62757 (Применение резистивных электрических цепей в радиотехнических устройствах)

Академия ФСО России

Кафедра физики

Тема: "Применение резистивных электрических цепей в

радиотехнических устройствах"

Орел-2009

Содержание

Метод контурных токов (МКТ)

Решение системы контурных уравнений. Теорема взаимности

Применение резистивных цепей

Режим постоянного тока в электрических цепях

Заключение

Литература

Метод контурных токов (МКТ)

В основе метода контурных токов лежит введение в каждый контур условного контурного тока, направление которого выбирается произвольно. Для каждого из независимых контуров составляются уравнения по второму закону Кирхгофа. Поясним суть МКТ на примере резистивной цепи, схема которой изображена на рис. 1.1. Токи

– контурные.

Рис. 1.1.

Число независимых контуров .

Применяя второй закон Кирхгофа, получим уравнения для контуров:

Выразим напряжения через токи и сопротивления ветвей:

Токи ветвей определим через контурные токи:

После простых преобразований получим систему трех уравнений с темя неизвестными контурными токами:

Проанализируем первое уравнение системы. Сумма называется собственным сопротивлением первого контура и обозначается

. Коэффициент при токе

называется взаимным сопротивлением первого и второго контура и обозначается

и т. д.

По анализу полученных уравнений можно сформулировать правила составления уравнений для k-го контура:

1) В левую часть уравнения записываем со знаком "плюс" произведение контурного тока k-го контура на собственное сопротивление этого контура.

2) В левую часть записываем также слагаемые, представляющие собой произведения контурного тока другого контура на взаимное сопротивление между k-м и рассматриваемым контурами. Слагаемое входит со знаком "плюс", если k-й и рассматриваемый контурные токи совпадают по направлению во взаимном сопротивлении, в противном случае соответствующее слагаемое входит со знаком "минус".

3) В правой части уравнения записывается алгебраическая сумма ЭДС, действующих в k-м контуре, причем со знаком "плюс" входят ЭДС, направление отсчета которых совпадает с направлением контурного тока.

После определения контурных токов можно вычислить ток в любом элементе как алгебраическую сумму контурных токов. Например, ток в резисторе

равен

Если электрическая цепь содержит источники тока, независимые контуры выбираются так, чтобы через источник тока проходил лишь один контурный ток.

Дерево графа не должно содержать ветви с источником тока. Контурный ток в контуре с источником тока известен: он или равен задающему току источника, или отличается от него знаком. В результате число неизвестных контурных токов и число уравнений сокращаются на количество источников тока , т. е. число уравнений

.

Пример. Составим систему контурных уравнений для цепи, схема которой приведена на рис. 1.2.

Рис. 1.2.

Независимые контуры выбираем так, чтобы через источник тока проходил только один контурный ток – . При выбранном направлении контурного тока

он равен задающему току источника. В схеме будут два неизвестных контурных тока

и

. Уравнения контурных токов:

.

Поскольку ток известен и

, то окончательно получим:

.

Метод контурных токов целесообразно применять тогда, когда число контурных уравнений оказывается меньшим числа узловых уравнений.

Решение системы контурных уравнений.

Теорема взаимности

В общей форме система уравнений контурных токов, или система контурных уравнений, может быть записана в следующем виде:

Если число уравнений получилось достаточно большим, то для решения системы уравнений применяются известные из математики методы, например, метод Крамера. Все n уравнений являются линейно-независимыми и поэтому система разрешима относительно n искомых токов. В этом случае контурный ток k–го контура определяется следующим образом:

,

где – определитель системы контурных уравнений;

– алгебраическое дополнение элемента

определителя.

Общее решение для k-го контурного тока имеет вид:

.

Отсюда следует, что контурный ток можно найти как алгебраическую сумму частных токов, создаваемой каждой ЭДС , в отдельности. Данное соотношение есть математическая запись принципа наложения, справедливого для линейных цепей.

На основании общего решения системы контурных уравнений можно доказать следующую теорему: если источник напряжения, включенный в первый контур пассивной цепи, вызывает во втором контуре ток , то тот же источник, будучи включенным во второй контур, вызовет в первом контуре такой же ток i .

Рис. 1.3.

Дуальная формулировка этой теоремы такова: если источник тока, включенный к первой паре узлов пассивной цепи, вызывает между второй парой узлов этой цепи некоторое напряжение и, тот же источник, будучи включенным, к этой второй паре зажимов, вызывает на зажимах первой пары узлов то же самое напряжение.

Цепи, которые удовлетворяют теореме взаимности, называют взаимными или обратимыми.

Пример.

На рисунке 1.3а, показана схема цепи, для которой в чем легко убедиться, ток:

.

Требуется определить, чему будет равен ток (рис. 1.3б), если источник напряжения е перенести в ветвь с сопротивлением

.

Ответ можно дать сразу же на основании теоремы взаимности:

,

а в правильности его следует убедиться, определив непосредственно из схемы (см. рис. 1.3б) традиционными методами.

Применение резистивных цепей

В электрических цепях, составленных только из резисторов, реакция цепи (ток в любой ветви или напряжение между любыми узлами цепи) связана с воздействием

соотношением:

,

где А – не зависящий от времени коэффициент пропорциональности, откуда следует, что реакция резистивной цепи воспроизводит воздействие с точностью до постоянного множителя, т. е. колебания в резистивных цепях возникают в момент приложения воздействия, изменяются во времени по такому же закону, как и воздействия, и становятся равными нулю одновременно с равенством нулю воздействия.

Эти свойства резистивных цепей и определяют область их применения. В технике связи резистивные цепи применяются в качестве делителей напряжения, магазинов затуханий, измерительных мостов.

Простейший делитель напряжения представляет собой последовательное соединение двух резисторов (рис. 1.4 а). Отношение напряжений и

называемое коэффициентом деления, равно:

(а) (б)

Данное соотношение справедливо, если напряжение подводится к нагрузке, сопротивление которой много больше

(например, на вход усилителя). В противном случае необходимо учитывать сопротивление нагрузки

(рис. 1. 4б) и тогда:

.

Магазином затухания называют высокоточный ступенчатый делитель напряжения. Он составляется из нескольких (обычно трех) звеньев, именуемых удлинителями (рис. 1.5).

Рис. 1.5.

В удлинителе сопротивления подбирают так, чтобы . Если удлинитель нагрузить на сопротивление

, то его входное сопротивление также равно

.

Коэффициент деления напряжения, как можно установить, применяя любой из методов анализа, равен:

По заданному значению коэффициента деления и заданной величине вычисляются значения

и

:

На рисунке 1.6 показано два удлинителя, соединенные так, что вход одного из них подключается к выходу другого. Последний удлинитель нагружен на сопротивление . Поэтому первый удлинитель оказывается также нагруженным на

.

Коэффициент деления двух звеньев составляет:

где ,

– коэффициенты деления звеньев.

Рис. 1.6.

Значения , и

можно изменять независимо друг от друга, лишь бы не нарушалось условие

. Таким же способом можно соединить любое число звеньев с одинаковыми

.

При большом числе звеньев коэффициент деления будет выражаться большими числами (десятки и сотни тысяч единиц). Поэтому его принято выражать в логарифмических единицах – децибелах (дБ) – по формуле:

,

и называть затуханием магазина.

Тогда вместо умножения коэффициентов деления производится сложение затуханий отдельных звеньев, выраженных в децибелах (дБ).

Так как затухание звена, например, первого,

,

то сопротивления звеньев можно вычислить по заданному затуханию звена.

Коэффициент деления (и затухание) звена можно изменять, если одновременно изменять и

. Такое изменение производится обычно ступенями, через определенное число децибел.

Измерительным мостом постоянного тока называется прибор, схема которого изображена на рис. 1.7.

Рис. 1.7.

В трех плечах моста помещены резисторы, сопротивления которых известны, в четвертое плечо включается измеряемое сопротивление . В одну диагональ моста включен источник постоянного напряжения, во вторую диагональ - чувствительный индикатор.

Ток в диагонали моста (в индикаторе) равен нулю, если мост уравновешен, т. е. если выполнено условие Поэтому при равновесии моста:

С целью повышения точности измерений отношение выбирают в зависимости от порядка выбираемого значения

.

представляет собой набор (магазин) сопротивлений. Изменением

добиваются равновесия моста.

При измерениях сопротивлений с мощностью моста может быть получена высокая точность измерения – сотых долей процента.

Режим постоянного тока в электрических цепях

Важным частным режимом работы электрической цепи является такой режим, при котором к цепи подведены только неизменные по времени воздействия в виде источников постоянного напряжения или тока.