63702 (Комбинационные схемы)

Содержание

1. Основные аксиомы, теоремы и тождества алгебры логики

2. Переключательные функции

3. Не полностью определенные переключательные функции

4. Построение комбинационной логической схемы по заданной переключательной функции

5. Минимизация переключательных функций с помощью карт Карно

6. Нормальные формы логических уравнений. Преобразование логических уравнений к заданному базису

7. Скобочные формы логических уравнений

8. Комбинационные схемы

Список литературы

1. Основные аксиомы, теоремы и тождества алгебры логики

Методы синтеза и анализа всех классов цифровых схем построены на базе алгебры логики, которая является основным математическим аппаратом описания и преобразования структуры цифровых схем [1].

В алгебре логики рассматриваются переменные, которые могут принимать только два значения: 0 и 1 (например, 0 – событие не происходит, 1 – происходит; 0 – ложное высказывание, 1 – истинное; 0 – низкий уровень напряжения, 1 – высокий; 0 – разомкнутый контакт, 1 - замкнутый). Значения переменных не отображают каких-либо количественных значений, а имеют лишь символическое значение.

Основные соотношения алгебры логики приведены в табл. 1. В справедливости приведенных соотношений можно убедиться, используя метод перебора. При преобразовании логических выражений, как и в обычной алгебре, должен соблюдаться порядок выполнения операций (порядок старшинства операций) – сначала отрицание, затем конъюнкция и потом дизъюнкция. Приведенный порядок выполнения операций можно изменить и задать его с помощью скобок. В тождествах (9.1) – (12.2) правая часть проще левой, поэтому их можно использовать для упрощения сложных логических выражений.

Все тождества записаны парами на основании того, что по принципу двойственности из одного тождества пары можно получить другое взаимной заменой операций дизъюнкции и конъюнкции, а также значений 0 и 1. Тождества (4.1) и (4.2) самодвойственны, так как они не изменяются по принципу двойственности.

Большую роль в теории переключательных функций играет операция сумма по модулю два (исключающее ИЛИ, логическая неравнозначность), которая обозначается символом и определяется соотношением

Операция сумма по модулю два коммутативна, ассоциативна и дистрибутивна относительно операции конъюнкции.

2. Переключательные функции

Любое логическое выражение, составленное из n переменных с помощью конечного числа операций алгебры логики, можно рассматривать как некоторую функцию n переменных. Двоичная функция может принимать только два значения: 0 и 1 – в зависимости от значений переменных. Такие функции являются удобным инструментом для описания, анализа и синтеза переключательных схем (бесконтактных и контактных), поэтому они называются переключательными функциями (ПФ).

Для ПФ n переменных x₀,…,x_n-1 будем использовать обозначение y (x₀,…,x_n-1). Совокупность значений переменных, в которой каждая переменная может принимать значения 0 или 1, называется набором. Любая функция n переменных может быть определена на 2ⁿ наборах. Это следует из того, что каждому набору соответствует n-разрядное двоичное число, а количество различных двоичных чисел при n разрядах равно 2ⁿ.

Существуют несколько способов задания ПФ.

1. Табличный, когда функция задается в виде таблицы истинности (соответствия). Таблица истинности содержит 2ⁿ строк ( по числу наборов), n столбцов значений аргументов и один столбец значений функции. В таблице каждому набору аргументов соответствует значение функции.

Таблица истинности ПФ, значения которой соответствуют значениям, принимаемым большинством переменных в наборе (функция голосования), определяет ПФ мажоритарного элемента “два из трех” (переноса двоичного разряда.

2. Координатный способ, когда функция задается в виде координатной карты состояний, например в виде карты Карно. Карта содержит 2ⁿ клеток по числу наборов значений переменных. Каждая клетка задается координатами строки и столбца, соответствующими определенному набору. Все аргументы разбиваются на две группы так, что одна группа определяет координаты строки, а другая – столбца. Порядок записи значений переменных в каждой группе задается записью переменных в соответствующем порядке над столбцами и около строк. Кодовые комбинации, задающие координаты двух соседних столбцов (строк), соответствуют двум соседним кодовым комбинациям циклического кода Грея .Соседние комбинации такого кода отличаются значениями только одной переменной. Значение функции на данном наборе проставляется внутри клетки (клетки, соответствующие нулевым значениям ПФ, часто в целях наглядности оставляют пустыми).

На рис. 1,а приведена карта Карно для ПФ мажоритарного элемента “два из трех”, заданной таблицей истинности 2, на рис.1,в – для ПФ компаратора. На рис.1,б,г в клетках проставлены их номера, соответствующие номерам наборов.

Карты Карно являются важным средством проектирования логических схем. Особенность карт в том, что любые две соседние клетки отличаются значением какой-либо одной и только одной переменной. Эта особенность характеризует также клетки первой и последней строк, первого и последнего столбцов, поэтому такие клетки тоже можно считать соседними. Указанная особенность соседних клеток позволяет легко осуществлять упрощение ПФ посредством использования тождества склеивания.

3. Числовой способ, когда ПФ задается в виде десятичных номеров тех наборов переменных, на которых функция принимает значение 1. При этом следует учитывать, что i-я двоичная переменная имеет “вес” 2ⁱ. Например, приписывая переменным x₂,x₁,x₀ соответственно “веса” 2²,2¹,2⁰, в числовом виде ПФ рис.1,а будет задана как y( x₂,x₁,x₀ ) = ( 3, 5, 6, 7 ).

Можно использовать для задания функции десятичные номера наборов, на которых функция принимает значение 0. Та же ПФ (рис.1,а) в таком случае будет задана как y( x₂,x₁,x₀ ) = ( 0, 1, 2, 4 ).

4. Аналитический способ, когда ПФ задается в виде алгебраического выражения (структурной формулы), получаемого путем применения логических операций к аргументам ПФ. Следует учитывать, что одну и ту же ПФ можно задать в виде разных структурных формул, которые отличаются друг от друга выбором используемых логических операций и своей сложностью.

При использовании всех n аргументов для записи алгебраического выражения существует две формы структурных формул.

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) представляет собой дизъюнкцию минтермов.

Минтерм (минимальный терм, конституента единицы) есть логическое произведение всех переменных ПФ для наборов, на которых ПФ принимает значение 1.Если в наборе переменная равна 1, то в минтерм эта переменная входит без инверсии, если равна 0 - то с инверсией. Например, если на наборе x₂ = 0, x₁ = 1, x₀ =1 ПФ принимает значение 1, то соответствующий минтерм m₃ для третьего набора будет иметь вид m₃ = x₁ x₀ .

Пример: СДНФ для ПФ мажоритарного элемента (рис.1,а)

y= m₃ m₅ m₆ m₇ (1)

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) представляет собой конъюнкцию макстермов.

Макстерм (максимальный терм, конституента нуля) есть логическая сумма всех переменных ПФ для наборов, на которых ПФ принимает значение 0. Если в наборе переменная равна 1, то в макстерм эта переменная входит с инверсией, если равна 0 - то без инверсии. Например, если на наборе x₂ = 0, x₁ = 0, x₀ =1 ПФ принимает значение 0, то соответствующий макстерм M₁ для первого набора будет иметь вид .

Пример: СКНФ для ПФ мажоритарного элемента (рис.1,а)

y =M₀M₁M₂M₄ =( )( )( )( ).(2)

Минтермы (макстермы) называются соседними, если они отличаются формой представления только одной переменной (без инверсии, с инверсией). В примере (1) минтерм m₇ является соседним по отношению ко всем остальным (m₃, m₅, m₆). В примере (2) макстерм М₀ является соседним по отношению ко всем остальным (М₁,М₂,М₄).Признак соседства минтермов (макстермов) используется при применении закона склеивания (при минимизации ПФ с применением карт Карно).

Определение “совершенная форма” означает, что все минтермы или макстермы имеют одинаковую размерность (ранг), равную числу переменных n, от которых зависит ПФ.

Определение “нормальная форма” означает, что порядок логического уравнения не более двух. Порядок логического уравнения – количество последовательно выполняемых базовых операций алгебры логики при вычислении значения функции (операция инверсии в расчет не принимается). При реализации логических схем порядок ПФ определяет число каскадов логического преобразования входных переменных, необходимых для получения функции.

Можно привести и более простые алгебраические выражения для ПФ мажоритарного элемента (рис.1,а):

(3)

y = ( )( )( )(4)

Способ их получения рассмотрен ниже.

3. Не полностью определенные переключательные функции

ПФ y(x_n-1... x₀) называется полностью определенной, если ее значения 0 или 1 заданы на всех 2ⁿ наборах. Если же значения функции не заданы хотя бы на одном наборе, то она называется не полностью определенной.

Значения функции могут считаться неопределенными, если:

а) в процессе работы логической схемы на ее входы никогда не подаются некоторые наборы сигналов, и, следовательно, функции y в таких случаях можно приписать неопределенные значения; б) разработчика логической схемы не интересует, какое значение примет выходной сигнал при некоторых наборах входных сигналов; в) при некоторых наборах входных сигналов значения выходного сигнала логической схемы 0 и 1 вызывают один и тот же результат в логическом устройстве, для которого он используется в качестве входного.

На рис. 1,д приведена карта Карно для не полностью определенной ПФ. Функция не определена на двух наборах: x₃ = 1, x₂ = 0, x₁ = 0, x₀ = 1 и x₃ = 0, x₂ = 1, x₁ = 1, x₀ = 0. Не определенные значения функции обозначаются символом или . Обозначенные такими символами клетки карты Карно будем называть факультативными.

Не полностью определенные функции можно доопределить произвольно , полагая y = 0 или y = 1.

4. Построение комбинационной логической схемы по заданной переключательной функции

Структурные формулы для заданной ПФ позволяют осуществить переход к тому цифровому логическому устройству, которое выполняет логические операции, входящие в структурную формулу.

Например, для реализации выражения (1) требуются 3 элемента НЕ (для получения инверсий переменных - ), 4 трехвходовых элемента И (для получения конъюнкций –

, , , )

и 1 четырехвходовый элемент ИЛИ (для получения логической суммы перечисленных четырех конъюнкций). Для реализации выражения (3) требуются 3 двухвходовых элемента И и 1 трехвходовый элемент ИЛИ.

Сказанное приводит к выводу, что при прямом способе построения логического устройства на основе использования структурной формулы, сложность логического устройства определяется сложностью структурной формулы. Одна и та же ПФ может быть реализована устройствами, отличающимися как своей структурой, так и сложностью (числом логических элементов).

Задача проектировщика состоит не только в том, чтобы создать устройство, выполняющее заданную ПФ, но и в том, чтобы из всех возможных вариантов выбрать наилучший, требующий меньшего числа элементов для реализации. При этом могут улучшаться не только технико-экономические (стоимость, масса, габариты), но и чисто технические показатели (например, быстродействие) разрабатываемого устройства, так как длинные цепи логических элементов вносят большее время задержки сигнала на выходе при переключениях устройства.