балки растягиваются, другие сжимаются.

Если балка имеет опору типа заделка, то реакции в ней искать не надо. Если же балка имеет шарнирное закрепление, то надо, прежде всего, определить реакции опор из уравнений статики (это уравнения равновесия). Первым из уравнений равновесия следует рассмотреть сумму моментов относительно одной из опор, назовем ее опорой А ( ). Момент равен произведению силы на плечо. Плечо это расстояние от точки, относительно которой считаем момент, до силы. Сосредоточенный момент ни на что умножать не надо. Распределенную нагрузку мысленно заменяем ее равнодействующей, равной произведению интенсивности нагрузки q на всю длину участка, по которому эта нагрузка распределена. Эту равнодействующую прикладываем в середине участка, на который действует распределенная нагрузка. Плечом будет расстояние от середины этого участка до точки, вокруг которой считаем момент. Отсюда определим одну из реакций. Вторую вертикальную реакцию определим из суммы проекций всех сил на вертикальную ось y ( ). Для контроля следует подсчитать и сумму моментов относительно второй опоры, назовем ее опорой В ( ). Третья, горизонтальная связь, не реализуется, она равна нулю.

В балках строим эпюры поперечных, или перерезывающих, сил Q_y и изгибающих моментов M_x .

Изображаем форму изогнутой оси балки.

Правило знаков:

1. Изгибающий момент считается положительным, если он дает сжатые слои сверху.

2. Если разрез справа, то положительная поперечная сила направлена вниз, если слева, то вверх.

Применяем метод сечений по участкам. Изображаем отрезанную часть балки от свободного конца до разреза. В сечении прикладываем положительные внутренние силовые факторы. Рассматриваем равновесие отрезанной части балки. Из суммы проекций всех сил на вертикальную ось ( ) определяем функцию поперечной силы и строим эпюру Q_y. Из суммы моментов относительно оси, проходящей через сечение, определяем функцию изгибающего момента М_x. На участке с распределенной нагрузкой исследуем М_x на экстремум. При исследовании на экстремум надо найти первую производную от функции М_x и приравнять ее к нулю. Отсюда найдем - расстояние до сечения, где будет экстремум. Экстремум это точка на графике, в которой, касательная к графику параллельна оси.

На эпюре поперечных Q_y:

1. На участке с распределенной нагрузкой эпюра Q_y - наклонная линия, которая пересекает ось там, где на эпюре изгибающих моментов M_x будет экстремум. Если распределенной нагрузки нет, то на этом участке эпюра Q_y - прямая линия, параллельная оси, т. е. поперечная сила постоянна;

2. В сечениях, где приложена сосредоточенная внешняя сила, на эпюре Q_y скачок на величину этой силы.

Заметим:

при изображении эпюры Q_y , если идти слева направо, откладываем ординату в сторону вектора силы, если идти справа налево, то наоборот (вектор силы, направленный вверх, откладываем вниз).

На эпюре изгибающих моментов М_x

1. На участке с распределенной нагрузкой эпюра М_x - парабола, выпуклостью навстречу силе («дождь и зонтик»), экстремум там, где ноль на эпюре Q_y. Если распределенной нагрузки нет, то эпюра М_y - прямая линия, наклонная к оси или ей параллельная.

2. В сечениях, где приложен сосредоточенный внешний момент, на эпюре М_x скачок на величину этого момента.

3. В сечениях, где приложена внешняя сила, на эпюре М_x излом острием навстречу силе.

Построение формы изогнутой оси балки

Смотрим на эпюру M_x: знак кривизны соответствует знаку момента. В сечениях, где момент меняет знак, на изогнутой оси - точка перегиба.

Изогнутая ось проходит через опорные точки, а в заделку входит по касательной (рис.2).

Примечание: В балках типа, изображенного на рис.3, расстояние до экстремума равно коэффициенту k при «подпирающей» силе, а сам экстремум равен половине квадрата этого коэффициента (М_x^*=