Вейвлет-перетворення вирішує якоюсь мірою цю проблему розрізнювання.

2. Ідея вейвлет-перетворень

Вейвлет-перетворення (ВП) відноситься саме до цього типу перетворень. Воно забезпечує частотно-часове подання сигналів. (Існують й інші перетворення сигналів, які також виконують це завдання, такі як віконне ПФ (ВПФ), перетворення Вігнера та ін.) ВП було розроблено до певної міри як альтернатива ВПФ. ВП було розроблено для подолання деяких проблем ВПФ, пов'язаних з поганим розрізнюванням.

Пропустимо сигнал через два фільтри – низькочастотні й високочастотний (фільтри з'єднані паралельно). Повторимо цю процедуру для виходу низькочастотного фільтра, залишивши вихід високочастотного фільтра незмінним. Так, якщо вихідний сигнал містив частоти до 1000Гц, то після першого етапу одержимо два сигнали 0-500Гц та 500-1000Гц, після другого етапу – три сигнали 0-250Гц, 250-500Гц та 500-1000Гц. тощо. Ця операція називається декомпозицією. Декомпозиція триває якусь кількість разів.

В остаточному підсумку, ми одержуємо безліч субсигналів, що являє наш вихідний сигнал. Кожен субсигнал відповідає певній субсмузі частот. Можна побудувати тривимірний графік, відклавши по одній осі час, по другий – частоту й по третій – амплітуду. Таким чином, ми можемо побачити, які частоти присутні в кожному окремому інтервалі часу. Ми можемо лише говорити про інтервал часу та про частотну смугу, що спостерігається в ньому. ВПФ дає фіксоване розрізнювання на всіх частотах, тоді як при ВП розрізнювання змінюється: на високих частотах краще розрізнювання за часом, а на низьких – за частотою. Це означає, що для високочастотного компоненти ми можемо точніше вказати її часову позицію, а для низькочастотної – її значення частоти. Розглянемо такий графік (рис. 12):

Рисунок 12 – Фазова плоскість ВП

Цей графік можна інтерпретувати в такий спосіб. Верхній рядок показує, що на високих частотах ми маємо в розпорядженні більше відліків, що відповідає меншим інтервалам часу. Нижній рядок відповідає низькочастотній компоненті, і ми бачимо, що в ній міститься менше точок. Отже, тимчасове розрізнювання для низькочастотних компонент сигналу гірше.

У випадку дискретного часу розрізнювання за часом поводиться так, як і у попередньому випадку. Однак тепер і розрізнювання за частотою змінюється від рівня до рівня. На низьких частотах краще розрізнювання за частотою, ніж на високих частотах. Відзначимо також збільшення відстані між частотними точками із збільшенням частоти (рис. 13).

Рисунок 13 – Фазова площина ДВП

Нижче наведено приклад безперервного ВП (рис. 15). Нехай сигнал складається з двох синусоїд, які існують у різний час: спочатку в сигналі присутня НЧ синусоїда, потім – ВЧ рис. 14.

Рисунок 14 – Сигнал, який складається з двох синусоїд різної частоти

Рисунок 15 – Безперервне ВП сигналу, що складається з двох синусоїд

Відзначте, що замість осі частот на цих графіках позначена вісь масштабу. Концепція масштабу стане більш зрозумілою з пояснення наступних розділів. Поки ж зазначимо лише, що масштаб є поняттям, зворотнім частоті. Тобто високі шкали відповідають низьким частотам, а низькі – високим. Отже, малий пік на графіку відповідає ВЧ компоненті сигналу, а великий пік – НЧ компоненті.

Загальноприйнятим підходом до аналізу сигналів стало їхнє подання у вигляді зваженої суми простих складових – базисних функцій , помножених на коефіцієнти .

.

Оскільки базисні функції вважаються заданими як функції цілком певного виду, то коефіцієнти містять інформацію про певний сигнал. Отже, можна говорити про можливості подання довільних сигналів на основі рядів з різними базисними функціями. Досить грубо можна представити вейвлети як деякі хвильові функції, здатні здійснювати перетворення Фур'є не по всій часовій осі, а локально за місцем розташування.

Базисними функціями вейвлетів можуть бути різні функції, у тому числі такі, які близько й віддалено нагадують модульовані імпульсами синусоїди, функції зі стрибками рівня і т.д. Це забезпечує легке подання сигналів з локальними стрибками й розривами і відкриває простір у підборі найбільш підходящих вейвлетів, виходячи з умов завдань, які необхідно розв’зати. На жаль, часто вейвлети не мають аналітичного подання у вигляді однієї формули, але можуть задаватися ітераційними виразами, що легко обчислюються за допомогою комп’ютерів.

Вейвлети характеризуються своїм часовим і частотним способом. Часовий спосіб визначається деякою psi-функцією часу. А частотний спосіб визначається її Фур'є-способом , що задає огинаючу спектра вейвлета. Фур'є-спосіб визначається виразом:

.

Кількість використаних під час розкладання сигналу вейвлетів задає рівень декомпозиції сигналу. При цьому за нульовий рівень декомпозиції, як правило, приймають сам сигнал, а наступні рівні декомпозиції утворюють зазвичай спадаюче вейвлет–дерево.

Пряме вейвлет–перетворення (ПВП), назване також безперервним, означає розкладання довільного вхідного сигналу на принципово новий базис у вигляді сукупності хвильових пакетів–вейвлетів, які характеризуються чотирма принципово важливими властивостями:

• мають вигляд коротких, локалізованих у часі (або в просторі) пакетів з нульовим значенням інтегралу;

• мають можливість зміщення в часі;

• здатні до масштабування (стиснення/розтягання);

• мають обмежений (або локальний) частотний спектр.

3. Безперервне вейвлет-перетворення

Безперервний вейвлет-аналіз (БВП) виконується аналогічно ВПФ, у тому розумінні, що сигнал перемножується з функцією (вейвлетом), так само, як і з віконною функцією при ВПФ. Однак існує дві істотні різниці між ВПФ і БВП:

1. Не виконується ПФ зваженого з вейвлетом сигналу.

2. Ширина вікна змінюється.

Безперервне вейвлет-перетворення визначається в такий спосіб:

, 1

Як видно з рівності, перетворений сигнал є функцією двох змінних, і s, параметри зміщення і масштабу, відповідно. (t) – функція перетворення, що називається материнським вейвлетом.

Дослівний переклад wavelet – "коротка хвиля" не дуже зручний, іноді вейвлети називають сплесками. Слово "вейвлет" означає маленька хвиля. Під маленькою розуміється те, що ця функція (вікно) має кінцеву ширину (компактний носій). Слово «хвиля» показує той факт, що вейвлет-функція осцилює. Термін «материнський» означає, що функції з різною шириною носія, що використовуються в перетворенні, породжуються однією базовою функцією - материнським вейвлетом. Тобто материнський вейвлет є прототипом для всіх віконних функцій. Термін "зміщення" використовується тут у тому ж значенні, що й при ПФ: він відноситься до місця розташування вікна, і вікно рухається уздовж сигналу. Цей термін відноситься, таким чином, до тимчасової інформації, яка є в результаті перетворення. Однак при ВП ми не маємо частотного параметра, як це було при ВПФ. Замість нього тут присутній параметр масштабу, який можна визначити як величину, зворотну частоті.

4. Масштаб

Параметр масштабу у вейвлет-аналізі має аналогію з масштабом географічних карт. Більші значення масштабу відповідають малій кількості деталей, глобальному поданню сигналу, а низькі значення масштабу дозволяють розрізнити деталі. Аналогічно, у термінах частоти низькі частоти відповідають глобальній інформації про сигнал (яка міститься на всій його довжині), а високі частоти – детальній інформації, прихованим особливостям, які мають звичайно малу довжину. На наступному рисунку наведені косинусні сигнали на різних масштабах (рис. 16).

Рисунок 16 – Косинусні сигнали на різних масштабах